最優(yōu)(n,｛3,4｝,Λα,1,Q)光正交碼的界與構造.pdf

1、1989年Salehi提出了光正交碼(Optical Orthogonal Code，OOC)的概念，它作為一種簽名序列應用于光碼分多址(Optical Code Division Multiplex Access，OCDMA)系統(tǒng).在這個系統(tǒng)中，每個用戶被分配一個光正交碼作為地址碼.為了滿足用戶對多種服務質量(QoS)的需求，1996年Yang引入變重量光正交碼(Variable-Weight Optical OrthogonalCo

2、de，VWOOC).與常重量光正交碼相比，變重量光正交碼不僅能夠滿足用戶的多種服務要求，而且具有較大的碼字個數(shù).下面給出變重量光正交碼的定義.
　　令n，λc為正整數(shù)，W={w1，w2,…，wr}為正整數(shù)集合，Λa=（λa(1)），λa(2)）,…，λa(r)）為正整數(shù)數(shù)組，Q=(q1，q2,…，qr)為正有理數(shù)數(shù)組且∑qi=1.（n，W,Λa，λc，Q）變重量光正交碼C(簡記為(n，W,Λa，λc，Q)-OOC)是一簇長為n的0

3、，1序列（碼字），并且滿足以下三個性質:
　　(1)碼字重量分布 C中所有碼字的漢明重量均在集合W中，且C恰有qi·|C|個重量為wi的碼字，1≤i≤r，即qi為重量等于wi的碼字占總碼字個數(shù)的百分比;
　　(2)周期自相關性對任意x=(x0，x1,…，xn-1)∈C，其漢明重量wk∈W，整數(shù)(Τ)，0＜(Τ)＜n,n-1∑i=0xixi⊕(Τ)≤λa(k)，1≤k≤r;
　　(3)周期互相關性對任意x≠y，x=(x0

4、，x1，…，xn-1)∈C，y=(yo，y1,…，yn-1)∈C，整數(shù)(Τ)，0≤(Τ)＜n，n-1∑i=0xiyi⊕(Τ)≤λc，上述符號⊕表示對n取模.
　　若λa(1)=λa(2)=…=λa(r)=λa，我們把(n，W,Λa，λc，Q)-OOC記為（n，W,λa，λc，Q）-OOC;若λa=λc=λ，則記為(n，W,λ，Q)-OOC.若Q=（a1/b，a2/b,…，ar/b）且gcd(a1，a2，…，ar)=1，則稱Q是標準

5、的.顯然，b=r∑i=1ai.若Q=(1/r，1/r,…，1/r)，則稱為平衡的(n，W,Λa，λc)-OOC.
　　Yang于1996年給出(n，W,Λa，λc，Q)-OOC碼字個數(shù)的上界，但這個界不緊，后來Bu-ratti等人改進了Yang的結果.令Φ(n，W,Λa，λc，Q)=max{|C|:C是(n，W,Λa，λc，Q)-OOC}.
　　若Q=（a1/b，…，ar/b）是標準的，則Φ（n，W,1，Q）≤b([)n-1

6、/r∑i=1aiwi(wi-1)」.
　　對于給定的n，W，Λa，λc和Q，若C的碼字個數(shù)Φ(n，W,Λa，λc，Q)達到最大值，則稱(n，W,Λa，λc，Q)-OOC是最優(yōu)的.
　　關于最優(yōu)平衡（n，{3，4}，Λa，1)-OOCs已有部分研究結果.就作者目前所知，沒有最優(yōu)非平衡(n，{3，4}，Λa，1，Q)-OOCs存在性的系統(tǒng)結果.本文研究當Q∈{(2/3，1/3)，(1/3，2/3)，(3/4，1/4)，(1/4，

7、3/4)}時最優(yōu)(n，{3，4}，Λa，1，Q)-OOCs的存在性，并得到如下結果:
　　定理1.1對于任意大于5的素數(shù)p，存在最優(yōu)的10-正則(10p，{3，4}，(2，1)，1，（2/3，1/3）-OOC.對于p∈{3，5}，存在最優(yōu)（10p，{3，4}，(2，1)，1，（2/3，1/3）-OOC.
　　定理1.2設在Zv上存在斜Starter且gcd(v，7)=1，則存在最優(yōu)的14-正則(14v，{3，4}，(2，1)

8、，1，(1/3，2/3))-OOC.
　　定理1.3設在Zv上存在斜Starter，則存在最優(yōu)的12-正則(12v，{3，4}，(2，1)，1，(3/4，1/4))-OOC.
　　定理1.4對于任意大于5的素數(shù)p，存在最優(yōu)的20-正則(20p，{3，4}，(2，1)，1，(1/4，3/4))-OOC.對于p∈{3，5}，存在最優(yōu)(20p，{3，4}，(2，1)，1，（1/4，3/4）-OOC.
　　定理1.5設在Zv上

9、存在斜Starter且gcd(v，5)=1，則存在最優(yōu)的10-正則(10v，{3，4},(1,2),1,(2/3,1/3))-OOC.
　　定理1.6設在Zv上存在斜Starter且gcd(v，11)=1，則存在最優(yōu)的11-正則(11v，{3，4},(1,2),1,(1/3,2/3))-OOC.
　　定理1.7設在Zv上存在斜Starter且gcd(v，13)=1，則存在最優(yōu)的13-正則(13v，{3，4},(1,2),1,

10、(3/4,1/4))-OOC.
　　定理1.8對于任意大于5的素數(shù)p，存在最優(yōu)的30-正則(30p，{3，4}，(1，2)，1，（1/4，3/4）-OOC.對于p∈{3，5}，存在最優(yōu)(30p，{3，4}，(1，2)，1，(1/4，3/4))-OOC.
　　定理1.9對于任意大于5的素數(shù)p，存在最優(yōu)的8-正則(8p，{3，4}，(2，2)，1，（2/3，1/3）-OOC.對于p∈{3，5}，存在最優(yōu)（8p，{3，4}，(2，

11、2)，1，（2/3，1/3）-OOC.
　　定理1.10設在Zv上存在斜Starter且gcd(v，5)=1，則存在最優(yōu)的10-正則(10v，{3，4},(2,2),1,(1/3,2/3))-OOC.
　　定理1.11對于任意大于5的素數(shù)p，存在最優(yōu)的10-正則（10p，{3，4}，(2，2)，1，(3/4，1/4))-OOC.對于p∈{3，5}，存在最優(yōu)（10p，{3，4}，(2，2)，1，(3/4，1/4))-OOC.<

12、br>　　定理1.12對于任意大于7的素數(shù)p，存在最優(yōu)的14-正則（14p，{3，4}，(2，2)，1，(1/4，3/4))-OOC.對于p∈{3，5，7}，存在最優(yōu)(14p，{3，4}，(2，2)，1，（1/4，3/4）-OOC.
　　令△23=4a1+6a2,△13=6a1+6a2，本文研究當W={3，4}，Λa∈{(2，3)，(1，3)}時(n，W,Λa，1，Q)-OOC碼字個數(shù)的上界，并得到如下結果:
　　定理1.1

13、3設Q=（a1/b，a2/b）是標準的，則Φ(n,{3,4},(2,3),1,Q)≤{ b([)n-1/△23」，gcd(n，20)=1;b([)n/△23」，gcd(n，20)=2;b([)n+1/△23」，gcd(n，20)=5;b([)n+2/△23」,gcd(n,20)=10.
　　定理1.14設Q=（a1/b，a2/b）是標準的，則Φ(n,{3,4},(1,3),1,Q)≤{ b([)n-1/△13」,gcd(n，20)

14、=1;b([)n/△13」，gcd(n，20)=2;b([)n+1/△13」，gcd(n，20)=5;b([)n+2/△13」，gcd(n，20)=10.
　　關于Λa∈{(2，3)，(1，3)}時最優(yōu)(n，{3，4}，Λa，1，Q)-OOCs的存在性，本文得到如下結果:
　　定理1.15設p≡13(mod24)為素數(shù)，則存在平衡10-正則(10p，{3，4}，(2，3)，1)-OOC.
　　定理1.16對于任意大于7

15、的素數(shù)p，存在最優(yōu)的42-正則(42p，{3，4}，(2，3)，1，（2/3，1/3）-OOC.對于p∈{3，5，7}，存在最優(yōu)(42p，{3，4}，(2，3)，1，(2/3，1/3))-OOC.
　　定理1.17對于任意大于5的素數(shù)p，存在最優(yōu)的8-正則(8p，{3，4}，(2，3)，1，（1/3，2/3）-OOC.對于p∈{3，5}，存在最優(yōu)（8p，{3，4}，(2，3)，1，（1/3，2/3）-OOC.
　　定理1.1

16、8設p≡3(mod4)≥7為素數(shù)，則存在平衡12-正則(12p，{3，4}，(1，3)，1)-OOC.
　　定理1.19設在Zv上存在斜Starter，則存在最優(yōu)的平衡24-正則(24v，{3，4}，(1，3)，1)-OOC.
　　定理1.20設在Zv上存在斜Starter，則存在最優(yōu)的9-正則(9v，{3，4}，(1，3)，1，(2/3，1/3))-OOC.
　　定理1.21設在Zv上存在斜Starter，則存在最優(yōu)

17、的9-正則(9v,{3，4}，(1，3)，1，(1/3，2/3))-OOC.
　　本文共分為五章:第一章介紹光正交碼的相關概念、一些已知結論及本文的主要結果.第二章討論最優(yōu)(n，{3，4}，Λa，1，Q)-OOCs的構造，其中Λa∈{(2，1)，(1，2)，(2，2)}，Q∈{(2/3，1/3)，(1/3，2/3)，(3/4，1/4)，(1/4，3/4)}.第三章給出Φ(n，{3，4}，Λa，1，Q）的上界，其中Λa∈{(2，3)