三維幾何約束系統(tǒng)的分析與求解方法研究.pdf

1、幾何約束求解技術(shù)作為現(xiàn)代CAD系統(tǒng)的核心技術(shù)之一，廣泛應(yīng)用于產(chǎn)品造型、裝配設(shè)計、運動學(xué)分析和虛擬現(xiàn)實等諸多領(lǐng)域。盡管在過去幾十年中有大量文獻研究幾何約束系統(tǒng)的求解，但仍然有許多問題沒有得到解決，特別是在三維幾何約束求解領(lǐng)域。為此，本文對三維幾何約束系統(tǒng)的建模、分析、分解和求解等方面的關(guān)鍵問題進行了深入系統(tǒng)的研究，主要內(nèi)容和研究成果可歸納為如下幾個方面：
　　 ⑴通過從幾何角度構(gòu)建若干基本幾何約束方程，將多樣性的三維幾何約束映射為

2、這些基本幾何約束方程的組合表達(dá)，總結(jié)歸納出11種不同的三維幾何約束，為幾何約束系統(tǒng)的組合分析奠定基礎(chǔ)。揭示了幾何約束系統(tǒng)的冗余性分析和結(jié)構(gòu)分解必須綜合考慮變量層面的方程表達(dá)和對象層面的約束圖表達(dá)，并為此提出幾何約束層次偶圖表達(dá)三維幾何約束系統(tǒng)，不僅可以兼容現(xiàn)有的各種結(jié)構(gòu)分解方法，而且為幾何約束和工程約束的混合建模與求解以及將幾何約束求解擴展到多體系統(tǒng)動力學(xué)分析計算奠定基礎(chǔ)。
　　 ⑵通過對比分析現(xiàn)有幾何約束系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解方法的優(yōu)勢

3、和不足，揭示了幾何約束系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解的內(nèi)在機理，明確指出結(jié)構(gòu)分解方法必須和冗余性分析方法緊密結(jié)合才能保證結(jié)構(gòu)分解結(jié)果的正確性。引入代數(shù)幾何理論研究幾何約束系統(tǒng)的雅可比矩陣行秩虧損與冗余約束的關(guān)系，揭示了雅可比矩陣方法是判定冗余約束問題的概率性方法，指出不能采用變量空間任意位置的雅可比矩陣來判定冗余約束；在對比分析現(xiàn)有冗余約束判定方法的基礎(chǔ)上，給出了判定三維幾何約束系統(tǒng)中冗余約束的混合策略。
　　 ⑶為克服現(xiàn)有結(jié)構(gòu)分解方法的缺點，通

4、過充分挖掘三維幾何領(lǐng)域知識，分析幾何約束系統(tǒng)的內(nèi)在等價性，結(jié)合幾何約束圖的結(jié)構(gòu)分析，提出了三維幾何約束系統(tǒng)的等價性分析方法。該方法以優(yōu)化幾何約束圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為目的，采用等價幾何約束替換原有幾何約束以拆解偽約束閉環(huán)、縮減約束閉環(huán)和分離約束閉環(huán)，實現(xiàn)現(xiàn)有方法無法分解的幾何約束系統(tǒng)的進一步分解。與現(xiàn)有結(jié)構(gòu)分解方法不同，等價性分析方法無須剔除冗余約束就能自然地處理過約束、完整約束和欠約束的三維幾何約束系統(tǒng)，而且可以實現(xiàn)大部分三維幾何約束系統(tǒng)在幾

5、何意義上的最大分解。
　　 ⑷等價性分析方法可以將三維幾何約束系統(tǒng)分解為一系列的子系統(tǒng)，這些子系統(tǒng)可以分為兩個剛體之間的開環(huán)幾何約束系統(tǒng)和多個剛體構(gòu)成的閉環(huán)幾何約束系統(tǒng)。針對兩個剛體之間的開環(huán)幾何約束系統(tǒng)，本文全面地分析了角度約束和距離約束的可解耦求解的條件，指出大量的幾何約束組合中的角度約束和距離約束可分開求解的同時，仍然存在許多常見幾何約束組合無法解耦求解；依據(jù)三維幾何約束可以歸類為11種的事實，對幾何約束系統(tǒng)進行組合分析，

6、發(fā)現(xiàn)約束度不小于2的幾何約束構(gòu)成的約束組合只有幾十種。通過闡明附加方向約束、冗余幾何約束和矛盾幾何約束對數(shù)值求解的不利影響，給出了兩個剛體之間幾何約束系統(tǒng)的分類求解方法。針對多個剛體構(gòu)成的閉環(huán)幾何約束系統(tǒng)，采用螺旋理論識別出兩個剛體之間的幾何約束組合對應(yīng)的運動副約束，將幾何約束閉環(huán)圖轉(zhuǎn)換為運動副約束圖，通過求取運動副約束圖的最大生成樹來選擇切除幾何約束并計算相對坐標(biāo)，將幾何約束閉環(huán)系統(tǒng)的整體迭代求解轉(zhuǎn)換為切除部分幾何約束與相對坐標(biāo)的迭代

7、求解，實現(xiàn)必須迭代求解的約束方程和坐標(biāo)變量數(shù)量的最小化，而且降低了附加方向約束和冗余約束對數(shù)值求解的不利影響。
　　 ⑸提出運動鏈結(jié)構(gòu)約束的等價替換方法分解三維幾何約束閉環(huán)系統(tǒng)。該方法通過對三維幾何約束閉環(huán)系統(tǒng)的運動副約束圖進行結(jié)構(gòu)分析，在串聯(lián)運動鏈的首尾剛體之間引入與其結(jié)構(gòu)約束等價的幾何約束組合將串聯(lián)運動鏈從幾何約束閉環(huán)系統(tǒng)中分離出來，實現(xiàn)此前被認(rèn)為無法分解的幾何約束閉環(huán)系統(tǒng)的進一步分解；在大部分情況下，該方法可以將三維幾何約

8、束閉環(huán)系統(tǒng)分解為一系列兩個剛體之間的幾何約束系統(tǒng)，這意味著此前必須數(shù)值迭代求解的幾何約束閉環(huán)系統(tǒng)可以采用幾何推理方法進行求解。
　　 ⑹提出投影變換方法求解三維幾何約束閉環(huán)系統(tǒng)中的平面構(gòu)型。該方法首先采用螺旋理論和幾何推理的方法識別出幾何約束閉環(huán)系統(tǒng)中的平面構(gòu)型，然后將這些平面構(gòu)型投影到二維平面轉(zhuǎn)換為二維幾何約束系統(tǒng)，最后通過求得二維幾何約束系統(tǒng)的解反算三維幾何約束閉環(huán)系統(tǒng)的解。投影變換方法降低了約束方程的規(guī)模和復(fù)雜性，使得約束