動(dòng)力系統(tǒng)熵的研究及應(yīng)用.pdf

1、本文的主要目的是使用局部化的思想對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)熵的理論(包括序列熵和復(fù)雜性函數(shù))進(jìn)行深入的研究，既有對(duì)原有的點(diǎn)對(duì)和點(diǎn)串理論的細(xì)化，也發(fā)展了新的局部化方法，并尋求其在動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)屬性，動(dòng)力系統(tǒng)內(nèi)在結(jié)構(gòu)和動(dòng)力系統(tǒng)分類等方面的研究的應(yīng)用.同時(shí)我們的工作突出了熵、序列熵和復(fù)雜性函數(shù)三者之間的相似性和差異性. 本文的具體安排如下：在第一章中，我們先簡(jiǎn)要的介紹了動(dòng)力系統(tǒng)和遍歷論的起源與主要研究?jī)?nèi)容，其間穿插了對(duì)這門學(xué)科的發(fā)展的回顧.然后詳細(xì)

2、的介紹了動(dòng)力系統(tǒng)熵的相關(guān)理論的研究的背景、發(fā)展現(xiàn)狀以及它在動(dòng)力系統(tǒng)其它方面的研究中的應(yīng)用.在第二章中，我們介紹了本文涉及到的一些拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)和遍歷理論的基本概念和結(jié)論. 在第三章中，我們將致力于熵的局部化理論的深入研究.我們提出了熵序列和極大熵集的概念(既包括拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)的情形也包擴(kuò)遍歷論的情形)；證明了一個(gè)集合為熵集當(dāng)且僅當(dāng)此集合中任何n個(gè)不同的點(diǎn)構(gòu)成n熵串；證明了每個(gè)極大熵集都是閉集并刻畫了具有唯一極大熵集的系統(tǒng).我們還證明

3、了在正熵系統(tǒng)中，必存在一個(gè)極大熵集具有不可數(shù)個(gè)點(diǎn)，系統(tǒng)的拓?fù)潇厥撬袠O大熵集上的熵的上確界，這在某種意義上說(shuō)明了熵集集中了系統(tǒng)的復(fù)雜性.最后我們構(gòu)造了一個(gè)具有只包含兩個(gè)點(diǎn)的極大熵集的系統(tǒng)，從這個(gè)例子上可以看出正熵系統(tǒng)在精細(xì)結(jié)構(gòu)上的復(fù)雜性，利用這個(gè)例子的想法，我們還構(gòu)造了一個(gè)傳遞的非拓?fù)銴的具有唯一極大熵集的系統(tǒng). 在第四章中，我們先介紹了當(dāng)前序列熵的局部化理論的一些概念和結(jié)果，然后利用序列熵串得到了一個(gè)不交性定理，由此證明了弱混

4、合系統(tǒng)與Morse極小系統(tǒng)不交，這也是對(duì)已有的不交性定理的一個(gè)改進(jìn). 在第五章中，我們研究了流上的null系統(tǒng).我們首先在流上引入序列熵、序列熵對(duì)和弱混合對(duì)的概念，證明了極小null流是其極大等度連續(xù)因子的幾乎一對(duì)一擴(kuò)充并且是唯一遍歷的，推廣了葉向東和黃文等人關(guān)于離散情形的相關(guān)結(jié)果.作為應(yīng)用，我們用序列熵的語(yǔ)言刻畫了幾乎自守流的結(jié)構(gòu).進(jìn)一步，我們?cè)贗R上引入了null函數(shù)的概念并研究了它的某些性質(zhì)，構(gòu)造例子說(shuō)明了極小幾乎自守nu