高中數(shù)學競賽講義(二)

1、高中數(shù)學競賽講義（二）高中數(shù)學競賽講義（二）────二次函數(shù)與命題二次函數(shù)與命題一、基礎知識一、基礎知識1二次函數(shù)：當二次函數(shù)：當0時，時，y=ax2bxc或f(x)=ax2bxc稱為關于稱為關于x的二次函數(shù)，其的二次函數(shù)，其對稱軸為直線對稱軸為直線x=，另外配方可得，另外配方可得f(x)=a(xx0)2f(x0)，其中，其中x0=，下同。，下同。2二次函數(shù)的性質(zhì)：當二次函數(shù)的性質(zhì)：當a0時，時，f(x)的圖象開口向上，在區(qū)間（的圖象開

2、口向上，在區(qū)間（∞，x0]上隨自變量上隨自變量x增大函數(shù)值減小（簡稱遞減），在增大函數(shù)值減小（簡稱遞減），在[x0∞）上隨自變量增大函數(shù)值增大（簡稱遞增）。）上隨自變量增大函數(shù)值增大（簡稱遞增）。當a0時，方程時，方程f(x)=0即ax2bxc=0…①…①和不等式和不等式ax2bxc0…②…②及ax2bxc0時，方程時，方程①有兩個不等實根，設有兩個不等實根，設x1x2(x1x2和x|x10，當，當x=x0時，時，f(x)取最小值取最小

3、值f(x0)=若a0)，當，當x0∈[mn]時，時，f(x)在[mn]上的最小值為上的最小值為f(x0)當x0n時，時，f(x)在[mn]上的最小值為上的最小值為f(n)（以上結論由二次函數(shù)圖（以上結論由二次函數(shù)圖象即可得出）。象即可得出）。定義定義1能判斷真假的語句叫命題，如能判斷真假的語句叫命題，如“35”是命題，是命題，“蘿卜好大蘿卜好大”不是命題。不含不是命題。不含邏輯聯(lián)結詞邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”的命題叫做簡單命題，由

4、簡單命題與邏輯聯(lián)結詞構成的命題叫做簡單命題，由簡單命題與邏輯聯(lián)結詞構成的命題由復合命題。的命題由復合命題。注1“p或q”復合命題只有當復合命題只有當p，q同為假命題時為假，否則為真命題；同為假命題時為假，否則為真命題；“p且q”復合命題只有當復合命題只有當p，q同時為真命題時為真，否則為假命題；同時為真命題時為真，否則為假命題；p與“非p”即“p”恰好一真恰好一真一假。一假。定義定義2原命題：若原命題：若p則q（p為條件，為條件，q為結

5、論）；逆命題：若為結論）；逆命題：若q則p；否命題：若非；否命題：若非p則q；逆否命題：若非；逆否命題：若非q則非則非p。（Ⅰ）當）當x∈(0x1)時，求證：時，求證：x0，所以，所以f(x)x.其次其次f(x)x1=(xx1)[a(xx2)1]=a(xx1)[xx2]1，求證：方程的正根比，求證：方程的正根比1小，負根比小，負根比1大。大。【證明證明】方程化為方程化為2a2x22ax1a2=0.構造構造f(x)=2a2x22ax1a2

6、f(1)=(a1)20f(1)=(a1)20f(0)=1a20，所以所以f(x)在區(qū)間（在區(qū)間（10）和（）和（0，1）上各有一根。）上各有一根。即方程的正根比即方程的正根比1小，負根比小，負根比1大。大。6定義在區(qū)間上的二次函數(shù)的最值。定義在區(qū)間上的二次函數(shù)的最值。例6當x取何值時，函數(shù)取何值時，函數(shù)y=取最小值？求出這個最小值。取最小值？求出這個最小值?！窘狻縴=1令u則0u≤1。y=5u2u1=5且當且當即x=3時，時，ymin=