多元函數(shù)的極值及其求法

1、第十一講 第十一講 二元函數(shù)的極值 二元函數(shù)的極值要求： 要求：理解多元函數(shù)極值的概念， 會(huì)用充分條件判定二元函數(shù)的極值， 會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。問(wèn)題提出 問(wèn)題提出：在實(shí)際問(wèn)題中，往往會(huì)遇到多元函數(shù)的最大值， 最小值問(wèn)題，與一元函數(shù)相類似，多元函數(shù)的最大值，最小值與極大值，極小值有密切的關(guān)系，因此以二元函數(shù)為例，來(lái)討論多元函數(shù)的極值問(wèn)題．一．二元函數(shù)的極值 一．二元函數(shù)的極值定義 定義 設(shè)函數(shù) z ? f (x, y) 在點(diǎn) (

2、x0, y0 ) 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)的所有(x, y) ? (x0, y0) ，如果總有 f (x, y) ? f (x0, y0) ，則稱函數(shù) z ? f (x, y) 在點(diǎn)(x0, y0 ) 處有極大值；如果總有 f (x, y) ? f (x0, y0) ，則稱函數(shù) z ? f (x, y) 在點(diǎn)(x0, y0 ) 有極小值．函數(shù)的極大值，極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)．例 1．函數(shù) z ? xy 在

3、點(diǎn)(0,0) 處不取得極值，因?yàn)樵邳c(diǎn)(0,0) 處的函數(shù)值為零，而在點(diǎn)(0,0) 的任一鄰域內(nèi)總有使函數(shù)值為正的點(diǎn)，也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn)．例 2．函數(shù) z ? 3x ? 4y 在點(diǎn)(0,0) 處有極小值．因?yàn)閷?duì)任何(x, y)有 f (x, y) ? f (0,0) ? 0 ．從幾何上看，點(diǎn) (0,0,0) 是開口朝上的橢圓拋物面 z ? 3x ? 4y 的頂點(diǎn)，曲面在點(diǎn) 2 22 2(0,0,0) 處有切平面 z ? 0，從而得到函數(shù)

4、取得極值的必要條件．定理 定理 1（必要條件） （必要條件）設(shè)函數(shù) z ? f (x, y) 在點(diǎn)(x0, y0 ) 具有偏導(dǎo)數(shù)， 且在點(diǎn)(x0, y0) 處有極值， 則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零，即 fx (x0, y0) ? 0 ， fy (x0, y0 ) ? 0 ．幾何解釋 幾何解釋若函數(shù) z ? f (x, y) 在點(diǎn)(x0, y0 ) 取得極值 z0 ， 那么函數(shù)所表示的曲面在點(diǎn)(x0, y0, z0)處的切平面方程為z ?

5、z0 ? fx (x0, y0 )(x ? x0 ) ? fy (x0, y0 )(y ? y0 )是平行于 xoy 坐標(biāo)面的平面 z ? z0 ．類似地有三元及三元以上函數(shù)的極值概念，對(duì)三元函數(shù)也有取得極值的必要條件為fx (x0, y0, z0) ? 0 ， fy (x0, y0, z0 ) ? 0 ， fz (x0, y0, z0) ? 0注意 注意 2．極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)，若對(duì)可導(dǎo)函數(shù)而言，怎樣？例 4．求函數(shù) f (x, y

6、) ? x ? y ? 3x ? 3y ? 9x 的極值．2 ? ? fx ? 3x ? 6x ? 9 ? 0解 先解方程組? ，求得駐點(diǎn)為(1,0),(1,2),(?3,0),(?3,2) ，2 ? ? fy ? ?3y ? 6y ? 03 3 2 2再求出二階偏導(dǎo)函數(shù) f xx ? 6x ? 6 ， fxy ? 0 ， fyy ? 6y ? 6 ．在點(diǎn) (1,0) 處， AC ? B ? 12? 6 ? 72 ? 0 ，又 A ?

7、0 ，所以函數(shù)在點(diǎn) (1,0) 處有極小值為 2f (1,0) ? ?5 ；在點(diǎn)(1,2) 處， AC ? B ? ?72 ? 0 ，所以 f (1,2) 不是極值；在點(diǎn)(?3,0) 處， AC ? B ? ?72 ? 0 ，所以 f (?3,0) 不是極值；在點(diǎn) (?3,2) 處， AC ? B ? 72 ? 0 ，又 A ? 0 ，所以函數(shù)在點(diǎn) (?3,2) 處有極大值為 222f (?3,2) ? 31．二．函數(shù)的最大值與最小值

8、二．函數(shù)的最大值與最小值求最值方法 求最值方法：⑴ 將函數(shù) f (x, y) 在區(qū)域 D 內(nèi)的全部極值點(diǎn)求出；⑵ 求出 f (x, y) 在 D 邊界上的最值；即分別求一元函數(shù) f (x,?1(x)) ， f (x,?2(x)) 的最值；⑶ 將這些點(diǎn)的函數(shù)值求出，并且互相比較，定出函數(shù)的最值．實(shí)際問(wèn)題求最值 實(shí)際問(wèn)題求最值根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)，知道函數(shù) f (x, y) 的最值一定在區(qū)域 D 的內(nèi)部取得，而函數(shù)在 D 內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，那么可以

9、肯定該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù) f (x, y) 在 D 上的最值．例 4．求把一個(gè)正數(shù)a 分成三個(gè)正數(shù)之和，并使它們的乘積為最大．解 設(shè) x, y 分別為前兩個(gè)正數(shù)，第三個(gè)正數(shù)為a ? x ? y ，問(wèn)題為求函數(shù) u ? xy(a ? x ? y) 在區(qū)域 D ： x ? 0， y ? 0， x ? y ? a 內(nèi)的最大值．因?yàn)??u ?u ? x(a ? 2y ? x)， ? y(a ? x ? y) ? xy ? y(a ? 2x