分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)共形不變性的基本理論與方法的研究.pdf

1、動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的共形不變性是數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、工程科學(xué)中一個(gè)十分普遍的重要性質(zhì)，對(duì)研究實(shí)際動(dòng)力學(xué)模型有著廣泛的應(yīng)用.1996年以來，國(guó)際上數(shù)學(xué)家們相繼建立了分?jǐn)?shù)階Lagrange方程、分?jǐn)?shù)階Hamilton方程和分?jǐn)?shù)階非完整系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程.近年來，羅紹凱提出并帶領(lǐng)研究生建立了含有全部動(dòng)力學(xué)信息的分?jǐn)?shù)階Lagrange力學(xué)、分?jǐn)?shù)階Hamilton力學(xué)、分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton力學(xué)、分?jǐn)?shù)階Nambu力學(xué)和分?jǐn)?shù)階Birkhoff力學(xué)，并分別構(gòu)

2、建了它們的理論框架;而且，揭示了分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)在性質(zhì)和動(dòng)力學(xué)行為，主要包括分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的梯度表示、代數(shù)結(jié)構(gòu)，Poisson守恒律、變分方程、積分不變量、對(duì)稱性與守恒量、運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性以及構(gòu)造實(shí)際分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)模型的普遍方法.但是，分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的共形不變性還有待于探索.
　　針對(duì)這一問題，在Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義下，本論文將研究含有全部動(dòng)力學(xué)信息的分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)、分?jǐn)?shù)階Hamilton系統(tǒng)、分?jǐn)?shù)階廣義Hami

3、lton系統(tǒng)、分?jǐn)?shù)階Nambu系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階Birkhoff系統(tǒng)的共形不變性，分別給出尋找分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)守恒量的共形不變性方法，得到分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)守恒量，并研究在實(shí)際分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)模型中的應(yīng)用.為解決相關(guān)的科學(xué)與工程問題提供新的方法.
　　第一章簡(jiǎn)要介紹了分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)和動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)共形不變性的研究歷史與現(xiàn)狀，提出了本論文所要解決的問題.
　　第二章首先，分別介紹了Riemann-Liouville、Riesz-Riemann-

4、Liouville、Caputo和Riesz-Caputo四種不同分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義及其主要性質(zhì).而后，基于Riesz-Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義，歸納了動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Lagrange表示、分?jǐn)?shù)階Hamilton表示、分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton表示、分?jǐn)?shù)階Birkhoff表示和分?jǐn)?shù)階Nambu表示;并歸納了構(gòu)造分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)模型的分?jǐn)?shù)階Lagrange方法、分?jǐn)?shù)階Hamilton方法、分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton方

5、法、分?jǐn)?shù)階Nambu方法和分?jǐn)?shù)階Birkhoff方法.
　　第三章基于分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange表示，研究分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)的共形不變性，共形不變性與Mei對(duì)稱性，共形不變性與Lie對(duì)稱性，分別給出相應(yīng)的判定定理，得到相應(yīng)的守恒量.作為應(yīng)用，構(gòu)造實(shí)際的分?jǐn)?shù)階Kepler模型和分?jǐn)?shù)階Hénon-Heiles模型，并研究其共形不變性與守恒量.
　　第四章基于分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Hamilton表示，研究分?jǐn)?shù)階Ham

6、ilton系統(tǒng)的共形不變性，共形不變性與Mei對(duì)稱性，共形不變性與Lie對(duì)稱性，分別給出相應(yīng)的判定定理，得到相應(yīng)的守恒量.作為應(yīng)用，構(gòu)造分?jǐn)?shù)階Hénon-Heiles模型和分?jǐn)?shù)階Emden模型，并研究其共形不變性與守恒量，
　　第五章基于分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的廣義Hamilton表示，研究分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton系統(tǒng)的共形不變性，共形不變性與Mei對(duì)稱性，共形不變性與Lie對(duì)稱性，分別給出相應(yīng)的判定定理，得到相應(yīng)的守恒量.作為應(yīng)用，

7、構(gòu)造分?jǐn)?shù)階廣義相對(duì)論Buchduhl模型、分?jǐn)?shù)階Duffing振子模型和分?jǐn)?shù)階Whittaker模型，并研究其共形不變性與守恒量.
　　第六章基于分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Nambu表示，研究分?jǐn)?shù)階Nambu系統(tǒng)的共形不變性，共形不變性與Mei對(duì)稱性，共形不變性與Lie對(duì)稱性，分別給出相應(yīng)的判定定理，得到相應(yīng)的守恒量.作為應(yīng)用，構(gòu)造分?jǐn)?shù)階相對(duì)論Yamaleev振子模型和分?jǐn)?shù)階Duffing振子模型，并研究其共形不變性和守恒量.