5-5空間曲線的切線與弧長

1、復習: 平面曲線的切線與法線,切線方程,法線方程,5-5 空間曲線的切線與弧長,空間曲線的一般方程,曲線上的點都滿足方程，滿足方程的點都在曲線上，不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程.,,空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.,特點：,例 方程組 表示怎樣的曲線？,解,表示圓柱面，,表示平面，,交線為橢圓.,例 方程組

2、 表示怎樣的曲線？,解,上半球面,,圓柱面,,交線如圖.,,空間曲線的參數(shù)方程,曲線的向量表示,空間曲線是指區(qū)間 到空間 的一個連續(xù)映射的像.,若 在 有連續(xù)的導數(shù),且對于每一點不同時為零,則稱曲線是光滑曲線.,過點 M 與切線垂直的平面稱為曲線在該點的法平面.,,曲線方程為參數(shù)方程的情況,切線方程,,即

3、 在 處的切線方程是,,,,此處要求,也是法平面的法向量,,切線的方向向量:,稱為曲線的切向量 .,如個別為0, 則理解為分子為 0 .,,不全為0,,,,因此得法平面方程,,,,,例.,求圓柱螺旋線,對應點處的切線方程和法平面方程.,切線方程,法平面方程,即,即,解: 由于,,對應的切向量為,在,,, 故,曲線的參數(shù)方程,曲線的弧長,則弧微分,弧長,如：例2,任一空間曲線可以看作是二

4、個曲面的交線,因為通過一空間曲線的曲面可以有無窮多個,,例如 及 都表示同一空間直線 軸.,故我們可用不同的方法選擇其中二個曲面,使其交線是給定的曲線.,空間曲線的一般方程,*投影曲線與投影柱面,設空間曲線C:,消去變量 后得到方程,這是一個母線平行于 軸的柱面,稱之為投影柱面,它顯然通過空間曲線C,稱

5、 為C在 面上的投影(曲線),同理,消去(1)中的 或 ,可得曲線C在 或 平面 上的投影,或,投影曲線,投影柱面,空間曲線,,,,補充: 空間立體或曲面在坐標面上的投影.,空間立體,曲面,,,例 求 在 面上的投影曲線