有理插值樣條方法及其在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用研究.pdf

1、近年來隨著航空、造船、機(jī)械設(shè)計(jì)和制造等現(xiàn)代工業(yè)的蓬勃發(fā)展,計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì),簡(jiǎn)稱CAGD(Computer Aided Geometric Design),逐步成為的一門新興的交叉學(xué)科.作為CAGD系統(tǒng)基本幾何元素,自由曲線、曲面的表示、設(shè)計(jì)、顯示、分析以及規(guī)格、處理(包括數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫、圖形的信息形式和調(diào)整方式等)問題,是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)的主要研究對(duì)象和內(nèi)容.而用插值與逼近方法解決曲線、曲面造型問題是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)最基礎(chǔ)的研

2、究課題.另外,隨著數(shù)字圖像處理技術(shù)的迅速發(fā)展,數(shù)值逼近在數(shù)字圖像處理中也有了廣泛的應(yīng)用.作為典型非線性逼近之一的有理函數(shù)插值與逼近方法,在數(shù)值逼近、函數(shù)近似表示、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)及數(shù)字圖像處理中,越來越引起人們的關(guān)注.本文圍繞著有理插值樣條及其在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用,給出下列研究成果: 1. 1/1型有理插值樣條對(duì)于嚴(yán)格單調(diào)數(shù)據(jù),本文構(gòu)造了1/1型分段插值樣條,即分子、分母均為一次多項(xiàng)式的插值函數(shù),該有理插值樣條既克服了一次多項(xiàng)式

3、的不光滑性,同時(shí)又不會(huì)出現(xiàn)高次多項(xiàng)式通常產(chǎn)生的震蕩.該函數(shù)形式簡(jiǎn)單,僅需給定函數(shù)值便可惟一確定,且便于推廣到二元情形.文中給出了一元和二元插值格式并研究了它們的保形性,同時(shí)給出了插值函數(shù)的誤差估計(jì). 2. 3/3有理插值樣條構(gòu)造了含有四族參數(shù)的分片三次有理樣條函數(shù)(分子、分母均為三次多項(xiàng)式).其中兩族參數(shù)稱為形狀參數(shù),另外兩族參數(shù)稱為保形參數(shù).通過調(diào)整形狀參數(shù)可交互式修改曲線形狀,通過適當(dāng)選取保形參數(shù)可使曲線保單調(diào),另外,該方法

4、計(jì)算簡(jiǎn)單、靈活.數(shù)值例子顯示由該樣條函數(shù)生成的曲線十分光滑且保持了數(shù)據(jù)固有的形態(tài). 3. 4/1有理插值樣條構(gòu)造了4/1型分段有理插值曲線即分子、分母分別為四次、一次多項(xiàng)式的插值函數(shù),并討論了該函數(shù)的一階、二階連續(xù)性和保單調(diào)的條件.該函數(shù)含有二族參數(shù)α<,i>、β<,i>可自由調(diào)節(jié)以改變曲線的形狀,并可通過給導(dǎo)數(shù)d<,i>賦值,而無需求解一協(xié)調(diào)方程組才能使得插值函數(shù)二階連續(xù).此四次樣條函數(shù)分母不含導(dǎo)數(shù)條件,便于推廣到多元情形,本

5、文將此結(jié)果通過張量積的形式推廣到插值曲面,并通過定義二元函數(shù)的單調(diào)性,給出了該函數(shù)單調(diào)的充分條件. 4. 三次混合有理插值構(gòu)造了3/1型插值有理樣條即分子、分母分別為三次、一次多項(xiàng)式的插值函數(shù),并討論了它的連續(xù)性、單調(diào)性、保凸性及收斂性.該樣條函數(shù)不僅可通過導(dǎo)數(shù)參數(shù)的選取,使得插值函數(shù)保單調(diào),還可使得插值函數(shù)保凸.然后,利用此函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)的三次Hermite插值函數(shù)進(jìn)行類似于張量積的處理,.構(gòu)造了各種二元混合有理插值格式.

6、 5. 圖像融合將本文構(gòu)造的3/3型有理樣條用于圖像融合.由于加權(quán)平均法對(duì)噪聲很敏感,容易在模糊區(qū)域和清晰區(qū)域交界的地方容易出現(xiàn)明顯的塊狀效應(yīng)或者灰度畸變,本文通過塊定義像素清晰度,對(duì)對(duì)應(yīng)像素的灰度值進(jìn)行加權(quán)組合來形成融合圖像.如何選擇權(quán)函數(shù)是圖像融合中的關(guān)鍵問題,由于本文構(gòu)造的三次有理樣條具有保形有性,用它構(gòu)造的函數(shù)完全滿足權(quán)函數(shù)的要求,將構(gòu)造的權(quán)函數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行融合,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所得到的融合圖像具有較好的融合效果. 6. 圖像

7、縮放將本文構(gòu)造的雙4/1型有理樣條用于圖像縮放.我們常用的圖像處理軟件普遍采用插值方法進(jìn)行放大和縮小,各種各樣的插值技術(shù)是實(shí)現(xiàn)圖像放大的最常用的方法,然而,這些方法都是基于簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式模型,會(huì)造成邊緣層次模糊和虛假的人工痕跡(鋸齒狀條紋和方塊效應(yīng)等),原因是圖像受光照、自然背景的影響,以及圖像自身紋理的特點(diǎn),其相鄰像素之間一般不是成線性關(guān)系,因此用非線性函數(shù)中的有理函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型可能會(huì)得到更理想的效果.因此本文用雙四次有理樣條曲面,將

8、由原始圖像給出的離散數(shù)據(jù),用二元連續(xù)函數(shù)表示,然后按縮放要求進(jìn)行重采樣得到目標(biāo)圖像,由于此樣條函數(shù)是分段定義的且具有保形的特點(diǎn),因此計(jì)算簡(jiǎn)單,穩(wěn)定性好. 本文的主要工作和創(chuàng)新點(diǎn)如下: 1.構(gòu)造了4/1型有理插值樣條即分子、分母分別為四次、一次多項(xiàng)式的插值函數(shù),并討論了該函數(shù)的一階、二階連續(xù)性和保單調(diào)的條件.該函數(shù)含有二族參數(shù)α、β<,i>可自由調(diào)節(jié)以改變曲線的形狀.有理樣條曲緣一般只有C<'1>光滑,欲達(dá)到C<'2>光滑

9、,需要解一個(gè)關(guān)于d<,i>的非線性協(xié)調(diào)方程組,這為設(shè)計(jì)C<'2>光滑曲線帶來了困難.本文構(gòu)造的4/1型有理插值樣條的優(yōu)點(diǎn)是可通過對(duì)導(dǎo)數(shù)值d<,i>賦值,無需求解上述協(xié)調(diào)方程組使得插值函數(shù)二階連續(xù),且函數(shù)仍是保單調(diào)的. 2.通過張量積的方式將上述4/1型有理樣條曲線推廣到二元插值曲面,給出了二元函數(shù)的插值格式,另外,通過定義二元函數(shù)的單調(diào)性,給出了插值曲面保單調(diào)的充分條件. 3.現(xiàn)有的三次保形有理樣條一般只保單調(diào),只有Gr

10、egory Delbourgo.構(gòu)造的2/1型有理樣條具有保凸性,但是,它不含形狀參數(shù),不便于交互式修改曲線形狀,另外它分母含有導(dǎo)數(shù)參數(shù),無法構(gòu)造二元插值格式.本文構(gòu)造了3/1型插值有理樣條即分子、分母分別為三次、一次多項(xiàng)式的插值函數(shù),該樣條函數(shù)不僅可通過導(dǎo)數(shù)參數(shù)的選取,使得插值函數(shù)保單調(diào),還可使得插值函數(shù)保凸.然后,利用此函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)的三次Hermite插值函數(shù)進(jìn)行類似于張量積的處理,構(gòu)造了各種二元混合有理插值格式. 4.由于3

11、/3型有理樣條具有保形性,本文將3/3型保形有理樣條用于圖像融合中的權(quán)函數(shù)的逼近,并給出了具體的函數(shù)表達(dá)式.同時(shí)將本文的融合方法與用離散小波變換基于窗口的融合規(guī)則下得到的融合圖像進(jìn)行了性能比較.實(shí)驗(yàn)表明本文得到的融合圖像和參考圖像的均方根誤差R/MSE明顯優(yōu)于用離散小波變換得到的融合圖像的RMSE,獲得了較好的融合效果. 5.將本文構(gòu)造的雙4/1型有理插值樣條用于圖像縮放.以原圖像的像素點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn),用雙4/1型有理插值樣條建立

12、連續(xù)數(shù)學(xué)模型,然后按縮放要求重新采樣得到目標(biāo)圖像.為了比較說明本文提出的雙4/1型有理插值應(yīng)用于圖像插值處理的效果,我們分別使用雙三次多項(xiàng)式插值方法和本文方法對(duì)四幅不同的灰度或彩色圖像進(jìn)行插值處理.首先將圖像通過雙線性插值算法縮小一定的倍數(shù)(本文取2倍),然后再用不同的插值算法放大到原來的大小.將原圖像看作無失真的圖像,插值圖像看作是失真的圖像,則可得到圖像峰值信噪比(PSNR).兩種算法的執(zhí)行時(shí)間分別為85ms和100ms.本文方法與