特殊圖中頂點(diǎn)無(wú)交的三圈、四圈問(wèn)題.pdf

1、圖的理論出現(xiàn)已經(jīng)二十多年了,大部分的工科課程中都有這門(mén)課程。這門(mén)理論幫助了很多其它主流領(lǐng)域和研究,無(wú)疑還將繼續(xù)影響這些領(lǐng)域的發(fā)展。這20年中,圖論發(fā)展了很多,不比其他任何地方少:很多很深刻的定理被證明,新的學(xué)科分支出現(xiàn)了。如果要說(shuō)出這其中的一些發(fā)展,我們可以想到下面一些問(wèn)題。
　　 本文考慮的圖均為有限、簡(jiǎn)單、無(wú)向圖。對(duì)于任意一個(gè)圖G,它的頂點(diǎn)集、邊集、面集、最小度和最大度分別用V(G)、E(G)、F(G)、δ(G)和△(G)來(lái)

2、表示。一個(gè)圖G的子圖集被說(shuō)成頂點(diǎn)無(wú)交或者獨(dú)立的,那么他們中的任何兩個(gè)沒(méi)有共同的頂點(diǎn)。我們稱(chēng)長(zhǎng)度為3的圈為三圈,長(zhǎng)度為4的圈為四圈。
　　 在給定的圖中尋找圈個(gè)數(shù)受很多人的關(guān)注。其中無(wú)交三圈問(wèn)題就很受關(guān)注,就是在給定的圖中尋找頂點(diǎn)無(wú)交的三圈的個(gè)數(shù)。也有很多人考慮圖中的四圈問(wèn)題。這篇文章主要是考慮在一些特殊的圖中頂點(diǎn)無(wú)交三圈和四圈的個(gè)數(shù)。
　　 如果一個(gè)圖不含有任何子圖與K1,t同構(gòu),那么我們就稱(chēng)這個(gè)圖為K1,t-free圖

3、。在這篇文章里,我們考慮頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為9(k-1)的K1,4-free圖,我們證明王的猜想是錯(cuò)的。同時(shí),我們證明對(duì)一個(gè)整數(shù)k,如果G是一個(gè)頂點(diǎn)為9(k-1)+1,δ(G)的K1,4-free圖,那么圖G含有k個(gè)頂點(diǎn)無(wú)交的三圈。并且,這個(gè)條件是最好的。
　　 最近,王[12]對(duì)四圈做了很多的研究,他證明了如果G是一個(gè)頂點(diǎn)滿(mǎn)足4k+1≤n≤4k+4和δ(G)≥2k+1,那么G含有七個(gè)四圈。在那篇文章里,他對(duì)n=4k+2的情況沒(méi)有找到例子