初數(shù)學(xué)競(jìng)賽座數(shù)字?jǐn)?shù)位及數(shù)謎問題

1、初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座(三)數(shù)字、數(shù)位及數(shù)謎問題第1頁(yè)共7頁(yè)初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座(三)數(shù)字、數(shù)位及數(shù)謎問題數(shù)字、數(shù)位及數(shù)謎問題一、一、知識(shí)要點(diǎn)1、整數(shù)的十進(jìn)位數(shù)碼表示一般地，任何一個(gè)n位的自然數(shù)都可以表示成：122321110101010aaaaannnn?????????????其中，ai(i=1，2，…，n)表示數(shù)碼，且0≤ai≤9，an≠0.對(duì)于確定的自然數(shù)N，它的表示是唯一的，常將這個(gè)數(shù)記為N=121aaaann??2、正

2、整數(shù)指數(shù)冪的末兩位數(shù)字(1)(1)設(shè)m、n都是正整數(shù)，a是m的末位數(shù)字，則mn的末位數(shù)字就是an的末位數(shù)字。(2)(2)設(shè)p、q都是正整數(shù)，m是任意正整數(shù)，則m4pq的末位數(shù)字與mq的末位數(shù)字相同。3、在與整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題中，有不少問題涉及到求符合一定條件的整數(shù)是多少的問題，這類問題稱為數(shù)迷問題。這類問題不需要過多的計(jì)算，只需要認(rèn)真細(xì)致地分析，有時(shí)可以用“湊”、“猜”的方法求解，是一種有趣的數(shù)學(xué)游戲。二、二、例題精講例1、有一個(gè)四位數(shù)

3、，已知其十位數(shù)字減去2等于個(gè)位數(shù)字，其個(gè)位數(shù)字加上2等于其百位數(shù)字，把這個(gè)四位數(shù)的四個(gè)數(shù)字反著次序排列所成的數(shù)與原數(shù)之和等于9988，求這個(gè)四位數(shù)。分析：將這個(gè)四位數(shù)用十進(jìn)位數(shù)碼表示，以便利用它和它的反序數(shù)的關(guān)系列式來解決問題。解：設(shè)所求的四位數(shù)為a?103b?102c?10d，依題意得：(a?103b?102c?10d)(d?103c?102b?10a)=9988∴(ad)?103(bc)?102(bc)?10(ad)=9988比較等

4、式兩邊首、末兩位數(shù)字，得ad=8，于是bc18又∵c2=d，d2=b，∴bc=0從而解得：a=1，b=9，c=9，d=7故所求的四位數(shù)為1997評(píng)注：將整數(shù)用十進(jìn)位數(shù)碼表示，有助于將已知條件轉(zhuǎn)化為等式，從而解決問題。例2一個(gè)正整數(shù)N的各位數(shù)字不全相等，如果將N的各位數(shù)字重新排列，必可得到一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)，若最大數(shù)與最小數(shù)的差正好等于原來的數(shù)N，則稱N為“新生數(shù)”，試求所有的三位“新生數(shù)”。分析：將所有的三位“新生數(shù)”寫出來，然后設(shè)

5、出最大、最小數(shù)，求差后分析求出所有三位“新生數(shù)”的可能值，再進(jìn)行篩選確定。解：設(shè)N是所求的三位“新生數(shù)”，它的各位數(shù)字分別為a、b、c(a、b、c不全相等)，將其各位數(shù)字重新排列后，連同原數(shù)共得6個(gè)三位數(shù)：cbacabbcabacacbabc，不妨設(shè)其中的最大數(shù)為abc，則最小數(shù)為cba。由“新生數(shù)”的定義，得初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座(三)數(shù)字、數(shù)位及數(shù)謎問題第3頁(yè)共7頁(yè)=10(987281101010aaaa????????)(1973821

6、01010aaaa????????)=101010109738291????????aaaa?(197382101010aaaa????????)=????13191911100011010aaaa??????∵??????1100010009991100010001100011000223????????而999能被27整除，∴100031也能被27整除。因此，1932aaaa?能被27整除。從而問題得證。評(píng)注：本題中，1091難以分

7、解因數(shù)，故將它化為100031，使問題得到順利解決。這種想辦法降低次數(shù)的思想，應(yīng)注意領(lǐng)會(huì)掌握。例5證明：111111112112113113能被10整除分析：要證明111111112112113113能被10整除，只需證明111111112112113113的末位數(shù)字為0，即證111111，112112，113113三個(gè)數(shù)的末位數(shù)字和為10。證明：111111的末位數(shù)字顯然為1；112112=(1124)28，而1124的末位數(shù)字是6，

8、所以112112的末位數(shù)字也是6；113113=(1134)28?113，1134的末位數(shù)字是1，所以113113的末位數(shù)字是3；∴111111，112112，113113三個(gè)數(shù)的末位數(shù)字和為163=10∴111111112112113113能被10整除評(píng)注：本題是將證明被10整除轉(zhuǎn)化為求三數(shù)的末位數(shù)字和為10。解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常將未知的問題轉(zhuǎn)化為熟知的問題、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，這是化歸思想。例6設(shè)P(m)表示自然數(shù)m的末位數(shù)，

9、????nPnPan??2求199521aaa???的值。解：199521aaa???=????112PP?????222PP?…????199519952PP?=????????????????199521199521222PPPPPP?????????=????199521199521222?????????PP∵1995=10?1995，又因?yàn)檫B續(xù)10個(gè)自然數(shù)的平方和的末位數(shù)都是5∴??????519954321199521222