[學(xué)習]方陣的特征值與特征向量

1、方陣的特征值與特征向量,上頁,下頁,鈴,結(jié)束,返回,,首頁,工程技術(shù)中的一些問題? 如振動問題和穩(wěn)定性問題? ?？蓺w結(jié)為求一個方陣的特征值和特征向量的問題? 數(shù)學(xué)中諸如方陣的對角化及解微分方程組的問題? 也都要用到特征值的理論?,提示?,特征值與特征向量 設(shè)A是n階矩陣? 如果數(shù)?和n維非零向量x使關(guān)系式Ax??x成立? 那么? 這樣的數(shù)?稱為方陣A的特征值? 非零向量x稱為A 的對應(yīng)于特征值?的特征向量?,Ax??

2、x?(A??E)x?0? 齊次方程(A??E)x?0有非零解?|A??E|?0?,特征多項式與特征方程 設(shè)A為n階方陣? 則稱?的n次多項式f(?)?|A??E|為方陣A的特征多項式? 稱|A??E|?0為方陣A的特征方程?,下頁,提示?,特征值與特征向量 設(shè)A是n階矩陣? 如果數(shù)?和n維非零向量x使關(guān)系式Ax??x成立? 那么? 這樣的數(shù)?稱為方陣A的特征值? 非零向量x稱為A 的

3、對應(yīng)于特征值?的特征向量?,特征方程|A??E|?0的根?就是矩陣A的特征值? 齊次方程(A??E)x?0的非零解x就是A的對應(yīng)于特征值?的特征向量?,特征多項式與特征方程 設(shè)A為n階方陣? 則稱?的n次多項式f(?)?|A??E|為方陣A的特征多項式? 稱|A??E|?0為方陣A的特征方程?,,下頁,特征值與特征向量 設(shè)A是n階矩陣? 如果數(shù)?和n維非零向量x使關(guān)系式Ax??x成立? 那么? 這樣的

4、數(shù)?稱為方陣A的特征值? 非零向量x稱為A 的對應(yīng)于特征值?的特征向量?,特征多項式與特征方程 設(shè)A為n階方陣? 則稱?的n次多項式f(?)?|A??E|為方陣A的特征多項式? 稱|A??E|?0為方陣A的特征方程?,特征值的性質(zhì) 設(shè)n階矩陣A?(aij)的特征值為?1? ?2? ? ? ?? ?n? 則 (1)?1??2? ? ? ? ??n?a11?a22? ? ? ? ?ann?

5、 (2)?1?2 ? ? ? ?n?|A|?,下頁,得基礎(chǔ)解系(?1? 1)T?,得基礎(chǔ)解系(1? 1)T?,方程|A??E|?0的根就是矩陣A的特征值? 方程(A??E)x?0的非零解就是A的對應(yīng)于特征值?的特征向量?,,例1 求矩陣 的特征值和特征向量?,解,A的特征多項式為,所以A的特征值為?1?2? ?2?4?,對于特征值?1?2? 解方程(A?2E)x?0?,p1?(1?

6、1)T是矩陣A的對應(yīng)于特征值?1?2的特征向量?,對于特征值?2?4? 解方程(A?4E)x?0?,p2?(?1? 1)T是矩陣A的對應(yīng)于特征值?2?4的特征向量?,>>>,>>>,下頁,例2 求矩陣 的特征值和特征向量?,解,A的特征多項式為,所以A的特征值為?1?2? ?2??3?1?,得基礎(chǔ)解系p2?(?1??2?1)T?,得基礎(chǔ)解系p1?(0? 0?

7、 1)T?,對于?1?2? 解方程(A?2E)x?0?,所以kp1(k?0)是對應(yīng)于?1?2的全部特征向量?,對于?2??3?1? 解方程(A?E)x?0?,所以kp2(k?0)是對應(yīng)于?2??3?1的全部特征向量?,>>>,>>>,下頁,例3 求矩陣 的特征值和特征向量?,解,A的特征多項式為,所以A的特征值為?1??1? ?2??3?2?,得基礎(chǔ)解系,得

8、基礎(chǔ)解系p1?(1? 0? 1)T?,對于?1??1? 解方程(A?E)x?0?,所以對應(yīng)于?1??1的全部特征向量為kp1(k?0)?,對于?2??3?2? 解方程(A?2E)x?0?,所以對應(yīng)于?2??3?2的全部特征向量為k2p2?k3p3(k2?k3?0)?,>>>,>>>,p2?(0? 1? ?1)T? p3?(1? 0? 4)T?,下頁,例4 設(shè)?是方陣A的特征值? 證明

9、 (1)?2是A2的特征值?,證明,因為?是A的特征值?,故有p?0?,使Ap??p?,于是,(1)A2p,??2p?,??(Ap),?A(?p),?A(Ap),所以?2是A2的特征值?,因為p?0? 知??0?,有p??A?1p?,由Ap??p?,(2)當A可逆時?,按此例類推? 不難證明? 若?是A的特征值? 則?k是Ak的特征值? ?(?)是?(A)的特征值(其中?(?)?a0?a1?? ? ? ? ?an?n是?的多項式? ?(

10、A)?a0E?a1A? ? ? ? ?anAn是矩陣A的多項式)?,下頁,例5 設(shè)3階矩陣A的特征值為1? ?1? 2? 求|A*?3A?2E|?,因為A的特征值全不為0? 知A可逆? 故A*?|A|A?1? 而|A|??1?2?3??2? 所以,解,??2A?1?3A?2E?,A*?3A?2E,把上式記作?(A)?,故?(A)的特征值為,有?(?)??2??1?3??2?,?(1)??1? ?(?1)??3? ?(2)?3?,?9

11、?,?(?1)(?3)?3,于是 |A*?3A?2E|,若?是A的特征值? 則?k是Ak的特征值? ?(?)是?(A)的特征值(其中?(?)是?的多項式? ?(A)是矩陣A的多項式)?,,下頁,定理2 設(shè)?1? ?2? ? ? ?? ?m是方陣A的m個不同特征值? p1? p2? ? ? ?? pm依次是與之對應(yīng)的特征向量? 則p1? p2? ? ? ?? pm線性無關(guān)?,Ak(

12、x1p1?x2p2? ? ? ? ?xm pm)?0(k?1? 2? ? ? ?? m?1)?即 ?1kx1p1??2kx2p2? ? ? ? ??mkxm pm?0(k?1? 2? ? ? ?? m?1)?,證明,把上列各式合寫成矩陣形式? 得,設(shè)有常數(shù)x1? x2? ? ? ?? xm使x1p1?x2p2? ? ? ? ?xm pm?0? 則,下頁,定理2 設(shè)?1? ?2? ? ? ?

13、? ?m是方陣A的m個不同特征值? p1? p2? ? ? ?? pm依次是與之對應(yīng)的特征向量? 則p1? p2? ? ? ?? pm線性無關(guān)?,證明,設(shè)有常數(shù)x1? x2? ? ? ?? xm使x1p1?x2p2? ? ? ? ?xm pm?0? 則,上式等號左端等二個矩陣的行列式為范德蒙行列式? 當pi各不相等時? 該行列式不等于0? 從而該矩陣可逆?,所以向量組p1? p2? ? ? ?? pm線性無關(guān)?,即xj pj?0(j?1

14、? 2? ? ? ?? m)? 但pi?0? 故xj?0(j?1? 2? ? ? ?? m)?,(x1p1? x2p2? ? ? ?? xm pm)?(0? 0? ? ? ?? 0)?,于是有,下頁,例6 設(shè)?1和?2是矩陣A的兩個不同的特征值? 對應(yīng)的特征向量依次 為p1和p2? 證明p1? p2不是A的特征向量?,用反證法? 假設(shè)p1?p2是A的特征向量? 則應(yīng)存在數(shù)?? 使A(p1?p2)??(p1?p2)?于是,證明,按題