若干多元函數(shù)逼近的極值問題.pdf

1、多元函數(shù)逼近是目前函數(shù)逼近理論中發(fā)展非?；钴S的一個研究方向，與一元函數(shù)逼近相比，多元函數(shù)逼近方面還有許多問題尚待研究，但難度較大。多元函數(shù)逼近中的極值問題主要包括寬度、極子空間、最優(yōu)算法等問題。寬度研究的主要目的是尋找函數(shù)類在一定意義下的最佳逼近集和最佳逼近方法。這些問題的研究與計算復雜性、信號處理、壓縮傳感等密切相關(guān)，具有重要的理論和實際意義。
　　 逼近方法有線性逼近方法和非線性逼近方法。非線性逼近與線性逼近最大的不同是所用

2、的逼近子空間不固定，依賴于被逼近函數(shù)，對光滑度較低的函數(shù)仍可以得到較高的逼近階是其主要優(yōu)勢。最佳m-項逼近、貪婪算法等屬于非線性逼近。
　　 逼近誤差的確定有不同的框架，常見的有最壞框架、平均框架和概率框架。最壞框架下的誤差反映的是函數(shù)類中“最壞”元素的逼近誤差;平均框架下的誤差強調(diào)的是函數(shù)類中“大多數(shù)”元素的逼近誤差;概率框架研究的是逼近誤差在概率下的分布。
　　 本文關(guān)于線性逼近方法，主要研究了有限維空間上關(guān)于高斯測

3、度的對角算子在概率和平均框架下的線性寬度。綜合運用實分析，泛函分析等理論，借助高斯測度，概率積分等相關(guān)的基本關(guān)系及計算技巧，分別得到了對角算子在概率和平均框架下線性寬度的漸進估計。關(guān)于非線性逼近方法，主要研究了多元廣義周期Besov類，用小波型基作為逼近工具的最佳m-項逼近與貪婪算法。借助表現(xiàn)定理，利用Littlewood-Paley不等式和Marcinkiewicz定理基本關(guān)系式，利用函數(shù)的塊分解基本技巧得到了多元廣義周期Besov類