關于橢圓型方程（組）正解若干問題的研究.pdf

1、本學位論文主要研究二階半線性橢圓方程及方程組的邊值問題，運用blow-up技巧、變分理論、不動點定理、上下解、先驗估計、漸近分析等相結(jié)合的方法得到了Dirichlet邊值和Robin邊值條件下半線性橢圓問題正解的存在性、非退化性、唯一性以及多重性等結(jié)果． 第一章中，簡單介紹了所研究問題的背景及主要結(jié)果，并給出了基本術(shù)語和文中需多次用到的引理，以及全文的結(jié)構(gòu)安排． 第二章中，首先研究了一般形式的二階橢圓方程Dirichle

2、t問題正解的存在性與唯一性．由于許多實際問題并不一定具有變分結(jié)構(gòu)，常用于證明解的存在性的變分方法不一定適用．為了避開這點，文中采用對解做先驗估計結(jié)合不動點理論的方法，得到了在Dirichlet邊界條件下正解存在的充分必要條件．第二章中更主要的結(jié)果是關于解的唯一性的．對半線性橢圓問題而言，要證明解的唯一性存在相當大的困難，原因是解的個數(shù)不僅依賴于算子系數(shù)，而且也依賴于區(qū)域的幾何特性．文中采用算子擾動與blow-up技巧相結(jié)合的方法，證明了

3、如果某類半線性橢圓問題的解是唯一的和非退化的，則對問題中的微分算子做小擾動后其正解仍是唯一的和非退化的，作為推論，還證明了正解的唯一性在區(qū)域的小擾動下是不變的． 對于Robin邊值問題，很多學者都認為與Dirichlet邊值問題差不多，研究方法也類似，但近期的研究文獻表明，這兩類邊值問題的差別還是很大的．因此，越來越多的人開始關注Robin邊值問題了．當然，解的存在性和先驗估計對Robin邊值問題而言是相對容易的，但有關Robi

4、n邊值問題解的唯一性和對稱性至今沒有任何結(jié)果．第三、四、五章分別就不同模型的Robin邊值問題正解的唯一性和多重性作了研究． 第三章中，研究了一維情形下帶Robin邊值條件的二階半線性橢圓問題正解的唯一性．在Dirichlet邊值問題解的唯一性研究中，經(jīng)常用到的最為有力的工具是打靶方法，但是對于一般的Robin邊值問題，由于解不一定具有對稱性，打靶方法不再適用．文中先證明齊次Robin問題的解是非退化的，再由隱函數(shù)定理得到了正解

5、的唯一性，隨后再利用齊次問題解的唯一性和非退化性結(jié)合blow-up技巧，給出了帶變號非齊次項的模型一和帶凹凸非線性項的模型二存在一個或多個正解的充分必要條件． 第四章中，研究了高維一般區(qū)域上的半線性橢圓方程及方程組在Robin邊值條件下正解的唯一性問題．由于邊界的復雜性，常用于證明某種對稱區(qū)域上的Dirichlet問題解的對稱性和唯一性的移動平面法不再適用，文中利用先驗估計結(jié)合解的漸近分析的方法，給出了帶Robin邊值條件的方程

6、及方程組正解具有唯一性的充分條件，相比較于Dirichlet邊值問題的相關結(jié)論，這一條件對區(qū)域的形狀沒有特殊要求． 最后，第五章中研究了高維環(huán)域上-△u=f(u)的Robin邊值問題．在一定的假設條件下，通過先驗估計結(jié)合變分方法中的Nehari技巧證明了：當邊界條件中的參數(shù)β充分小時，Robin邊值問題只有一個正解，又因為算子和區(qū)域是旋轉(zhuǎn)不變的，此解一定是徑向解，當β充分大時，Robin邊值問題存在無窮多個非徑向解．這一結(jié)論再次