[學(xué)習(xí)]復(fù)變函數(shù)與積分變換第4章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表

1、2024/3/26,1,第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示,§4.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§4.2 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§4.3 泰勒級(jí)數(shù)§4.4 洛朗級(jí)數(shù),2024/3/26,2,§4.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),1. 復(fù)數(shù)序列的極限,2024/3/26,3,2024/3/26,4,2. 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),2024/3/26,5,2024/3/26,6,定理2將復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)

2、項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問(wèn)題.,2024/3/26,7,2024/3/26,8,[解] 1) 因 發(fā)散 ; 收斂, 故原級(jí)數(shù)發(fā)散.,2024/3/26,9,2024/3/26,10,2024/3/26,11,(1)發(fā)散;(2)絕對(duì)收斂;(3)收斂,條件收斂;(4)絕對(duì)收斂;(5)絕對(duì)收斂.,2024/3/26,12,§4.2 復(fù)變

3、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),1.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),2024/3/26,13,2024/3/26,14,2.冪級(jí)數(shù),(阿貝爾定理),2024/3/26,15,2024/3/26,16,2024/3/26,17,2024/3/26,18,2024/3/26,19,2024/3/26,20,2024/3/26,21,4. 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì) 象實(shí)變冪級(jí)數(shù)一樣, 復(fù)變冪級(jí)數(shù)也能進(jìn)行有理運(yùn)算. 設(shè),2024/3/26,22,這個(gè)代換運(yùn)算, 在把函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)

4、數(shù)時(shí), 有著廣泛的應(yīng)用.,2024/3/26,23,2024/3/26,24,3) f(z)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分, 即,2024/3/26,25,§4.3 泰勒級(jí)數(shù),2024/3/26,26,利用泰勒展開(kāi)式, 我們可以直接通過(guò)計(jì)算系數(shù):,把 f (z)在z0展開(kāi)成冪級(jí)數(shù), 這被稱(chēng)作直接展開(kāi)法,例如, 求 ez 在 z = 0處的泰勒展開(kāi)式, 由于(ez)(n) = ez, (ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2

5、,...) ， 故有,因?yàn)閑z在復(fù)平面內(nèi)處處解析, 上式在復(fù)平面內(nèi)處處成立, 收斂半徑為+?.,2024/3/26,27,同樣, 可求得sin z與cos z在z=0的泰勒展開(kāi)式:,除直接法外, 也可以借助一些已知函數(shù)的展開(kāi)式, 利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和分析性質(zhì), 以唯一性為依據(jù)來(lái)得出一個(gè)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式, 此方法稱(chēng)為間接展開(kāi)法. 例如sin z在z=0的泰勒展開(kāi)式也可以用間接展開(kāi)法得出:,2024/3/26,28,[解] 由于函數(shù)有一奇

6、點(diǎn)z=-1, 而在|z|<1內(nèi)處處解析, 所以 可在|z|<1內(nèi)展開(kāi)成z的冪級(jí)數(shù).,因?yàn)?例1 把函數(shù) 展開(kāi)成z的冪級(jí)數(shù).,2024/3/26,29,例2 求對(duì)數(shù)函數(shù)的主值ln(1+z)在z=0處的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.,[解] ln(1+z)在從-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開(kāi)的平面內(nèi)是解析的, -1是它的奇點(diǎn), 所以可在|z|<1展開(kāi)為z的冪級(jí)數(shù).,2024/3/26,30,推論1:,推論2：,

7、推論3:冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上至少有一個(gè)奇點(diǎn).(即使冪級(jí)數(shù)在其收斂圓周上處處收斂),2024/3/26,31,推論4：,例如：,它有兩個(gè)奇點(diǎn)?i, 而這兩個(gè)奇點(diǎn)都在此函數(shù)的展開(kāi)式的收斂圓周上, 所以這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂半徑只能等于1. 因此, 即使我們只關(guān)心z的實(shí)數(shù)值, 但復(fù)平面上的奇點(diǎn)形成了限制.,1-z2+z4-…,如復(fù)變函數(shù),2024/3/26,32,2024/3/26,33,2024/3/26,34,§4.4 洛朗級(jí)

8、數(shù),2024/3/26,35,一個(gè)在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開(kāi)為含有正,負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的, 這個(gè)級(jí)數(shù)就是 f (z)的洛朗級(jí)數(shù).,根據(jù)由正負(fù)整次冪項(xiàng)組成的級(jí)數(shù)的唯一性,一般可以用代數(shù)運(yùn)算, 代換, 求導(dǎo)和積分等方法去展開(kāi), 以求得洛朗級(jí)數(shù)的展開(kāi)式.,2024/3/26,36,解： 函數(shù) f (z) 在圓環(huán)域 i) 0 < |z| <1; ii) 1<| z| < 2; iii) 2 &