集合篩法與素數(shù)三大猜想的證明

1、1集合篩法與素數(shù)三大猜想的證明集合篩法與素數(shù)三大猜想的證明陜西神木陜西神木史明智史明智集合篩法集合篩法一般認為，用來制造素數(shù)表的厄拉多塞篩法在理論上是沒有用處的。這種篩法雖然可以準確無誤、一個不漏地找出不大于N的每個素數(shù)，卻無法運用它來推理和證明更為深刻的問題。因為在不大于N的自然數(shù)集合中，任意一個不大于的素數(shù)P的倍數(shù)之個數(shù)為[]，就是這個取整程序阻礙了推理和計NiiPN算的順利進行。但是，這不等于說厄氏篩法所涉及的自然數(shù)、素數(shù)、合數(shù)相

2、互關系的規(guī)律就無法進一步發(fā)掘和利用。本文試圖在推理過程中突破整數(shù)限制來探究它們之間的規(guī)律，即將[]視為去推理，推理和計算過程不考慮取整，只對最終iPNiPN結果四舍五入保留整數(shù)。對于由此產生的誤差，在利用得出的規(guī)律解決實際問題時，根據(jù)問題本身對準確程度的要求再作具體分析處理。把[]視為，就可以這樣表述：不大于N的自然數(shù)集合中，有的元iPNiPNiP1素是P的倍數(shù)，也即自然數(shù)集合元素數(shù)分別與其中P的倍數(shù)集合元素數(shù)之比ii為1:。我們來證明

3、如下定理。iP1定理：在不大于N的自然數(shù)集合中，每次篩去不大于的一個素數(shù)的倍N數(shù)集合，每次篩剩的自然數(shù)個數(shù)與其中P倍數(shù)的個數(shù)之比與未篩前它們之間的i比保持不變，仍為1:（P不等于已篩過的素數(shù)）。直至篩剩數(shù)中不再有PiP1ii的倍數(shù)。證明定理之前，先證明兩個引理。引理1：在不大于N的自然數(shù)集合中，一個不大于的素數(shù)P的倍數(shù)集Nk合，或幾個不大于的素數(shù)PP….的公倍數(shù)集合，其中有的元素是P的NkjiP1i3的，也就是這些集合的元素數(shù)都同時縮小

4、。所以各層次各集合剩余元素數(shù)2121分別與其中所含其他子集元素數(shù)之比，仍保持未篩前它們之間的比值不變，即仍為1:（此時P≠2）。同理，再篩去自然數(shù)集合剩余元素中3的倍數(shù)，除iP1i全部元素都是3的倍數(shù)的子集合被整體篩去外，其他各層次各集合都被篩去自身所剩元素的，即這些集合的元素個數(shù)又同時縮小。所以，再次剩余的各3131層次各集合元素數(shù)與其中所含其他子集合元素數(shù)之比仍保持1:不變（此時iP1P不等于2和3）。以此類推，定理得證。i我們在證

5、明定理的同時，也得到了求N以內素數(shù)個數(shù)即π(N)的篩法，就叫集合篩法。因為篩去P的倍數(shù)中包括1倍即P本身，所以π(N)的漸近表達式ii要加上P的個數(shù)；又因“1”不是素數(shù)，故應減去1，即：iπ(N)～N(1)(1)(1)……(1)s111P21P31PsP1=N(1)s1(P=2P≤)??si1iP11sN如前所述，把[]視為推導出的π(N)的漸近表達式，必然存在誤差。iPNiPN下面，我們對誤差做一些初步的分析和討論：1.集合篩法的本質

6、，就是在不大于N的自然數(shù)集合中按比例逐步篩去不大于的各個素數(shù)的倍數(shù)，即全部合數(shù)。因為N不可能被大多數(shù)不大于的NN素數(shù)整除，所以每次得出的篩剩數(shù)大多不是整數(shù)，如果每次都取整，必然會造成累積性誤差，而且對篩剩數(shù)取整與本該對被篩數(shù)取整適得其反，最終必然導致完全錯誤的結論。而計算過程不取整，分數(shù)部分將在隨后的計算中體現(xiàn)其存在的作用。也可以這樣理解：表達式中∏(1)這部分是計算素數(shù)在自然數(shù)集iP1合中所占的比值，所以不須也不能取整，與N相乘后才是