非良基集與模態(tài)邏輯.pdf

1、在策梅洛-弗蘭克爾的集合論公理系統(tǒng)ZF中，基礎(chǔ)公理把集合的論域限制到良基集合。因此，不存在屬于關(guān)系的無(wú)窮降鏈，也不存在屬于自身的集合。1989年阿克采爾創(chuàng)立了非良基集合理論，引入反基礎(chǔ)公理AFA替換ZF中的基礎(chǔ)公理FA，從而得到非良基集合論系統(tǒng)ZFA。由于非良基集合可以用來(lái)構(gòu)造循環(huán)現(xiàn)象的模型，而這些循環(huán)現(xiàn)象都不能用經(jīng)典集合論來(lái)描述，因此，它們?cè)谡軐W(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、模態(tài)邏輯、語(yǔ)言學(xué)以及理論計(jì)算機(jī)科學(xué)中具有十分廣闊的應(yīng)用前景。接受非良基集合并發(fā)展

2、非良基集理論具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。
　　 本文研究非良基集合與模態(tài)邏輯的關(guān)系，在模態(tài)邏輯的集合論語(yǔ)義下探討了一些重要的語(yǔ)義概念，進(jìn)而研究了集合（模型）的構(gòu)造、可定義性等等模型論問(wèn)題。概括說(shuō)來(lái)，本文的主要工作包括以下三個(gè)方面：
　　 第一，梳理了非良基集合論的理論背景、發(fā)展歷史和研究現(xiàn)狀，介紹了非良基集合在眾多研究領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。
　　 第二，根據(jù)阿克采爾和巴威斯等人的觀點(diǎn)，闡述了非良基集合的基本理論，從集

3、合與圖的關(guān)系和方程組的解兩個(gè)方面引入反基礎(chǔ)公理，保證非良基集合的存在性。接著，引入兩個(gè)重要的概念。一個(gè)概念是本元，它既不是集合也不是類，但可以作為集合的元素。把本元引入圖的裝飾，便得到加標(biāo)圖。另一個(gè)概念是集合上的互模擬關(guān)系，它用于判定兩個(gè)非良基集合相等。
　　 第三，在集合論語(yǔ)義下重新研究模態(tài)邏輯。本文探討了框架、模型和集合之間的聯(lián)系，然后研究集合的構(gòu)造以及模態(tài)可定義性問(wèn)題，并且將基本模態(tài)語(yǔ)言翻譯到經(jīng)典（一階或二階）集合論語(yǔ)言。

4、本文還引入了集合之間的互模擬關(guān)系和方程組之間的互模擬，進(jìn)而研究加標(biāo)圖上的互模擬與模態(tài)等價(jià)之間的關(guān)系。最后，在集合論語(yǔ)義下重新研究模態(tài)邏輯的一些元邏輯性質(zhì)。
　　 本文的主要?jiǎng)?chuàng)造性工作在于：
　　 第一，在模態(tài)邏輯的集合論語(yǔ)義下，定義了集合之間的一些非標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)算，包括不交并、生成子集合、p-態(tài)射、樹展開等，并證明了模態(tài)公式在這些運(yùn)算下的保持或不變結(jié)果。
　　 第二，把基本模態(tài)語(yǔ)言翻譯到經(jīng)典集合論語(yǔ)言，并且證明了語(yǔ)義上

5、的對(duì)應(yīng)結(jié)果，初步探討了范·本特姆類型的刻畫定理。
　　 第三，在模態(tài)邏輯的集合論語(yǔ)義下，研究可定義性理論。本文重點(diǎn)研究了如何使用集合類對(duì)模態(tài)公式進(jìn)行分類，從模態(tài)邏輯T的特征公式出發(fā)，把分類結(jié)果推廣到其它模態(tài)邏輯的特征公式，包括模態(tài)邏輯KD、K4、KB、K5和GL的特征公式等等。
　　 第四，使用圖和加標(biāo)圖等語(yǔ)義結(jié)構(gòu)，初步研究了模態(tài)邏輯系統(tǒng)的元邏輯性質(zhì)，主要包括正規(guī)模態(tài)邏輯的完全性、有窮加標(biāo)圖性質(zhì)和可判定性質(zhì)。本文還嘗試使

6、用純集合和含有本元的集合直接研究這些元邏輯性質(zhì)。
　　 目前，我國(guó)邏輯學(xué)界對(duì)非良基集合論及其應(yīng)用的研究幾乎還是一片空白，尚處起步階段。在這方面，本文研究工作的意義是，在借鑒和吸納國(guó)外研究成果的基礎(chǔ)上，把非良基集合與模態(tài)邏輯相結(jié)合的研究成果引進(jìn)、介紹到國(guó)內(nèi)。更重要的是，本文在非良基集合論語(yǔ)義下重新研究了模態(tài)邏輯，解決了一些模型論問(wèn)題，這有利于促進(jìn)各個(gè)邏輯分支的共同發(fā)展，更大程度地發(fā)揮邏輯學(xué)的工具性作用。我認(rèn)為，模態(tài)邏輯與非良基集合