多元線性回歸模型

1、多元線性回歸模型,計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué),第三章,2,引子:中國已成為世界汽車產(chǎn)銷第一大國,中國社會科學(xué)院《中國汽車社會發(fā)展報告2012-2013》顯示，中國國內(nèi)汽車產(chǎn)銷量已近2000萬輛。從2000年開始，中國汽車市場進(jìn)入到黃金10年。汽車保有量從1600萬輛攀升到1億多輛。2010年成為全球第一大汽車市場，中國的汽車保有量已經(jīng)超過日本，成為僅低于美國的世界第二大汽車保有國。業(yè)內(nèi)預(yù)計(jì)，2020年我國汽車保有量將突破2億輛。 是什么因素導(dǎo)

2、致中國汽車數(shù)量的增長? 影響中國汽車行業(yè)發(fā)展的因素并不是單一的，經(jīng)濟(jì)增長、消費(fèi)趨勢、市場行情、業(yè)界心態(tài)、能源價格、道路發(fā)展、內(nèi)外環(huán)境，都會使中國汽車行業(yè)面臨機(jī)遇和挑戰(zhàn)。,3,分析中國汽車行業(yè)未來的趨勢,應(yīng)具體分析這樣一些問題：中國汽車市場發(fā)展的狀況如何？（用銷售量觀測）影響中國汽車銷量的主要因素是什么？ （如收入、價格、費(fèi)用、道路狀況、能源、政策環(huán)境等）各種因素對汽車銷量影響的性質(zhì)怎樣？（正、負(fù)）各種因

3、素影響汽車銷量的具體數(shù)量關(guān)系是什么？所得到的數(shù)量結(jié)論是否可靠？中國汽車行業(yè)今后的發(fā)展前景怎樣？應(yīng)當(dāng)如何制定汽車的產(chǎn)業(yè)政策？很明顯，只用一個解釋變量已很難分析汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展, 還需要尋求有更多個解釋變量情況的回歸分析方法。,怎樣分析多種因素的影響？,4,本章主要討論: ●多元線性回歸模型及古典假定 ●多元線性回歸模型的估計(jì) ●多元線性回歸模型的檢驗(yàn) ●多元線性回歸模型的預(yù)測,5,,第一節(jié)

4、多元線性回歸模型及古典假定 一、多元線性回歸模型的意義 一般形式：對于有K-1個解釋變量的線性回歸模型 注意：模型中的 （j=1,2,---k）是偏回歸系數(shù) 樣本容量為n（有n組數(shù)據(jù)） 偏回歸系數(shù)：控制其它解釋量不變的條件下，第j個解釋變量的單位變動對被解釋變量平均值的影響，即對Y平均值“直接”或“凈”的影響。,5,對偏回歸系數(shù)的理

5、解,例如：Yi= β1 + β2X2i + β3X3i + ui 對比 Yi= α1 + α2X2i + u1iβ2 和 α2都是X2i對于Yi的影響如果 X3i = b2 + b32X2i + u2i 那么 可證明 （古扎拉蒂 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 附錄有證明）只要b32≠0， β2 和 α2是有區(qū)別的。,計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中,線性回歸模型的“線性” 有兩種解釋： ◆就變量而言是線性的 ——Y的條件

6、期望（均值）是X的線性函數(shù) ◆就參數(shù)而言是線性的 ——Y的條件期望（均值）是參數(shù)β的線性函數(shù),8,多元線性回歸中的“線性”指Y的條件期望（均值）對各個回歸系數(shù)而言是“線性”的，對變量則可以是線性的，也可以是非線性的例如：生產(chǎn)函數(shù)取對數(shù)這也是多元線性回歸模型，只是這時變量為lnY、lnL、lnK,9,多元總體回歸函數(shù) 條件期望表現(xiàn)形式：將Y的總體條件期望表示為多個解釋變量的函數(shù)，如:個

7、別值表現(xiàn)形式：引入隨機(jī)擾動項(xiàng)或表示為,◆概念 在總體回歸函數(shù)中，各個 的值與其條件期望 的偏差 有很重要的意義。若只有 的影響， 與 不應(yīng)有偏差。若偏差 存在，說明還有其他影響因素。 實(shí)際代表了排除在模型以外的所有因素對 Y 的影響?！粜再|(zhì) 是其期望為 0 有一定分布的隨機(jī)變量，是未知的，不可直接觀測的。重要性：隨機(jī)擾動項(xiàng)

8、的性質(zhì)決定著計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析結(jié) 果的性質(zhì)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)方法的選擇,10,,,,,總體回歸函數(shù)與隨機(jī)擾動項(xiàng),11,多元樣本回歸函數(shù) Y 的樣本條件均值可表示為多個解釋變量的函數(shù) 或回歸剩余（殘差）：樣本觀測值與樣本條件均值之差 Y 的 樣本觀測值其中,12,二、多元線性回歸模型的矩陣表示,多個解釋變量的多元線性回歸模型的n組樣本觀測值，可表示為

9、 用矩陣表示,,12,,13,總體回歸函數(shù) 或樣本回歸函數(shù) 或 其中： 都是有n個元素的列向量 是有k 個 元素

10、的列向量 （ k = 解釋變量個數(shù) + 1 ） 是第一列為1的n×k階解釋變量數(shù)據(jù)矩陣 ， (截距項(xiàng)可視為解釋變量總是取值為1),矩陣表示方式,轉(zhuǎn) 置 矩 陣,定義 把矩陣A的行換成相應(yīng)的列，得到的新矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT或A' Transpose of a Matrix轉(zhuǎn)置

11、矩陣基本性質(zhì) (A±B)'=A'±B' (A×B)'= B'×A' 注意乘積的順序 (A')'=A (λA')'=λA det(A‘)=det(A) 轉(zhuǎn)置矩陣的行列式不變,對 稱 矩 陣,在一個n階方陣A中，若元素滿足下述性質(zhì) aij=aji ； i≥0，j≤n-1；則稱A為對

12、稱矩陣 對稱矩陣A滿足 AT =A 實(shí)矩陣與轉(zhuǎn)置矩陣的乘積是對稱矩陣 證明：因?yàn)?(AAT) T = (AT) T AT = AAT所以 AAT 是對稱矩陣 ；同樣ATA也是對稱矩陣。,單 位 陣,定義主對角線上的元素都為1，其余元素全為0的n階矩陣稱為n階單位矩陣，記為In或En.性質(zhì) 根據(jù)矩陣乘法的定義，單位矩陣的重要性質(zhì)為AIn=A & InB=B 單位矩陣的行列

13、式為1,即｜In｜=1,定義：A=(aij) m×n的不為零的子式的最大階數(shù)稱為矩陣A的秩，記作r(A ) 或 Rank(A ) 或 R(A)。 ◇ m × n矩陣的秩最大值為m和n中的較小者，表示為 min(m,n)。顯然r (A) ≤min(m,n) ◇若A中至少有一個r階子式不等于零，在r<min(m,n)時，A中所有的r+1階子式全為零，則A的秩為r。 ◇ n階可逆矩陣的秩為n，通常又將可逆矩陣稱

14、為滿秩矩陣, det(A)≠0；不滿秩矩陣就是奇異矩陣，det(A)=0。,矩 陣 的 秩,矩 陣 的 秩,◇滿秩矩陣: 若矩陣秩等于矩陣的行數(shù)，稱為行滿秩；若矩陣秩等于矩陣的列數(shù)，稱為列滿秩。既是行滿秩又是列滿秩，則為n階方陣。◇ 若矩陣A的行列式不為零，即｜A｜≠0，那么它是可逆的，且它是滿秩矩陣?！?設(shè) A是 m×n 的矩陣，如果A是可逆的，根據(jù)可逆矩陣的性質(zhì)有，A必定為滿秩矩陣，且｜A｜≠0。并有： r(A

15、)=r(A')=r(AA')=r(A'A) （本科范圍線性代數(shù)，把可逆矩陣都定義為方陣，廣義逆,則可以是m*n的，不在本科線性代數(shù)范圍內(nèi)）,矩 陣 的 秩,一個矩陣的秩是其行列式不為零的子方陣的最大的階數(shù)。,,,A=,A的行列式為零，雖然它的階數(shù)是3×3，但是它的秩卻小于3。它的子方陣B的行列式為-6，這是個非零值，B的階為2×2，B是A的子方陣，B不為零，因此A的秩為B的階數(shù)2.,

16、,,B=,有用+1,有用+1,有用+1,可逆矩陣是線性代數(shù)中的一個矩陣，在線性代數(shù)中，給定一個 n 階方陣A，若存在一n 階方陣B，使得AB=BA=In（AB=In、BA=In 任意滿足一個），其中In 為n 階單位矩陣，則稱A 是可逆的，且B 是A 的逆陣，記作 A-1?？赡婢仃嚨男再|(zhì)：﹒ A 的行列式不為零 ︱A︱≠0。 ﹒ A 的秩等于 n（A 滿秩）。 ﹒ A 的轉(zhuǎn)置矩陣 A ′也是可逆的。 ﹒ AA

17、 ′ 也是可逆的。 ﹒ 如果A是可逆的，那么它的逆矩陣是惟一的。 （AB）-1 = B -1A -1,可逆矩陣,21,三、多元線性回歸中的基本假定,假定1：零均值假定 （ i=1，2，---n） 或 E（u）=0 假定2和假定3：同方差和無自相關(guān)假定：

18、 Var（ui)=E(ui-Eui)2= σ2 或用方差-協(xié)方差矩陣表示為: E(uu’)為n行n列的對稱方陣,,（i=j）,(i≠j),0,22,假定4：隨機(jī)擾動項(xiàng)與解釋變量不相關(guān),σ2I是數(shù)量矩陣—就是主對角線上元素都是同一個數(shù)值，其余元

19、素都是零。單位矩陣I乘以任意數(shù)得到的結(jié)果是數(shù)量矩陣,假定5: 無多重共線性假定 (多元中增加的) 假定各解釋變量之間不存在線性關(guān)系，或各個解釋變量觀測值之間線性無關(guān)?；蚪忉屪兞坑^測值 矩陣X的秩為K (注意X為n行K列的矩陣，n≥k秩為K表示K列解釋變量都是線性無關(guān)的)。 Rank(X)= k Rank(X'X)=k X的轉(zhuǎn)置矩陣與X相乘的方陣

20、（k×k)的秩 也等于k，即 (X'X) 可逆 假定6:正態(tài)性假定,矩陣形式,第二節(jié) 多元線性回歸模型的估計(jì),一、普通最小二乘法（OLS）原則：尋求剩余平方和最小的參數(shù)估計(jì)式 即求偏導(dǎo)，并令其為0 其中即,,,,,,24,25,用矩陣表示的正規(guī)方程偏導(dǎo)數(shù)因?yàn)闃颖净貧w函數(shù)為

21、 兩邊左乘根據(jù)最小二乘原則則正規(guī)方程為,26,OLS估計(jì)式 由正規(guī)方程 多元回歸的OLS估計(jì)量為當(dāng)只有兩個解釋變量時,代數(shù)表達(dá)式為：注意： 為X、Y的離差,,對比,簡單線性回歸中,27,OLS回歸線的數(shù)學(xué)性質(zhì) (與簡單線性回歸相同),●回歸線通過樣本均值 ●估計(jì)值 的均值等于實(shí)際

22、觀測值 的均值 ●剩余項(xiàng) 的均值為零 ●被解釋變量估計(jì)值 與剩余項(xiàng) 不相關(guān) ●解釋變量 與剩余項(xiàng) 不相關(guān)

23、 （j=1,2,---k）,27,28,二、 OLS估計(jì)式的統(tǒng)計(jì)性質(zhì),1、  線性特征 是Y的線性函數(shù)，因 是非隨機(jī)或取固定值的矩陣 2、  無偏特性 (證明見教材P101附錄3.1) 3、  最小方差特性 在 所有的線性無偏

24、估計(jì)中，OLS估計(jì) 具有最小方差 (證明見教材P101或附錄3.2) 結(jié)論：在古典假定條件下，多元線性回歸的 OLS估 計(jì)式是最佳線性無偏估計(jì)式（BLUE）,29,三、 OLS估計(jì)的分布性質(zhì)基本思想： ● 是隨機(jī)變量，必須確定其分布性質(zhì)才可能進(jìn)行區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn) ● 是服從正態(tài)分布的隨機(jī)

25、變量，決定了Y也是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量 ● 是Y的線性函數(shù)，決定了 也是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量,30,● 的期望 (由無偏性) ● 的方差和標(biāo)準(zhǔn)誤差： 可以證明 的方差—協(xié)方差矩陣為（見下頁）

26、 k*n n*k 這里的 （其中 是矩陣 中第 j 行第 j 列的元素） 所以 （j=1,2,---k）,的期望與方差,31,其中：,(由無偏性),(由同方差性),(由OLS估計(jì)式),31,注意 是向量,的方差-協(xié)方

27、差矩陣推導(dǎo),n階的數(shù)量（標(biāo)量）方陣，也是對稱方陣,K階的對稱方陣,A的轉(zhuǎn)置求逆等于A的求逆的轉(zhuǎn)置矩陣 AT(A-1) T=(A-1·A)T=ET=E (AT)-1=(A-1)T,,33,四、 隨機(jī)擾動項(xiàng)方差 的估計(jì),一般未知，可證明多元回歸中 的無偏 估計(jì)為：(證明見P103附錄3.3) 看做一行一列

28、的矩陣 或矩陣表示為 將 （ 矩陣中的元素） 作標(biāo)準(zhǔn)化變換：,33,,,n-k為殘差平方和對應(yīng)的自由度。 一元線性回歸中,對比：ee’是n階方陣,對比簡單線性回歸模型參數(shù)估計(jì)值的表達(dá)式,一元線性回歸中是單一的參數(shù)的估計(jì)值，而多元線性回歸的參數(shù)估計(jì)值是矩陣（k行的列向量）,35,未知時 的標(biāo)準(zhǔn)化變換,因 是未知的， 可用

29、 代替 去估計(jì)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差:● 當(dāng)為大樣本時，用估計(jì)的參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤差對 作標(biāo)準(zhǔn)化變換，根據(jù)中心極限定理，所得 Z 統(tǒng)計(jì)量仍可視為服從正態(tài)分布●當(dāng)為小樣本時，用估計(jì)的參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤差對 作標(biāo)準(zhǔn)化變換，所得的 t 統(tǒng)計(jì)量服從 t 分布：,35,36,五、 回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì),由于給定 ，查t分布表的自由度為 n-k 的臨界值或或表示為,36,37,第三節(jié) 多元線性回歸模型的檢驗(yàn),一、

30、多元回歸的擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 多重可決系數(shù)：在多元回歸模型中，由各個解釋 變量聯(lián)合起來解釋了的Y的變差，在Y的總變差中占 的比重，用 表示 與簡單線性回歸中可決系數(shù) 的區(qū)別只是 不同多元回歸中多重可決系數(shù)可表示為 (注意:紅色字體是與一元回歸不同的部分） 觀測值總變差,,回歸估計(jì)值的變差即回歸平方和,38,多重可決系數(shù)的矩陣表示

31、矩陣表示 　均值修正項(xiàng)可用代數(shù)式表達(dá)為 特點(diǎn):樣本容量不變的情況下，隨著模型中解變量個數(shù)的增加，總離差平方和ＴＳＳ不會改變，而解釋了的回歸平方和ＥＳＳ可能增大，多重可決系數(shù)R2 因而變大。即多重可決系數(shù)是模型中解釋變量個數(shù)的不減函數(shù)。,,39,修正的可決系數(shù) 當(dāng)被解釋變量相同，而解釋變量個數(shù)不同

32、的時候，運(yùn)用多重可決系數(shù)去比較兩個模型擬合程度的優(yōu)劣會有缺陷。為何解釋變量個數(shù)不同的時候，不能簡單直接對比多重可決系數(shù)？因?yàn)檫@樣會帶來分析錯覺，這個時候好像只要在回歸模型中增加解釋變量的個數(shù)，就會增大可決系數(shù)的值，要提高模型的擬合優(yōu)度只需在模型中增加解釋變量的個數(shù)就行了，而事實(shí)并非如此。樣本容量既定的情況下，增加解釋變量的個數(shù)必然會使待估系數(shù)的個數(shù)增加，從而會損失自由度，這給對比不同模型的多重可決系數(shù)帶來缺陷，所以需要修正?？蓻Q系數(shù)

33、只涉及變差，沒有考慮自由度。如果用自由度去矯正所計(jì)算的變差，可以更加準(zhǔn)確地反映樣本回歸線對觀測點(diǎn)（散步點(diǎn)）的擬合優(yōu)度，從而解決解釋變量個數(shù)不同引起的對比困難。統(tǒng)計(jì)量的自由度是指可自由變化的樣本觀測值個數(shù)，它等于所用樣本觀測值的個數(shù)減去對觀測值的約束個數(shù)。,40,可決系數(shù)的修正方法 總變差 TSS 自由度為 n-1 解

34、釋了的變差 ESS 自由度為 k-1 剩余平方和 RSS 自由度為 n-k 修正的可決系數(shù)為,41,修正的可決系數(shù) 與可決系數(shù) 的關(guān)系 已經(jīng)導(dǎo)出： 注意：當(dāng)k＞1時，有 可決系數(shù)

35、 必定非負(fù)，但所計(jì)算的修正可決系數(shù) 有可能為負(fù)值 解決辦法：若計(jì)算的 ，規(guī)定 取值為0,42,42,二、回歸方程的顯著性檢驗(yàn)（F檢驗(yàn)）,基本思想： 在多元回歸中包含多個解釋變量，它們與被解釋變量是否有顯著關(guān)系呢？ 當(dāng)然可以分別檢驗(yàn)各個解釋變量對被解釋變量影響的顯著性。 但是我們首先關(guān)注的是所有解釋變量聯(lián)合起來對被解釋變量影響的顯著性, 或整個回歸方程

36、總的聯(lián)合的影響顯著性，需要對方程的總體顯著性在方差分析的基礎(chǔ)進(jìn)行F檢驗(yàn)。（R2 是建立在對總變差分解的基礎(chǔ)上）,43,43,在討論可決系數(shù)時已經(jīng)分析了被解釋變量總變差TSS的分解及自由度： TSS=ESS+RSS注意: Y的樣本方差= 總變差/自由度 即顯然，Y的樣本方差也可分解為兩部分，可用方差分析表分解,43,1.方差分析,44,總變差

37、 TSS= 自由度 n－1 模型解釋了的變差 ESS= 自由度 k－1剩余變差 RSS= 自由度 n－k,變差來源 平 方 和 自由度 方 差歸于回歸模

38、型 ESS= k-1歸于剩余 RSS= n-k總變差 TSS= n-1,,,,,,方差分析表,,基本思想: 如果多個解釋變量聯(lián)

39、合起來對被解釋變量的影響不顯著,“歸于回歸的方差“ 比“歸于剩余的方差”顯著地小應(yīng)是大概率事件。,2. F檢驗(yàn),46,2. F檢驗(yàn),原假設(shè):（所有解釋變量聯(lián)合起來對被解釋變量的影響不顯著）備擇假設(shè): 不全為0建立統(tǒng)計(jì)量(可以證明): 給定顯著性水平 ，查F分布表中自由度為 k-1 和 n-k 的臨界值

40、 ，并通過樣本觀測值計(jì)算F值,,,46,47,F檢驗(yàn)方式,▼如果計(jì)算的F值大于臨界值 ， 則拒絕 ，說明回歸模型有顯著意義， 即所有解釋變量聯(lián)合起來對Y確有顯著影響。▼如果計(jì)算的F值小于臨界值 ，則不拒絕

41、 ，說明回歸模型沒有統(tǒng)計(jì)上的顯著性意義，即所有解釋變量聯(lián)合起來對Y沒顯著影響。,,,48,3. F顯著性檢驗(yàn) VS 可決系數(shù)的顯著性,擬合優(yōu)度與F 檢驗(yàn)是從不同原理出發(fā)的兩類檢驗(yàn)，但有內(nèi)在聯(lián)系。擬合優(yōu)度：從估計(jì)的模型出發(fā)，檢驗(yàn)對樣本觀測值的擬合程度。F檢驗(yàn)：從樣本觀測值出發(fā)，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ驼w關(guān)系的顯著性。密切關(guān)系：二者都建立在對被解釋變量變差分解的基礎(chǔ)上，修正的可決系數(shù)與F都與自由度

42、有關(guān)。F 統(tǒng)計(jì)量與可決系數(shù)可相互計(jì)算：可以看出：當(dāng) =0 時，F(xiàn)=0 ; 當(dāng) =1時, F→∞;當(dāng) 越大時，F(xiàn)值也越大，F(xiàn)與 同方向變化。結(jié)論：F檢驗(yàn)等價于對 的顯著性檢驗(yàn)（但不能只看 ，更應(yīng)該看F值),多元線性回歸分析中為什么要對可決系數(shù)加以 修正？ 修正可決系數(shù)與F檢驗(yàn)之間有何聯(lián)系區(qū)別?隨著模型中解釋變量的增加，多重可決系數(shù)R

43、2的值會變大。當(dāng)樣本容量一定，被解釋變量相同而解釋變量個數(shù)不同時，運(yùn)用多重可決系數(shù)去比較兩個模型擬合程度會帶來缺陷，因?yàn)榭蓻Q系數(shù)只考慮變差，沒有考慮自由度；因此要對其加以修正。聯(lián)系：F檢驗(yàn)與可決系數(shù)有密切的聯(lián)系，一般來說，模型對觀測值的擬合程度越高，模型總體線性關(guān)系的顯著性就越強(qiáng)。隨著可決系數(shù)的增加，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量的值不斷增加。對方程聯(lián)合顯著性檢驗(yàn)的F檢驗(yàn)，實(shí)際上也是對R2的顯著性檢驗(yàn)。區(qū)別:可決系數(shù)和修正的可決系數(shù)只能提供對擬合優(yōu)度的度

44、量，它們的值究竟要達(dá)到多大模型才算通過了檢驗(yàn)？對此并沒有確定的界限。而F檢驗(yàn)可以在給定顯著性水平下給出統(tǒng)計(jì)意義上的嚴(yán)格結(jié)論（用樣本計(jì)算的F值和查F統(tǒng)計(jì)表得到臨界值作比較，決定是否拒絕原假設(shè)，即解釋變量聯(lián)合起來是否對于被解釋變量有顯著影響。）,50,三、各回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)（t 檢驗(yàn)）,注意: 在一元回歸中F檢驗(yàn)與t檢驗(yàn)等價, 且 在一元線性回歸中，解釋變量只有一個，不存在整體聯(lián)合影響被解釋變量的問題，也就不需要整體性的F檢驗(yàn)。

45、 (見教材P77證明)但在多元回歸中，F(xiàn)檢驗(yàn)顯著，不一定每個解釋變量都對Y有顯著影響。還需要分別檢驗(yàn)當(dāng)其他解釋變量保持不變時，各個解釋變量X對被解釋變量Y是否有顯著影響。 方法： 原假設(shè)（j=1,2,……k） 備擇假設(shè) 這里 包括了截距項(xiàng)，區(qū)別于F檢驗(yàn)當(dāng)中的原假設(shè)—所有與X相乘的 斜率系數(shù)都為零 統(tǒng)計(jì)量t為：,51,給定顯著性水平α，查t分布表的臨界值為如果

46、 就不拒絕 ，而拒絕 即認(rèn)為 所對應(yīng)的解釋變量 對被解釋變量Y的影響不顯著。 如果 就拒絕 而不拒絕 即認(rèn)為

47、 所對應(yīng)的解釋變量 對被解釋變量Y的影響是 顯著的。討論：在多元回歸中，可以作F檢驗(yàn)，也可以分別對每個回歸系數(shù)逐個地進(jìn)行 t 檢驗(yàn)。 F 檢驗(yàn)與t檢驗(yàn)的關(guān)系是什么？,對各回歸系數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的作法,● 在多元線性回歸方程中，t檢驗(yàn)用作檢驗(yàn)回歸方程中各個參數(shù)的顯著性,而F檢驗(yàn)則用作檢驗(yàn)回歸方程整體的顯著性. 進(jìn)行F檢驗(yàn)，回歸方程的所有解釋變量中，只要有一個解釋變量同被解釋變量的線性關(guān)系顯著即可（備擇假設(shè)）。 ●

48、F檢驗(yàn)顯著并不意味著每個參數(shù)的t檢驗(yàn)都顯著，也就是說，各解釋變量聯(lián)合起來對被解釋變量有顯著影響, 并不意味著每一個解釋變量分別對被解釋變量有顯著影響--或者說有顯著的線性關(guān)系。 ●在一般情形下,t檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)的結(jié)果沒有必然聯(lián)系;但當(dāng)解釋變量之間兩兩不相關(guān)時,若所有解釋變量的系數(shù)均通過t檢驗(yàn),那么回歸方程也能通過F檢驗(yàn)。,F檢驗(yàn)與t檢驗(yàn),53,第四節(jié)  多元線性回歸模型的預(yù)測,一、被解釋變量平均值預(yù)測1. Y平均值

49、的點(diǎn)預(yù)測 方法：將解釋變量預(yù)測值代入估計(jì)的方程： 多元回歸時： 或注意: 預(yù)測期的 只是一組數(shù)據(jù)， 因此它是第一個元素為1的行向量,不是矩陣,也不是列向量。計(jì)算對應(yīng)一個,54,2. Y平均值的區(qū)間預(yù)測,基本思想： （與簡單線性回歸時相同） ●由于存在抽樣波動，點(diǎn)預(yù)測值 不一定 等

50、于真實(shí)平均值 ，還需要對 作區(qū)間估計(jì)。 ●為了對Yf 平均值作區(qū)間預(yù)測，必須確定點(diǎn)預(yù)測值 的抽樣分布。 ● 必須找出與 和 都有關(guān)的統(tǒng)計(jì)量, 并要明確其概率分布性質(zhì)。,54,OLS回歸線的數(shù)學(xué)性質(zhì)之一：估計(jì)值 的均值等于實(shí)際觀測值Yi的均值，因此

51、 f 是E(Yf)的無偏估計(jì)，從而 f可以用作預(yù)測期的平均值E(Yf)和個別值Yf的點(diǎn)預(yù)測值。,56,多元回歸時，與點(diǎn)預(yù)測值 f和真實(shí)平均值 都有關(guān)的是二者的偏差 wf ：

52、 因?yàn)?f服從正態(tài)分布,所以wf 也服從正態(tài)分布。有： 用 代替 ，可構(gòu)造wf 的 t 統(tǒng)計(jì)量,區(qū)間預(yù)測的具體作法（多元時）,57,給定顯著性水平α，查t分布表，得自由度為 n-k的臨界值 ，則

53、 即,區(qū)間預(yù)測的具體作法,58,二、被解釋變量個別值預(yù)測,基本思想： （與簡單線性回歸時相同）   ●由于存在隨機(jī)擾動 的影響，Y的平均值并不等于Y的個別值。僅對Y的平均值做預(yù)測是不夠的。 ●為了對Y的個別值 作區(qū)間預(yù)測，需要尋找點(diǎn)預(yù)測值 和預(yù)測目標(biāo)的個別值 都有關(guān)的統(tǒng)計(jì)量，并要明確其概率分布性質(zhì)。,59,已知剩余項(xiàng) 是與預(yù)測

54、值 和個別值 都有關(guān)的變量 并且已知 服從正態(tài)分布，且多元回歸時可證明 當(dāng)用 代替 時，對 標(biāo)準(zhǔn)化的 變量 t 為：,個別值區(qū)間預(yù)測具體作法,給定顯著性水平 ，查t分布表得自由度為 n-k 的臨界值

55、 則 　因此，多元回歸時Yf 的個別值的置信度1-α的預(yù)測區(qū)間上下限為,60,61,第五節(jié) 案例分析,研究的目的要求：為了研究影響中國地方財(cái)政教育支出差異的主要原因，分析地方財(cái)政教育支出增長的數(shù)量規(guī)律，預(yù)測中國地方財(cái)政教育支出的增長趨勢，需要建立計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型。研究范圍：2011年31個省市區(qū)的數(shù)據(jù)為樣本,理論分析：影響中國地方財(cái)政教育支出的主要的因素有：（1）由地區(qū)經(jīng)濟(jì)規(guī)模決定的

56、地方整體財(cái)力；（2）地區(qū)人口數(shù)量不同決定各地教育規(guī)模不同；（3）人民對教育質(zhì)量的需求對以政府教育投入為代表的公共財(cái)政的需求會有相當(dāng)?shù)挠绊?。?）物價水平，教育消費(fèi)的價格變動影響地方財(cái)政對教育的支出。（5）地方政府對教育投入的能力與意愿,模型設(shè)定,選擇地方財(cái)政教育支出為被解釋變量。選擇“地區(qū)生產(chǎn)總值（GDP）”作為地區(qū)經(jīng)濟(jì)規(guī)模的代表；選擇各地區(qū)的“年末人口數(shù)量”作為各地區(qū)居民對教育規(guī)模的需求的代表；選擇“居民平均每人教育現(xiàn)金

57、消費(fèi)”作為代表居民對教育質(zhì)量的需求；選擇居民教育消費(fèi)價格指數(shù)作為價格變動影響的因素；由于地方政府教育投入的能力與意愿難以直接量化，選擇“教育支出在地方財(cái)政支出中的比重”作為其代表。,探索將模型設(shè)定為線性回歸模型形式：,,64,樣本數(shù)據(jù)：2011年各地區(qū)地方財(cái)政教育支出及主要影響因素,65,66,三、估計(jì)參數(shù),,,,,,模型估計(jì)的結(jié)果為：,(935.8816) (0.0018) (0.0080) (0.0517) （9.

58、0867） (470.3214)t= (-2.5820) (6.3167) (4.9643)（ 2.8267) (2.5109) (1.8422) R2=0.9732 =0.9679 F=181.7539 n=31,68,模型檢驗(yàn)：,1、經(jīng)濟(jì)意義檢驗(yàn)： 在假定其它變量不變的情況

59、下，地區(qū)生產(chǎn)總值(GDP)每增長1億元，平均說來地方財(cái)政教育支出將增長0.0112億元；地區(qū)年末人口每增長1萬人，平均說來地方財(cái)政教育支出會增長0.0395億元；當(dāng)居民平均每人教育現(xiàn)金消費(fèi)增加1元，平均說來地方財(cái)政教育支出會增長0.1460億元；當(dāng)居民教育消費(fèi)價格指數(shù)增加1個百分點(diǎn)，平均說來地方財(cái)政教育支出會增長22.8162億元。當(dāng)教育支出在地方財(cái)政支出中的比重增加1%，平均說來地方財(cái)政教育支出會增長866.41億元。2、統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

60、：擬合優(yōu)度: ，修正的可決系數(shù)為 ，說明模型對樣本的擬合很好。 F檢驗(yàn)：針對 給定顯著性水平 ，查F分布表自由度為k-1=5和n-k=25的臨界值為 。由于F=181.7539>2.61 ，應(yīng)拒絕原假設(shè) ，說明回歸方程顯著。,68,,,,,

61、,,,,分別針對 ： ，取 ，查t分布表得自由度為n-k=25臨界值 取 ，查t分布表得自由度為n-k=25臨界值與 對應(yīng)的t統(tǒng)計(jì)量分別為-2.5820、6.3167、4.9643、2.8267、2.5109，其絕對值均大于2.060

62、 說明在顯著性水平 下，分別都應(yīng)當(dāng)拒絕原假設(shè),t檢驗(yàn),,,,,而與 對應(yīng)的t統(tǒng)計(jì)量 1.842166 1.842166 ＜2.060; 且 1.842166＞1.708 表明 “教育支出在地方財(cái)政支出中的比重”對“地方財(cái)政教育支出”Y在

63、 的顯著性水平下，沒有顯著的影響。但是在 顯著性水平下，“教育支出在地方財(cái)政支出中的比重”對“地方財(cái)政教育支出”Y有顯著的影響。這樣的結(jié)論從表3.4中的P值也可能判斷，與 估計(jì)值對應(yīng)的P值均小于 ,表明在 顯著性水平 下，對應(yīng)解釋變量對被解釋變量影響顯著。與 估計(jì)值 對應(yīng)的P值為0.0773，小于

64、 ，表明在 的顯著性水平下，“教育支出在地方財(cái)政支出中的比重”對“地方財(cái)政教育支出”Y影響是顯著的。,本章小結(jié),1. 多元線性回歸模型及其矩陣形式。2. 多元線性回歸模型中對隨機(jī)擾動項(xiàng)u的假定，除了其他基本假定以外，還要求滿足無多重共線性假定。3. 多元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)量；在基本假定滿足的條件下，多元線性回歸模型最小二乘估計(jì)式是最佳線性無偏估計(jì)量。4. 多元線性回歸模型中參數(shù)區(qū)間估