數(shù)學歸納法基礎

1、一、基礎知識：一、基礎知識：1.歸納法：由一些特殊事例推出一般結論的推理方法.特點：特殊→一般2.不完全歸納法:根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結論的推理方法叫做不完全歸納法.3.完全歸納法:把研究對象一一都考查到了而推出結論的歸納法稱為完全歸納法.完全歸納法是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結論的推理方法，又叫做枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結論是可靠的.通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時，采用

2、完全歸納法.4數(shù)學歸納法:對于某些與自然數(shù)n有關的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當n取第一個值n0時命題成立；然后假設當n=k(k包含于N，k≥n0)時命題成立，證明當n=k1時命題也成立。這種證明方法就叫做數(shù)學歸納法。5.數(shù)學歸納法的基本思想：即先驗證使結論有意義的最小的正整數(shù)n0，如果當n=n0時，命題成立，再假設當n=k(k≥n0，k∈N)時，命題成立.(這時命題是否成立不是確定的)，根據(jù)這個假設，如能推出當n=k

3、1時，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于n0的正整數(shù)n01，n02，…，命題都成立.6用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關的命題的步驟：（1）驗證n取第一個值n0時命題的正確性。（遞推基礎）（2）證明“由n＝k時命題正確可推得n＝k＋1時命題也正確”。（遞推的依據(jù)）（3）由以上兩步驟得出結論。以上的第一步與第二步缺一不可。如果只有第一步證明，缺少第二步的證明，那么就只能保證當n＝n0時，命題成立，至于n取其他自然數(shù)的情形，則并未證明，

4、這種“以一代全”的證明顯然有誤；而如果只證明第二步，而不證明第一步，乍看似乎能由遞推的特性把n取所有自然數(shù)的情形都證明了。但細細想來，還是有問題的，試想，當n＝n0時命題成立與否并未確認，那么第二步涉及的遞推的基礎又去哪兒尋找呢？即便有第二步的遞推關系成立，則因缺少遞推的基礎，就使得第二步的證明尤如“空中樓閣”，很不可靠，二、數(shù)學歸納法疑難點歸納二、數(shù)學歸納法疑難點歸納難點1：對象的無限性。數(shù)學歸納法所證明的是無窮個命題P（1）、P（2

5、）、P（3）、……、P（n）、……為真，無法一一檢驗，需要尋找一種好的辦法來解決。難點2：作為認識這個抽象“對象”的必要基礎，學生本身遞歸方法的知識不夠，往往把“不完全歸納法”作為“數(shù)學歸納法”，用有限來說明無限，不能理解數(shù)學歸納法所滲透的數(shù)學思想。難點3：對數(shù)學歸納法第二步的真實作用不夠明確，學生面臨的心理困難主要是：①n=k時，命題P（k）到底成立還是不成立？怎樣證明？②既然成立，何必用假設兩個字呢？用“已知”不就得了；③假設n=K

6、時命題成立不就是假設原命題成立嗎？把n=K時的假設P（k）與原命題P（n）混淆起來。難點4：對數(shù)學歸納法的真實性表示困惑。為什么證明了“兩個步驟”就可以斷言命題對一切自然數(shù)都成立呢？為什么只須驗證“n=n0”的情況呢？為什么可以“假設n=K時結論正確”呢？數(shù)列類命題先用遞推式，后利用歸納假設幾何類命題從p(k1)命題成立的結論中，分解出p(k)命題成立的部分，然后去證余下的部分整除類命題提出因子，湊成假設，數(shù)字不符，多退少補“湊”指的是

7、湊成假設，“變”指的是為了變型推理運算得到p(k1)的結論，是湊成假設的目的。4、找出差別，才能實現(xiàn)n=k到n=k1的過渡數(shù)字歸納法證題由第二步的重要性使我們意識到對P(k)和P(k1)認識清楚的必要。典例解析典例解析1、用數(shù)學歸納法證明：證明：證明：1）當n=1時，左邊=1=，右邊==，所以等式成立。2）假設當n=k時，等式成立，即。那么，當n=k1時，這就是說，當n=k1時等式也成立。綜上所述，等式對任何自然數(shù)n都成立。說明：說明：

8、要證明的等式左邊共2n項，而右邊共n項。項。f(k)f(k)與f(k1)f(k1)相比較，左邊增加兩項，右邊增加相比較，左邊增加兩項，右邊增加一項，并且二者右邊的首項也不一樣一項，并且二者右邊的首項也不一樣，因此在證明中采取了將與合并的變形方式，這是在分析了f(k)與f(k1)的差異和聯(lián)系之后找到的方法。（本質上是找的函數(shù)的差異）2、已知a1=1，a2=3，an2=(n3)an1(n2)an，若當m≥n時am的值都能被9整除求n的最小值