全國高中數(shù)學(xué)競賽試卷及答案

1、12008 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川賽區(qū)初賽試題 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川賽區(qū)初賽試題2008 年 5 月 18 日(14：30 一 16：30)一、選擇題 一、選擇題(本大題滿分 本大題滿分 30 分，每小題 分，每小題 5 分)1. 設(shè)集合 ，則集合 的非空真子集的個數(shù)為 （ ） ? ?2 6 0, A x x x x Z ? ? ? ? ? 且 A（A）13 （B） 14 （C） 15 （D

2、） 162. 在公差為 4 的正項等差數(shù)列中， 與 2 的算術(shù)平均值等于 與 2 的幾何平均值，其中 表示數(shù)列 3 a 3 S 3 S的前三項和，則 為 （ ） 10 a（A）38 （B） 40 （C） 42 （D） 443. 某學(xué)校的課外數(shù)學(xué)小組有 8 個男生和 6 個女生，要從她們中挑選 4 個組成代表隊去參加比賽，則代表隊包含男女各 2 人的概率為 （ ）（A）（B）（C）

3、 （D） 101433014360143701434. 設(shè)有一個體積為 54 的正四面體，若以它的四個面的中心為頂點做一個四面體，則所作四面體的體積為 （ ）（A）1 （B） 2 （C） 3 （D） 45. 已知橢圓 的左頂點為 ，右焦點為 ，點 為橢圓上的一點，則當(dāng) 取最小值2 21 4 3x y ? ? 1 A 2 F P 1 2 PA PF? ??的時候， 的值為 （

4、） 1 2 PA PF? ??（A）（B）3 （C） 5 （D） 2 2 136. 設(shè) 則 的最小值為 （ ） (0, ) 2? ? ?3 3 sin coscos sin? ?? ? ?（A）（B）（C） 1 （D） 27643 2 55 3 6二、填空題（本大題滿分 二、填空題（本大題滿分 30 分，每小題 分，每小題 5 分） 分）7. 函數(shù) 的最小值為__________________ .

5、 ( ) 1 3 5 7 f x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ?32008 2008 年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川賽區(qū)初賽試題 年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川賽區(qū)初賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明： 說明：1、評閱試卷時，請依據(jù)評分標(biāo)準(zhǔn) 、評閱試卷時，請依據(jù)評分標(biāo)準(zhǔn).選擇題和填空題只設(shè) 選擇題和填空題只設(shè) 5 分和 分和 0 分兩檔；其它各 分兩檔；其它各題的評閱，請嚴(yán)格按照評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評分檔次給分，不要再增加其它中間檔

6、次 題的評閱，請嚴(yán)格按照評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評分檔次給分，不要再增加其它中間檔次.2、如果考生的解答題方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評閱時 、如果考生的解答題方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評閱時可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分， 可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分，5 分一個檔次，不要再增加其它中間檔次 分一個檔次，不要再增加其它中間檔次.一、選擇題 一、選擇題(本大題滿分 本大題滿分 30 分，每小題 分，每小題

7、5 分)1、B 2、A 3、C 4、B 5、B 6、C二、填空題（本大題滿分 二、填空題（本大題滿分 30 分，每小題 分，每小題 5 分） 分）7、8 8、9、3 10、11、108 12、 2 ? 3 2 24? 14三、解答題（本大題滿分 三、解答題（本大題滿分 80 分，每小題 分，每小題 20 分） 分

8、）13、是否存在一個二次函數(shù) ，使得對任意的正整數(shù) ，當(dāng) 時，都 ( ) f x k555 5kx ? ? ? ? ?個有 成立？請給出結(jié)論，并加以證明．2 5( ) 55 5kf x ? ? ? ? ?個解：存在符合條件的二次函數(shù)． …5 分設(shè) ，則當(dāng) 時有：①； 2 ( ) f x ax bx c ? ? ? 1,2,3 k ? (5) 25 5 55 f a

9、 b c ? ? ? ?②； ③． (55) 3025 55 5555 f a b c ? ? ? ? (555) 308025 555 555555 f a b c ? ? ? ?聯(lián)立①、②、③，解得 ．于是， ．10 分 9 , 2, 0 5 a b c ? ? ? 2 9 ( ) 2 5 f x x x ? ?下面證明：二次函數(shù) 符合條件． 2 9 ( ) 2 5 f x x x ? ?因為 ， 155 55 5 5 1 10 1

10、00 10 ) (10 1) 9k kk? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?個（同理： ； …15 分 22 55 55 5 (10 1) 9kk? ? ? ? ? ?個255 9 5 5 (55 5) ( (10 1)) [ (10 1)] 2 (10 1) 9 5 9 9k k kkf f ? ? ? ? ? ? ? ? ???個2 5 5 (1