高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義(二)

1、高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義（二）高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義（二）────二次函數(shù)與命題二次函數(shù)與命題一、基礎(chǔ)知識(shí)一、基礎(chǔ)知識(shí)1二次函數(shù)：當(dāng)二次函數(shù)：當(dāng)0時(shí)，時(shí)，y=ax2bxc或f(x)=ax2bxc稱為關(guān)于稱為關(guān)于x的二次函數(shù)，其的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為直線對(duì)稱軸為直線x=，另外配方可得，另外配方可得f(x)=a(xx0)2f(x0)，其中，其中x0=，下同。，下同。2二次函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)二次函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)a0時(shí)，時(shí)，f(x)的圖象開口向上，在區(qū)間（的圖象開

2、口向上，在區(qū)間（∞，x0]上隨自變量上隨自變量x增大函數(shù)值減小（簡(jiǎn)稱遞減），在增大函數(shù)值減?。ê?jiǎn)稱遞減），在[x0∞）上隨自變量增大函數(shù)值增大（簡(jiǎn)稱遞增）。）上隨自變量增大函數(shù)值增大（簡(jiǎn)稱遞增）。當(dāng)a0時(shí)，方程時(shí)，方程f(x)=0即ax2bxc=0…①…①和不等式和不等式ax2bxc0…②…②及ax2bxc0時(shí)，方程時(shí)，方程①有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)x1x2(x1x2和x|x10，當(dāng)，當(dāng)x=x0時(shí)，時(shí)，f(x)取最小值取最小

3、值f(x0)=若a0)，當(dāng)，當(dāng)x0∈[mn]時(shí)，時(shí)，f(x)在[mn]上的最小值為上的最小值為f(x0)當(dāng)x0n時(shí)，時(shí)，f(x)在[mn]上的最小值為上的最小值為f(n)（以上結(jié)論由二次函數(shù)圖（以上結(jié)論由二次函數(shù)圖象即可得出）。象即可得出）。定義定義1能判斷真假的語句叫命題，如能判斷真假的語句叫命題，如“35”是命題，是命題，“蘿卜好大蘿卜好大”不是命題。不含不是命題。不含邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的命題叫做簡(jiǎn)單命題，由

4、簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫做簡(jiǎn)單命題，由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題由復(fù)合命題。的命題由復(fù)合命題。注1“p或q”復(fù)合命題只有當(dāng)復(fù)合命題只有當(dāng)p，q同為假命題時(shí)為假，否則為真命題；同為假命題時(shí)為假，否則為真命題；“p且q”復(fù)合命題只有當(dāng)復(fù)合命題只有當(dāng)p，q同時(shí)為真命題時(shí)為真，否則為假命題；同時(shí)為真命題時(shí)為真，否則為假命題；p與“非p”即“p”恰好一真恰好一真一假。一假。定義定義2原命題：若原命題：若p則q（p為條件，為條件，q為結(jié)

5、論）；逆命題：若為結(jié)論）；逆命題：若q則p；否命題：若非；否命題：若非p則q；逆否命題：若非；逆否命題：若非q則非則非p。（Ⅰ）當(dāng)）當(dāng)x∈(0x1)時(shí)，求證：時(shí)，求證：x0，所以，所以f(x)x.其次其次f(x)x1=(xx1)[a(xx2)1]=a(xx1)[xx2]1，求證：方程的正根比，求證：方程的正根比1小，負(fù)根比小，負(fù)根比1大。大?！咀C明證明】方程化為方程化為2a2x22ax1a2=0.構(gòu)造構(gòu)造f(x)=2a2x22ax1a2

6、f(1)=(a1)20f(1)=(a1)20f(0)=1a20，所以所以f(x)在區(qū)間（在區(qū)間（10）和（）和（0，1）上各有一根。）上各有一根。即方程的正根比即方程的正根比1小，負(fù)根比小，負(fù)根比1大。大。6定義在區(qū)間上的二次函數(shù)的最值。定義在區(qū)間上的二次函數(shù)的最值。例6當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)取何值時(shí)，函數(shù)y=取最小值？求出這個(gè)最小值。取最小值？求出這個(gè)最小值。【解】y=1令u則0u≤1。y=5u2u1=5且當(dāng)且當(dāng)即x=3時(shí)，時(shí)，ymin=