最優(yōu)(n,｛3,4,5｝,Λα,1,Q)-OOCs的界及構(gòu)造.pdf

1、1989年Salehi提出了光正交碼的概念，它作為一種簽名序列應(yīng)用于光碼分多址(OCDMA)系統(tǒng).目前已知的光正交碼存在的大部分結(jié)果都假定碼字的重量為常數(shù)，即常重量光正交碼.由于常重量光正交碼不能滿足多種服務(wù)質(zhì)量(QoS)的需求，Yang于1996年引入變重量光正交碼((n，W,Λa，λc，Q)-OOC)用于多媒體光碼分多址(CDMA)通信系統(tǒng)之中.在該系統(tǒng)中，不同用戶使用不同重量的光正交碼，不同重量的光正交碼有不同的誤碼率(BER).

2、低重量的碼字用于低服務(wù)質(zhì)量要求的用戶，高重量的碼字用于高服務(wù)質(zhì)量要求的用戶.因此變重量光正交碼可以使系統(tǒng)滿足多種服務(wù)質(zhì)量要求.下面給出變重量光正交碼的定義.
　　令n，λc為正整數(shù)，W={w1，w2，…，wr}為正整數(shù)集合，Λa=（λ(1)a，λ(2)a，…，λ(r)a）為正整數(shù)數(shù)組，Q=(q1，q2,…，qr)為正有理數(shù)數(shù)組且∑qi=1.（n，W,Λa，λc，Q）變重量光正交碼C(簡(jiǎn)記為(n，W,Λa，λc，Q)-OOC)是一簇

3、長(zhǎng)為n的0，1序列（碼字），并且滿足以下三個(gè)性質(zhì):
　　(1)碼字重量分布C中所有碼字的漢明重量均在集合W中，且C恰有qi·|C|個(gè)重量為wi的碼字，1≤i≤r，即qi為重量等于wi的碼字占總碼字個(gè)數(shù)的百分比;
　　(2)周期自相關(guān)性對(duì)任意x=（x0，x1，…，xn-1）∈C，其漢明重量wk∈W，整數(shù)Τ，0＜Τ＜n,n-1Σi=0xixi⊕Τ≤λ(k)a，1≤k≤r;
　　(3)周期互相關(guān)性對(duì)任意x≠y，x=(x0，x

4、1，…，xn-1)∈C，y=(y0，y1，…，yn-1)∈C，整數(shù)Τ，0≤Τ＜n，n-1∑i=0xiyi⊕Τ≤λc，上述符號(hào)⊕表示對(duì)n取模.若λ(1）a=λ(2）a=…=λ(r）a=λa，我們將（n，W,Λa，λc，Q）-OOC記為(n，W,λa，λc，Q)-OOC;若λa=λc=λ，則記為(n，W,λ，Q)-OOC.若Q=（a1/b，a2/b，ar/b…，）且gcd(a1，a2，…，ar)=1，則稱Q是標(biāo)準(zhǔn)的.顯然，b=r∑i=1 a

5、i.若Q=(1/r,1/r,…，1/r)，則稱為平衡的(n，W,Λa，λc)-OOC.
　　令Φ（n，W,Λa，λc，Q）=max{|C|∶C是(n，W,Λa，λc，Q)-OOC}.關(guān)于變重量光正交碼的碼字個(gè)數(shù)，Buratti等人給出以下上界:
　　若Q=（a1/b，a2/b,…，ar/b）是標(biāo)準(zhǔn)的，則有Φ（n，W,1，Q）≤b|n-1/r∑i=1aiwi(wi-1)|.
　　對(duì)于給定的n，W,Λa,λc和Q，若C的碼

6、字個(gè)數(shù)Φ（n，W,Λa，λc，Q）達(dá)到最大值，則稱（n，W,Λa，λc，Q）-OOC是最優(yōu)的.
　　關(guān)于(n, W,1，Q)-OOCs存在性的研究，已有一些結(jié)果.據(jù)作者所知，對(duì)于自相關(guān)系數(shù)不等的變重量光正交碼存在性的研究，當(dāng)Λa≠(1，1)，W={3，4}，{3，5}時(shí)，（n，W,Λa，1，Q）-OOCs的構(gòu)造有一些結(jié)果.本文研究當(dāng)W={3，4，5}，Λa=(1，2，1)，(1，1，2)，(1，2，2)時(shí)，(n，W,Λa，1，Q)

7、-OOCs碼字個(gè)數(shù)的上界和組合構(gòu)造，并得到如下定理:
　　定理1.1若Q=（a1/b，a2/b，a3/b）是標(biāo)準(zhǔn)，則有Φ（n，{3，4，5}，(1，2，1)，1，Q)≤{b([)n-1/△121」,gcd(n,14)=1;b([)n/△121」，gcd(n,14)=2;b([)n+1/△121」，gcd(n,14)=7;b([)n+2/△121」，gcd(n,14)=14,其中△121=6a1+8a2+20a3.
　　定理1

8、.2若Q=（a1/b，a2/b，a3/b）是標(biāo)準(zhǔn)，則有Φ（n，{3，4，5},(1，1，2)，1，Q)≤{b([)n-1/△112」, gcd(n,924)=1,2,3,6,7,21;b([)n/△112」, gcd(n,924)=4,14,28,42;b([)n+1/△112」, gcd(n,924)=11,12,22,33,66,77,231;b([)n+2/△112」, gcd(n,924)=44,84,154,308,462;b

9、([)n+3/△112」, gcd(n,924)=132;b([)n+4/△112」, gcd(n,924)=924,其中△112=6a1+12a2+12a3.
　　定理1.3若Q=（a1/b，a2/b，a3/b）是標(biāo)準(zhǔn)，則有Φ(n,{3,4,5},(1,2,2),1,Q)≤{b([)n-1/△122」,gcd(n,924)=1,3;b([)」, gcd(n,924)=2,4,6;b([)n+1/△122」，gcd(n,924)=

10、7,11,21,33;b([)n+2/△122」,gcd(n,924)=12,14,22,28,42,44,66;b([)n+3/△122」, gcd(n,924)=77,231;b([)n+4/△122」,gcd(n,924)=84,132,154,308,462;b([)n+6/△122]，gcd(n,924)=924,其中△122=6a1+8a2+12a3.
　　本文對(duì)Λa=(1，2，1)，(1，1，2),（1，2,2)的情

11、形，運(yùn)用斜Starter，平方剩余來討論（n，{3，4，5}，Λa，1，Q)-OOCs的存在性，并得出以下結(jié)果:
　　定理1.4對(duì)于任意素?cái)?shù)p≥5，且p≠17，存在最優(yōu)且平衡的17-正則(17p，{3，4，5}，(1，2，1)，1)-OOC.對(duì)于p=17，存在最優(yōu)且平衡的(17p，{3，4，5}，(1，2，1)，1)-OOC.
　　定理1.5對(duì)于任意素?cái)?shù)p≥5，存在最優(yōu)的27-正則(27p，{3，4，5}，(1，2，1)，1

12、，(1/4，1/4，2/4))-OOC.
　　定理1.6對(duì)于任意素?cái)?shù)p≥5，且p≠7，存在最優(yōu)的21-正則(21p，{3，4，5}，(1，2，1)，1，(1/4，2/4，1/4))-OOC.對(duì)于p=7，存在最優(yōu)的(21p，{3，4，5}，(1，2，1)，1，(1/4，2/4，1/4))-OOC.
　　定理1.7若gcd(v，5)=1且在Zv上存在斜Starter，則存在最優(yōu)的20-正則(20v，{3，4，5},(1,2,1)

13、,1,(2/4,1/4,1/4))-OOC.
　　定理1.8若gcd(v，5)=1且在Zv上存在斜Starter，則存在最優(yōu)且平衡的15-正則(15v,{3,4,5},(1,1,2),1)-OOC.
　　定理1.9對(duì)于任意的素?cái)?shù)p≥5，且p≠7，存在最優(yōu)的21-正則(21p，{3，4，5}，(1，1，2)，1，(1/4，1/4，2/4))-OOC.對(duì)于p=7，存在最優(yōu)的(21p，{3，4，5}，(1，1，2)，1，(1/4，

14、1/4，2/4))-OOC.
　　定理1.10對(duì)于任意的素?cái)?shù)p≥5，且p≠7，存在最優(yōu)的21-正則(21p，{3，4，5}，(1，1，2)，1，(1/4，2/4，1/4))-OOC.對(duì)于p=7，存在最優(yōu)的(21p，{3，4，5}，(1，1，2),1，(1/4，2/4，1/4))-OOC.
　　定理1.11設(shè)在Zv上存在斜Starter，則存在最優(yōu)的18-正則(18v，{3，4，5}，(1，1，2)，1,(2/4,1/4,1/

15、4))-OOC.
　　定理1.12對(duì)于任意的素?cái)?shù)p≥5，且p≠13，存在最優(yōu)且平衡的13-正則(13p，{3，4，5}，(1，2,2)，1)-OOC.對(duì)于p=13，存在最優(yōu)且平衡的（13p，{3，4，5}，(1，2，2)，1)-OOC.
　　定理1.13對(duì)于任意的素?cái)?shù)p≥5，且p≠19，存在最優(yōu)19-正則(19p，{3，4，5}，(1，2，2)，1，(1/4，1/4，2/4))-OOC.對(duì)于p=19，存在最優(yōu)(19p，{3，

16、4，5}，(1，2，2)，1，(1/4，1/4，2/4))-OOC.
　　定理1.14對(duì)于任意的素?cái)?shù)p≥5，且p≠17，存在最優(yōu)的17-正則(17p，{3，4，5}，(1，2，2)，1，(1/4，2/4，1/4))-OOC.對(duì)于p=17，存在最優(yōu)的(17p，{3，4，5}，(1，2，2)，1，(1/4，2/4，1/4))-OOC.
　　定理1.15設(shè)在玩上存在斜Starter，則存在最優(yōu)的16-正則(16v，{3，4，5}，