基于地理坐標(biāo)和直紋曲面的二次曲面參數(shù)化.pdf

1、在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)中，需要對(duì)所設(shè)計(jì)的作品從不同的角度進(jìn)行觀察，所以要把物體放在三維空間中，從各個(gè)方向上觀察和展示設(shè)計(jì)作品。所以，如何設(shè)計(jì)一個(gè)好的三維圖形在科學(xué)和工程領(lǐng)域都是至關(guān)重要的。
　　本文主要介紹了在構(gòu)造三維曲面的過(guò)程中延伸出來(lái)的參數(shù)化問(wèn)題，并且提出了基于地理坐標(biāo)的橢球參數(shù)化方法和基于直紋曲面的單葉雙曲面參數(shù)化方法。
　　點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面。一個(gè)三維空間中的點(diǎn)可以用一組三維坐標(biāo)對(duì)表示，一條線是一系列有序點(diǎn)的

2、集合，點(diǎn)和點(diǎn)之間存在著某種順序關(guān)系，這種關(guān)系稱作方程。類似的道理可以推廣到三維空間，可以用方程表示曲面，方程代表著曲線和曲線之間的關(guān)系。以上方法可以在數(shù)學(xué)上很容易的實(shí)現(xiàn)，如何在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中表示三維空間的線和面是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的研究重點(diǎn)。
　　曲線或曲面在計(jì)算機(jī)中有很多種表達(dá)方式。大致上可以分成三類:顯式表示、隱式表示和參數(shù)表示。隱式表示的曲線或曲面在計(jì)算機(jī)幾何建模系統(tǒng)中是一個(gè)非常簡(jiǎn)潔的方程形式。通過(guò)這個(gè)方程，給定一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以很

3、容易的判斷這個(gè)點(diǎn)是在這個(gè)三維曲線或曲面上還是在三維曲線或曲面外。如果要求兩個(gè)幾何體的交集，隱式表示的曲線或曲面能夠帶來(lái)很快的速度和較高的準(zhǔn)確性。參數(shù)表示的曲線或曲面是一組關(guān)于參數(shù)的方程。給定一組參數(shù)，可以快速的計(jì)算出這組參數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的三維坐標(biāo)。所以在實(shí)際的應(yīng)用中，三維曲線或曲面的隱式形式和參數(shù)形式都很重要，由此產(chǎn)生了參數(shù)化這個(gè)研究領(lǐng)域。把曲線曲面由隱式形式變換成參數(shù)形式的過(guò)程就叫做參數(shù)化。有關(guān)曲線的參數(shù)化，當(dāng)前已經(jīng)存在著很多種方法，例如

4、均勻參數(shù)化方法，積累弦長(zhǎng)參數(shù)化方法和二次精度參數(shù)化方法等。曲線參數(shù)化方法已經(jīng)發(fā)展的日益完善，而曲面參數(shù)化由于其復(fù)雜性尚未出現(xiàn)很完美的方法，但是因?yàn)樗匾膽?yīng)用意義，很多科研人員也在這方面不斷的努力和研究。
　　當(dāng)前已經(jīng)有很多種方法完成曲面參數(shù)化。比如，有限元方法，凸組合映射方法，均值坐標(biāo)方法，邊界映射方法，離散保角，離散等積映射方法等等。大多數(shù)方法都是基于對(duì)曲面隱式方程的變換。然而這些傳統(tǒng)的方法一直未能解決橢球面上優(yōu)劣弧的二義性問(wèn)

5、題，以及非單連通曲面出現(xiàn)的裂縫問(wèn)題。后文將會(huì)詳細(xì)介紹這兩個(gè)問(wèn)題。本文提出了能解決這兩個(gè)問(wèn)題的新方法，該方法基于對(duì)二次曲面隱式方程的標(biāo)準(zhǔn)化，對(duì)橢球面和單葉雙曲面的不同情形分別構(gòu)造出有效的參數(shù)曲線，篩選出符合要求的參數(shù)區(qū)間，最后得到參數(shù)曲面的形式和合理的參數(shù)域的范圍。其中對(duì)于橢球面的處理基于地理坐標(biāo)，即經(jīng)緯網(wǎng)的應(yīng)用，對(duì)單葉雙曲面的處理則是基于直紋面的分解。實(shí)驗(yàn)表明，新方法有效地避免了優(yōu)劣弧的二義性并保證了參數(shù)面片的連續(xù)性，因此有著更好的應(yīng)用