關(guān)于橢圓型方程（組）正解若干問(wèn)題的研究.pdf

1、本學(xué)位論文主要研究二階半線性橢圓方程及方程組的邊值問(wèn)題，運(yùn)用blow-up技巧、變分理論、不動(dòng)點(diǎn)定理、上下解、先驗(yàn)估計(jì)、漸近分析等相結(jié)合的方法得到了Dirichlet邊值和Robin邊值條件下半線性橢圓問(wèn)題正解的存在性、非退化性、唯一性以及多重性等結(jié)果． 第一章中，簡(jiǎn)單介紹了所研究問(wèn)題的背景及主要結(jié)果，并給出了基本術(shù)語(yǔ)和文中需多次用到的引理，以及全文的結(jié)構(gòu)安排． 第二章中，首先研究了一般形式的二階橢圓方程Dirichle

2、t問(wèn)題正解的存在性與唯一性．由于許多實(shí)際問(wèn)題并不一定具有變分結(jié)構(gòu)，常用于證明解的存在性的變分方法不一定適用．為了避開(kāi)這點(diǎn)，文中采用對(duì)解做先驗(yàn)估計(jì)結(jié)合不動(dòng)點(diǎn)理論的方法，得到了在Dirichlet邊界條件下正解存在的充分必要條件．第二章中更主要的結(jié)果是關(guān)于解的唯一性的．對(duì)半線性橢圓問(wèn)題而言，要證明解的唯一性存在相當(dāng)大的困難，原因是解的個(gè)數(shù)不僅依賴于算子系數(shù)，而且也依賴于區(qū)域的幾何特性．文中采用算子擾動(dòng)與blow-up技巧相結(jié)合的方法，證明了

3、如果某類半線性橢圓問(wèn)題的解是唯一的和非退化的，則對(duì)問(wèn)題中的微分算子做小擾動(dòng)后其正解仍是唯一的和非退化的，作為推論，還證明了正解的唯一性在區(qū)域的小擾動(dòng)下是不變的． 對(duì)于Robin邊值問(wèn)題，很多學(xué)者都認(rèn)為與Dirichlet邊值問(wèn)題差不多，研究方法也類似，但近期的研究文獻(xiàn)表明，這兩類邊值問(wèn)題的差別還是很大的．因此，越來(lái)越多的人開(kāi)始關(guān)注Robin邊值問(wèn)題了．當(dāng)然，解的存在性和先驗(yàn)估計(jì)對(duì)Robin邊值問(wèn)題而言是相對(duì)容易的，但有關(guān)Robi

4、n邊值問(wèn)題解的唯一性和對(duì)稱性至今沒(méi)有任何結(jié)果．第三、四、五章分別就不同模型的Robin邊值問(wèn)題正解的唯一性和多重性作了研究． 第三章中，研究了一維情形下帶Robin邊值條件的二階半線性橢圓問(wèn)題正解的唯一性．在Dirichlet邊值問(wèn)題解的唯一性研究中，經(jīng)常用到的最為有力的工具是打靶方法，但是對(duì)于一般的Robin邊值問(wèn)題，由于解不一定具有對(duì)稱性，打靶方法不再適用．文中先證明齊次Robin問(wèn)題的解是非退化的，再由隱函數(shù)定理得到了正解

5、的唯一性，隨后再利用齊次問(wèn)題解的唯一性和非退化性結(jié)合blow-up技巧，給出了帶變號(hào)非齊次項(xiàng)的模型一和帶凹凸非線性項(xiàng)的模型二存在一個(gè)或多個(gè)正解的充分必要條件． 第四章中，研究了高維一般區(qū)域上的半線性橢圓方程及方程組在Robin邊值條件下正解的唯一性問(wèn)題．由于邊界的復(fù)雜性，常用于證明某種對(duì)稱區(qū)域上的Dirichlet問(wèn)題解的對(duì)稱性和唯一性的移動(dòng)平面法不再適用，文中利用先驗(yàn)估計(jì)結(jié)合解的漸近分析的方法，給出了帶Robin邊值條件的方程

6、及方程組正解具有唯一性的充分條件，相比較于Dirichlet邊值問(wèn)題的相關(guān)結(jié)論，這一條件對(duì)區(qū)域的形狀沒(méi)有特殊要求． 最后，第五章中研究了高維環(huán)域上-△u=f(u)的Robin邊值問(wèn)題．在一定的假設(shè)條件下，通過(guò)先驗(yàn)估計(jì)結(jié)合變分方法中的Nehari技巧證明了：當(dāng)邊界條件中的參數(shù)β充分小時(shí)，Robin邊值問(wèn)題只有一個(gè)正解，又因?yàn)樗阕雍蛥^(qū)域是旋轉(zhuǎn)不變的，此解一定是徑向解，當(dāng)β充分大時(shí)，Robin邊值問(wèn)題存在無(wú)窮多個(gè)非徑向解．這一結(jié)論再次