非高斯隨機動力系統(tǒng)的定量刻畫――逃逸時間、逃逸概率和概率密度的演化.pdf

1、在工程與應(yīng)用科學(xué)中，環(huán)境、輸入的初始條件、邊界條件等隨機因素都有可能造成動力系統(tǒng)的不確定性。Gaussian白噪聲和non-Gaussian白噪聲，是建立隨機動力學(xué)模型中常用的。其中Gaussian白噪聲是最簡單但很常見的一類噪聲，Brownian運動是它的數(shù)學(xué)模型，廣泛的應(yīng)用于各種具有不確定性的復(fù)雜系統(tǒng)。然而在氣候變化、海洋生物的覓食行為模式、基因調(diào)控系統(tǒng)中mRNA和蛋白質(zhì)的反應(yīng)等復(fù)雜系統(tǒng)中，都包含了non-Gaussian白噪聲。L

2、évy過程被認為是研究non-Gaussian擾動的一個適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，而α-穩(wěn)定的Lévy過程又是一類特殊但重要的non-Gaussian Lévy過程。本文中，考慮由Brownian運動和L′evy過程驅(qū)動，共同驅(qū)動的隨機動力系統(tǒng)，通過平均首次逃逸時間，首次逃逸概率，隨機吸引域和概率密度的演化等量化指標，定量地刻畫隨機系統(tǒng)的統(tǒng)計信息和動力學(xué)性態(tài)。
　　本文的結(jié)構(gòu)安排如下：
　　第一章，對隨機分析中的一些基本理論進行了回顧

3、，介紹了Brownian運動和Lévy過程的一些性質(zhì)和定理，以及隨機動力系統(tǒng)的基本定義和概念。
　　第二章，考慮一個自我調(diào)節(jié)的正反饋基因調(diào)控系統(tǒng)，建立一個隨機微分方程模型，研究在蛋白質(zhì)基本合成反應(yīng)的時候，產(chǎn)生的隨機噪聲對轉(zhuǎn)錄因子活化子隨時間變化的濃度的影響。這種隨機噪聲，嘗試用Brownian運動和一個純跳的α-穩(wěn)定的Lévy過程，共同來模擬。兩個確定性的量，平均首次逃逸時間和首次逃逸概率，被用來分析，在噪聲影響下，轉(zhuǎn)錄因子活化子

4、從低濃度狀態(tài)向高濃度狀態(tài)的轉(zhuǎn)移行為。平均首次逃逸時間越短，或者首次逃逸概率越大，就越有利于轉(zhuǎn)移到高濃度狀態(tài)，從而也更利于轉(zhuǎn)錄發(fā)生。通過數(shù)值試驗可以觀察到，Lévy過程的較大的跳躍幅度，以及較大的噪聲強度都有助于縮短逃逸時間。對轉(zhuǎn)移概率的研究，根據(jù)逃逸區(qū)域和目標逃逸區(qū)域是否相鄰，分為兩種情況。數(shù)值試驗結(jié)果顯示，純跳的α-穩(wěn)定的Lévy過程對轉(zhuǎn)錄因子活化子的濃度，轉(zhuǎn)移到一個指定的區(qū)域更具有優(yōu)勢。當(dāng)兩種噪聲的噪聲強度總數(shù)是不變的時候，對于每一

5、個可以觀察到的初始濃度，存在最佳的一個Gaussian白噪聲和non-Gaussian白噪聲的噪聲比值，在這個比值下，平均首次逃逸時間和首次逃逸概率的達到最大值。
　　第三章，考慮將確定性系統(tǒng)中吸引域的穩(wěn)定性這個概念，延伸到隨機動力系統(tǒng)中?？紤]用吸引域的大小來度量隨機狀態(tài)的穩(wěn)定性，從而來描述在隨機噪聲的影響下，狀態(tài)的亞穩(wěn)態(tài)性。為此提出一個新的概念：隨機吸引域。考慮到亞穩(wěn)態(tài)性是一種轉(zhuǎn)移的現(xiàn)象，用首次逃逸概率和平均首次逃逸時間這兩個刻

6、畫量來作為判定這個隨機吸引域大小的標準。給出了隨機吸引域的兩種定義：隨機吸引域是這樣一些初始值的集合，這些初始值以一個很高的概率逃逸到一個隨機意義下的不變集，在這個不變集中，隨機軌道不會以大的概率逃逸出去，或者隨機軌道以有限長的時間的停留在原來區(qū)域。依然考慮自我調(diào)節(jié)的正反饋轉(zhuǎn)錄因子活化子單體濃度模型，通過數(shù)值試驗，得到逃逸概率、首次逃逸時間這些標準、以及L′evy過程的穩(wěn)定指標α對隨機吸引域大小的影響。
　　第四章，考慮一種更為普

7、遍的，在Marcus積分意義下的隨機微分方程，廣泛地應(yīng)用于工程和物理，同時它也是對由non-Gaussian Lévy過程驅(qū)動的隨機動力系統(tǒng)的恰當(dāng)?shù)慕?。隨機微分方程解的概率密度函數(shù)包含了這個隨機過程所有統(tǒng)計信息，通常，是研究密度函數(shù)所對應(yīng)的Fokker-Planck方程。目前，針對于由Brownian運動驅(qū)動的It(?o)SDEs，或者Stratonovich SDEs，它們所對應(yīng)的Fokker-Planck方程的顯式表達，已經(jīng)十分完