基于地理坐標(biāo)和直紋曲面的二次曲面參數(shù)化.pdf

1、在計算機圖形學(xué)和計算機輔助設(shè)計中，需要對所設(shè)計的作品從不同的角度進行觀察，所以要把物體放在三維空間中，從各個方向上觀察和展示設(shè)計作品。所以，如何設(shè)計一個好的三維圖形在科學(xué)和工程領(lǐng)域都是至關(guān)重要的。
　　本文主要介紹了在構(gòu)造三維曲面的過程中延伸出來的參數(shù)化問題，并且提出了基于地理坐標(biāo)的橢球參數(shù)化方法和基于直紋曲面的單葉雙曲面參數(shù)化方法。
　　點動成線，線動成面。一個三維空間中的點可以用一組三維坐標(biāo)對表示，一條線是一系列有序點的

2、集合，點和點之間存在著某種順序關(guān)系，這種關(guān)系稱作方程。類似的道理可以推廣到三維空間，可以用方程表示曲面，方程代表著曲線和曲線之間的關(guān)系。以上方法可以在數(shù)學(xué)上很容易的實現(xiàn)，如何在計算機系統(tǒng)中表示三維空間的線和面是計算機圖形學(xué)的研究重點。
　　曲線或曲面在計算機中有很多種表達方式。大致上可以分成三類:顯式表示、隱式表示和參數(shù)表示。隱式表示的曲線或曲面在計算機幾何建模系統(tǒng)中是一個非常簡潔的方程形式。通過這個方程，給定一個點的坐標(biāo)，可以很

3、容易的判斷這個點是在這個三維曲線或曲面上還是在三維曲線或曲面外。如果要求兩個幾何體的交集，隱式表示的曲線或曲面能夠帶來很快的速度和較高的準(zhǔn)確性。參數(shù)表示的曲線或曲面是一組關(guān)于參數(shù)的方程。給定一組參數(shù)，可以快速的計算出這組參數(shù)對應(yīng)的點的三維坐標(biāo)。所以在實際的應(yīng)用中，三維曲線或曲面的隱式形式和參數(shù)形式都很重要，由此產(chǎn)生了參數(shù)化這個研究領(lǐng)域。把曲線曲面由隱式形式變換成參數(shù)形式的過程就叫做參數(shù)化。有關(guān)曲線的參數(shù)化，當(dāng)前已經(jīng)存在著很多種方法，例如

4、均勻參數(shù)化方法，積累弦長參數(shù)化方法和二次精度參數(shù)化方法等。曲線參數(shù)化方法已經(jīng)發(fā)展的日益完善，而曲面參數(shù)化由于其復(fù)雜性尚未出現(xiàn)很完美的方法，但是因為它重要的應(yīng)用意義，很多科研人員也在這方面不斷的努力和研究。
　　當(dāng)前已經(jīng)有很多種方法完成曲面參數(shù)化。比如，有限元方法，凸組合映射方法，均值坐標(biāo)方法，邊界映射方法，離散保角，離散等積映射方法等等。大多數(shù)方法都是基于對曲面隱式方程的變換。然而這些傳統(tǒng)的方法一直未能解決橢球面上優(yōu)劣弧的二義性問

5、題，以及非單連通曲面出現(xiàn)的裂縫問題。后文將會詳細(xì)介紹這兩個問題。本文提出了能解決這兩個問題的新方法，該方法基于對二次曲面隱式方程的標(biāo)準(zhǔn)化，對橢球面和單葉雙曲面的不同情形分別構(gòu)造出有效的參數(shù)曲線，篩選出符合要求的參數(shù)區(qū)間，最后得到參數(shù)曲面的形式和合理的參數(shù)域的范圍。其中對于橢球面的處理基于地理坐標(biāo)，即經(jīng)緯網(wǎng)的應(yīng)用，對單葉雙曲面的處理則是基于直紋面的分解。實驗表明，新方法有效地避免了優(yōu)劣弧的二義性并保證了參數(shù)面片的連續(xù)性，因此有著更好的應(yīng)用