極值擬共形映射與Teichmuller空間.pdf

1、本文主要目的在于研究擬共形映射極值問(wèn)題以及與之相關(guān)的Teichmüller空間性質(zhì).擬共形映射的概念誕生于上世紀(jì)30年代，1940年左右，德國(guó)數(shù)學(xué)家Teichmüller利用極值擬共形映射理論來(lái)研究Riemann模問(wèn)題，對(duì)這一經(jīng)典的幾何問(wèn)題給予了完美的解答.此后，對(duì)擬共形映射與Teichmüller空間理論的研究就一直倍受數(shù)學(xué)家們所關(guān)注，Ahlfors，Bers，Gehring，Earle，Gardiner，Reich，Strebel，

2、李忠，伍勝健，沈玉良和陳紀(jì)修等數(shù)學(xué)家都對(duì)該理論進(jìn)行了深刻的研究.如今，擬共形映射與Teichmüller空間理論已交叉滲透到微分幾何、偏微分方程、拓?fù)鋵W(xué)等其它數(shù)學(xué)分支.
　　 擬共形映射的極值理論主要研究給定邊界對(duì)應(yīng)的擬共形映射族中極值映射的存在性、唯一性、以及極值映射的性質(zhì)、特征的刻畫(huà)等問(wèn)題.本文的第二章和第三章將研究這些問(wèn)題并得到一系列結(jié)果.
　　 對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)在判定共形映射能否擬共形映射擴(kuò)張、估計(jì)區(qū)域的單葉性?xún)?nèi)徑以及描

3、述萬(wàn)有Teichmüller空間的性質(zhì)方面都起到非常重要的作用，對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)的研究將對(duì)擬共形映射理論的發(fā)展起到積極的作用.本文的第四章我們將研究萬(wàn)有Teichmüller空間對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)模型的一些幾何性質(zhì).
　　 Teichmüller空間的切空間(也稱(chēng)無(wú)限小Teichmüller空間)對(duì)研究Teichmüller空間的性質(zhì)以及刻畫(huà)極值擬共形映射的特征都有重要的意義.因此本文中我們也將討論無(wú)限小Teichmüller空間中的一些未知的問(wèn)

4、題.全文共分為五章.
　　 第一章，緒論.我們簡(jiǎn)要的介紹擬共形映射與Teichmüer空間理論的歷史背景和研究意義，并闡述本文所研究問(wèn)題的由來(lái)和現(xiàn)狀以及主要結(jié)果.
　　 第二章，二次拋物區(qū)域上擬共形映射的極值性.在給定所有邊界點(diǎn)對(duì)應(yīng)的前提下，我們已經(jīng)知道了很多類(lèi)區(qū)域上極值擬共形映射的刻畫(huà)和性質(zhì)，但是若降低邊界對(duì)應(yīng)要求，同樣區(qū)域上極值擬共形映射的情況還不清楚.strebel([94][95])曾經(jīng)對(duì)幾種不同的區(qū)域研究過(guò)這個(gè)

5、問(wèn)題，我們將在二次拋物區(qū)域上研究這個(gè)問(wèn)題.
　　 第三章，Teichmüller空間與其切空間的一些非等價(jià)性.刻畫(huà)一個(gè)極值或者唯一極值擬共形映射的特征一直是擬共形極映射值理論研究的熱點(diǎn).Hamilton([41])，Krushkal([45])，Reich和Strebel([76])共同研究得到了極值擬共形映射的特征刻畫(huà).1998年，Bozin，Lakic，Markovic和Mateljevic([9])研究得到了唯一極值擬共形

6、映射的特征刻畫(huà).從這些論文中我們發(fā)現(xiàn)Teichmüller空間與其切空間具有許多等價(jià)的極值性質(zhì).在本章中，我們將研究Teichmüller空間與其切空間在Strebel點(diǎn)、極值Teichmüller Beltrami系數(shù)的存在性、常數(shù)模極值Beltrami系數(shù)存在性之間的等價(jià)性等問(wèn)題.
　　 第四章，萬(wàn)有Teichmüller空間對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)模型的幾何性質(zhì).對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)和單葉函數(shù)的擬共形擴(kuò)張具有深刻的聯(lián)系.萬(wàn)有Teichmüller空間

7、對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)模型也具有許多奇特的幾何性質(zhì)，Zhuravlev([116])證明了萬(wàn)有Teichmüller空間對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)模型是由無(wú)窮多個(gè)互不相交的分支組成的.在這一章，我們研究萬(wàn)有Teichmüller空間對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)模型每個(gè)分支內(nèi)測(cè)地線和球的幾何性質(zhì).
　　 第五章，無(wú)限小Teichmüller空間中的問(wèn)題.從本文第三章，我們知道Teichmüller空間與無(wú)限小Teichmüller空間具有許多相似和不相似的性質(zhì).在這一章，我們主要研