數(shù)學(xué)歸納法講義

1、講義（4）數(shù)學(xué)歸納法編寫人：雷正新多米諾骨牌游戲要取得成功，必須靠兩條：（1）骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒；（2）第一張牌被推倒用這種思想設(shè)計(jì)出來的，用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證明方法就是數(shù)學(xué)歸納法1.歸納法：歸納法：由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法.特點(diǎn)：由特殊→一般奎屯王新敞新疆2.不完全歸納法不完全歸納法:根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結(jié)論的推理方法叫做不完全歸納法.3.完全歸納法完全

2、歸納法:把研究對(duì)象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法.完全歸納法是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的.通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時(shí)，采用完全歸納法.4.4.數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法:對(duì)于某些與自然數(shù)n有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；然后假設(shè)當(dāng)n=k(k?N，k≥n0)時(shí)命題成

3、立，證明當(dāng)n=k1時(shí)命題也成立奎屯王新敞新疆這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法5.數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)n0，如果當(dāng)n=n0時(shí)，命題成立，再假設(shè)當(dāng)n=k(k≥n0，k∈N)時(shí)，命題成立.(這時(shí)命題是否成立不是確定的)，根據(jù)這個(gè)假設(shè)，如能推出當(dāng)n=k1時(shí)，命題也成立，那么就可以遞推出對(duì)所有不小于n0的正整數(shù)n01，n02，…，命題都成立.6.用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：用

4、數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：(1)證明：當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確；(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N，且k≥n0)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k1時(shí)結(jié)論也正確.由(1)，(2)可知，命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確奎屯王新敞新疆例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果an是一個(gè)等差數(shù)列，那么an=a1(n－1)d對(duì)一切n∈N都成立.證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=a1，右邊=a10d=a1，等式是成立的(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，就是ak=

5、a1(k－1)d.那么ak1=akd=［a1(k－1)d］d=a1［(k1)－1］d，這就是說，當(dāng)n=k1時(shí)，等式也成立.由(1)和(2)可以判定，等式對(duì)任何n∈N都成立.變式變式1.用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)，左邊應(yīng)為_____________.??????1121531nnnn????????1?n例2用數(shù)學(xué)歸納法證明：135…(2n－1)=n2.證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，就是1

6、35…(2k－1)=k2，那么135…(2k－1)［2(k1)－1］=k2［2(k1)－1］=k22k1=(k1)2.∴n=k1時(shí)也成立.由(1)和(2)，可知等式對(duì)任何n∈N都成立奎屯王新敞新疆變式變式2：用數(shù)學(xué)歸納法證明：123…n=.2)1(?nn證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊==1.∴等式成立.2)11(1??(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即123…k=.那么當(dāng)n=k1時(shí)，2)1(?kk123…k(k1)=k(k1)(

7、k1)=(k1)(k1)=(k1)(k11)∴n=k1時(shí)，等式也成立.212121由(1)(2)可知等式對(duì)一切n∈N都成立.例3、用數(shù)學(xué)歸納法證明奎屯王新敞新疆6)12)(1(3212222???????nnnn?例4、用數(shù)學(xué)歸納法證明2)1()13(1037241??????????nnnn?例5用數(shù)學(xué)歸納法證明：x2n－y2n()能被xy整除奎屯王新敞新疆nN?證明:(1)當(dāng)n=1時(shí)，x2n－y2n=x2－y2=(x－y)(xy)所

8、以(x－y)(xy)能被xy整除.故n=1時(shí)命題成立.(2)假設(shè)n=k時(shí)x2k－y2k能被xy整除，(利用添項(xiàng)去項(xiàng)將x2k2－y2k2配成x2k－y2k的形式，再用歸納假設(shè))因?yàn)閤2k2－y2k2=x2x2k－y2y2k=x2(x2k－y2k)x2y2k－y2y2k=x2(x2k－y2k)y2k(x2－y2)由假設(shè)x2k－y2k能被xy整除，而x2－y2也能被xy整除.故x2k2－y2k2能被xy整除，即n=k1時(shí)也成立.由(1)、(2

9、)知命題對(duì)一切正整數(shù)都成立.變式變式3n為奇數(shù)時(shí)xnyn能被xy整除.證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，xnyn=xy，它能被xy整除，所以n=1時(shí)命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k為正奇數(shù))時(shí)，命題成立，即xkyk能被xy整除.當(dāng)n=k2時(shí)，xk2yk2=x2xky2yk=x2(xkyk)y2yk－x2yk=x2(xkyk)yk(y2－x2)=x2(xkyk)yk(yx)(y－x).由歸納假設(shè)知.xkyk能被xy整除.(yx)(y－x)也能被xy

10、整除.∴x2(xkyk)yk(yx)(y－x)能被xy整除.即xk2yk2也能被xy整除.故對(duì)n=k2時(shí)也成立.即第k1個(gè)奇數(shù)也成立.由(1)、(2)知命題對(duì)一切正奇數(shù)都成立奎屯王新敞新疆變式變式4：xn－yn(n∈N)能被x－y整除.提示：(1)n=1時(shí)，x1－y1能被x－y整除.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)命題成立，即xk－yk能被x－y整除.那么n=k1時(shí)，xk1－yk1=xxk－yyk=x(xk－yk)xyk－yyk=x(xk

11、－yk)yk(x－y).由歸納假設(shè)xk－yk及x－y能被x－y整除，所以xk1－yk1能被x－y整除.例6用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于任意自然數(shù)n，數(shù)11n2122n1是133的倍數(shù).證明：(1)當(dāng)n=0時(shí)，11n2122n1=112121=12112=133.故n=0時(shí)命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即11k2122k1能被133整除.∴n=k1時(shí)，11(k1)2122(k1)1=1111k2122122k1=11(11k2122k