波在無界波導(dǎo)中傳播的高精度快速計(jì)算.pdf

1、在光學(xué)、聲學(xué)、地震學(xué)等諸多應(yīng)用領(lǐng)域內(nèi)，經(jīng)常需要快速精確地求解波的傳播問題。波導(dǎo)沿著波傳播方向的縱向尺度通常很大，橫向的尺度遠(yuǎn)小于縱向但仍然遠(yuǎn)大于波的波長(zhǎng)。標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)值方法，如有限元法或有限差分法等，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)規(guī)模很大的線性方程組，這將占用大量的內(nèi)存，且計(jì)算效率不高。
　　對(duì)于橫向有界的波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，很多學(xué)者已經(jīng)對(duì)波在變折射率光波導(dǎo)或變波數(shù)聲波導(dǎo)中的傳播計(jì)算進(jìn)行了研究并提出了行之有效的數(shù)值方法。比如適用于緩變平板波導(dǎo)的光束傳播法、用于計(jì)算

2、近軸傳播問題的算子方法、基于DtN(Dirichlet-to-Neumann)映射的步進(jìn)方法。對(duì)于橫向無界的波導(dǎo)，通過完美匹配層(PML)，橫向可以被截?cái)酁橐粋€(gè)很小的區(qū)域。于是，傳播問題的求解區(qū)域只有縱向的尺度比較大。對(duì)于這種結(jié)構(gòu)，通過DtN映射，可以將原先的邊值問題轉(zhuǎn)化為初值問題，然后再用步進(jìn)算法快速的求解這個(gè)初值問題，這就是算子步進(jìn)方法(Operator marching method)。
　　在算子步進(jìn)方法中，每一次步進(jìn)都需

3、要進(jìn)行一次與特征模相關(guān)的局部基變換。對(duì)于有界區(qū)域上的問題，由于橫向算子是自伴的，特征模構(gòu)成一組完備正交基，局部基變換可以很容易的完成。但是對(duì)于無界問題，由于PML的引入，原來的實(shí)系數(shù)Helmholtz方程變?yōu)橐粋€(gè)復(fù)系數(shù)的偏微分方程，橫向算子不再是自伴的。此時(shí)，特征模不再是正交的，這給局部基變換帶來了困難。盡管用于處理損耗波導(dǎo)傳播問題的共軛算子法在理論上可以用于局部基變換，但本文的研究表明，通過這種方法進(jìn)行局部基變換將給傳播計(jì)算帶來難以接

4、受的誤差。
　　通過對(duì)橫向算子的深入研究，本文提出了一個(gè)新的局部基變換技術(shù)，并研究了它和共軛算子法之間的關(guān)系。理論推導(dǎo)表明，如果將橫向算子在無窮網(wǎng)格上進(jìn)行離散，新的基變換方法和共軛算子法是等價(jià)的。但是，數(shù)值模擬結(jié)果表明，新的局部基變換技術(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于共軛算子法，精度和穩(wěn)定性都得到了顯著的提高。通過新的局部基變換，我們得到了Helmholtz方程在變折射率介質(zhì)中的高精度解。
　　除此之外，本文還研究了波在帶有彎曲界面的無界波導(dǎo)中的