基于開關(guān)系統(tǒng)穩(wěn)定性的廣義譜半徑的有窮性研究.pdf

1、開關(guān)系統(tǒng)是一個(gè)動態(tài)系統(tǒng)，由一系列子系統(tǒng)組成，由一個(gè)合理的規(guī)則將這些子系統(tǒng)聯(lián)系起來.從數(shù)學(xué)理論上來說，這些子系統(tǒng)通常是表述成一系列微分差分方程.開關(guān)系統(tǒng)是混雜動態(tài)系統(tǒng)中一類重要的模型，它在許多實(shí)際系統(tǒng)中有著十分廣泛的背景，因而近年來受到人們的普遍重視.目前，對開關(guān)系統(tǒng)的研究在國際上是一個(gè)熱門課題，這主要由于開關(guān)系統(tǒng)在通信網(wǎng)絡(luò)、民航飛機(jī)的調(diào)度、小波理論、圖像數(shù)值分析、機(jī)械系統(tǒng)的控制等重要應(yīng)用領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用.對于這一類系統(tǒng)的分析，其核

2、心問題是如何判斷給定開關(guān)系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及如何有效地控制這類系統(tǒng).
　　當(dāng)前，國內(nèi)外文獻(xiàn)對開關(guān)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題的研究主要包括以下兩個(gè)方面:Lyapunov方法和計(jì)算廣義譜半徑的方法.幾何方法雖然在一些特殊情況下能夠成功地計(jì)算出廣義譜半徑，但是其具有很大的應(yīng)用局限性，改進(jìn)的空間非常小.極小范數(shù)逼近方法雖然相對更加方便，但是也僅適用于二維矩陣集（某些特殊情況下可應(yīng)用到高維）.從我們進(jìn)行的初步理論分析和數(shù)值計(jì)算，很多情況下利用奇異值分解的

3、方法可以更快地逼近廣義譜半徑.
　　本文通過利用現(xiàn)有例子進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算，從不同的模擬結(jié)果推測出可能的關(guān)系，并進(jìn)行理論上的猜測;其次，根據(jù)基于數(shù)值模擬得出的猜想，利用矩陣分析和最優(yōu)化的理論進(jìn)行分析，從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明猜想的正確性;最后，利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)生成大量的矩陣集合，測試各種情況下所提出的奇異值分解方法的逼近效果，明確該方法的適用范圍.
　　本文首先介紹了開關(guān)系統(tǒng)穩(wěn)定性的相關(guān)知識，提出本文解決穩(wěn)定性問題的方法:利用奇異值分解

4、的方法逼近廣義譜半徑.其次描述了聯(lián)合/廣義譜半徑的定義，計(jì)算公式及其相關(guān)性質(zhì)定理，介紹了廣義譜半徑的有窮性逼近計(jì)算是衡量開關(guān)系統(tǒng)穩(wěn)定的關(guān)鍵.在此基礎(chǔ)上，主要做了如下的研究工作:
　　(1)我們首先對秩1矩陣集合進(jìn)行考慮，得到特殊情況下的結(jié)果;接下來，我們考慮將用秩1矩陣集合逼近一般矩陣集合，期望在一定的條件下可以實(shí)現(xiàn)對廣義譜半徑的準(zhǔn)確逼近;
　　(2)我們將秩為1的矩陣推廣到對角矩陣，擴(kuò)大了有窮性的矩陣集的范圍.建立一個(gè)矩陣