基本命題邏輯的模態(tài)擴張.pdf

1、基本命題邏輯是不同于經(jīng)典命題邏輯的命題邏輯，屬于非經(jīng)典邏輯，與它最類似的非經(jīng)典邏輯是直覺主義命題邏輯。相比于經(jīng)典命題邏輯，基本命題邏輯引入了一個恒假概念（記為上），并在否定和蘊含的定義上均與經(jīng)典命題邏輯不同?；久}邏輯中蘊含的意義在于一個特定的傳遞關(guān)系的后繼上，蘊含式的真值也由該關(guān)系的后繼上前件和后件的真值確定。否定式也不再是經(jīng)典命題邏輯中那樣的真值變換，一個命題的否定被定義為該命題蘊含恒假。在基本命題邏輯中加入公式p∧(p→q)→q

2、作為公理，可以將該邏輯擴張為直覺主義邏輯;再在此直覺主義邏輯的基礎(chǔ)上加入公式p∨（-）p作為公理，則可以將其擴張為經(jīng)典命題邏輯。與經(jīng)典命題邏輯和直覺主義命題邏輯一樣，基本命題邏輯也可以進行模態(tài)擴張，以此來研究必然、可能及其相關(guān)概念。以上設(shè)定與直覺主義命題邏輯基本相同，區(qū)別在于蘊含的定義上，在基本命題邏輯中，與蘊含對應(yīng)的特定關(guān)系是一個傳遞關(guān)系，而在直覺主義命題邏輯中，與蘊含對應(yīng)的特定關(guān)系是一個自返且傳遞的關(guān)系。基本命題邏輯和直覺主義命題邏

3、輯之間的區(qū)別也是由于這個關(guān)系的自返與否帶來的。由于基本命題邏輯和經(jīng)典命題邏輯、直覺主義命題邏輯之間關(guān)系密切，因而在對其進行模態(tài)擴張的時候，可以借鑒經(jīng)典模態(tài)邏輯和直覺主義模態(tài)邏輯，參考二者中對模態(tài)部分的定義與描述來獲取對基本命題邏輯進行模態(tài)擴張的思路，以及獲取擴張之后得到的邏輯的具體性質(zhì)。
　　在對基本命題邏輯進行模態(tài)擴張時，經(jīng)過檢驗得出必然算子與可能算子之間并不像經(jīng)典模態(tài)邏輯中那樣具有對偶關(guān)系，因此需要分別擴張出只含有必然算子的模

4、態(tài)邏輯與只含有可能算子的模態(tài)邏輯，再考慮將這兩種模態(tài)邏輯進行合并，進而得到同時含有必然算子與可能算子的模態(tài)邏輯。在引入必然算子時，與經(jīng)典模態(tài)邏輯一樣需要引入新的可及關(guān)系，但由于基本命題邏輯本身帶有的單調(diào)性，使得如果僅僅使用這個新的關(guān)系定義出必然算子，那么將出現(xiàn)在擴張后的模態(tài)邏輯系統(tǒng)下帶有必然算子的蘊含式不能保持單調(diào)性這個問題。解決這個問題需要對得到的模態(tài)邏輯的模型進行關(guān)系上的限制。為了避免進行這樣的限制，本文將蘊含式對應(yīng)的關(guān)系與模態(tài)擴張

5、時引入的新關(guān)系結(jié)合在一起，同時使用這兩個關(guān)系來重新定義了必然算子。以這樣的方式引入必然算子之后，在基本命題邏輯系統(tǒng)的基礎(chǔ)上加入兩條帶有必然算子的公理與一條帶有必然算子的推理規(guī)則，即可以得到該系統(tǒng)的帶有必然算子的模態(tài)擴張。在引入可能算子時同樣由于單調(diào)性而遇到了問題，而將蘊含式對應(yīng)的關(guān)系與模態(tài)擴張時引入的新關(guān)系結(jié)合在一起來重新定義可能算子的方式并沒有得到好的結(jié)果，因此為了解決這個問題，本文在擴張后得到的模態(tài)邏輯系統(tǒng)上進行了這兩個關(guān)系之間的限

6、制。以這樣的方式引入可能算子之后，在基本命題邏輯系統(tǒng)的基礎(chǔ)上加入兩條帶有可能算子的公理與一條帶有可能算子的推理規(guī)則，即可以得到該系統(tǒng)的帶有可能算子的模態(tài)擴張。而同時按文中的方式引入必然算子與可能算子之后，將以上四條公理與兩條推理規(guī)則同時加入基本命題邏輯的系統(tǒng)，則可以得到該系統(tǒng)的既帶有必然算子又帶有可能算子的模態(tài)擴張MPL，而這也是本文希望得到的結(jié)果。
　　以這樣方式對基本命題邏輯進行模態(tài)擴張之后，得到的模態(tài)邏輯類似于直覺主義模態(tài)邏

7、輯，但兩者在公理上有很大區(qū)別。本文選擇了最有影響力的直覺主義模態(tài)邏輯系統(tǒng)——費舍爾·舍維的FS系統(tǒng)——來與MPL的系統(tǒng)進行對比，發(fā)現(xiàn)兩者除了共有的公理及推理規(guī)則之外，包括K公理在內(nèi)的三條FS系統(tǒng)的公理在MPL的系統(tǒng)中均存在反模型，以此來說明這三條公理都不能作為MPL系統(tǒng)的公理或定理。除了這樣的不同點，從模型論的理論進行考慮可以發(fā)現(xiàn)，在經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)、基本命題邏輯系統(tǒng)與直覺主義模態(tài)邏輯系統(tǒng)中，一些模型和框架上的定理在MPL中同樣適用，只

8、需要注意將對應(yīng)的模態(tài)部分轉(zhuǎn)化為適用于MPL的形式。
　　考慮到除了K公理之外的另外兩條公理是同時含有必然算子與可能算子的公式，而這兩條公理均被證明在MPL中無效，因而本文嘗試將引入必然算子與可能算子所使用的與模態(tài)相對應(yīng)的可及關(guān)系區(qū)分開來的方式，以一種偏向代數(shù)的方式重新對基本命題邏輯進行了模態(tài)擴張。這樣進行的模態(tài)擴張得到的模態(tài)邏輯同時含有必然算子與可能算子，其模型可以對應(yīng)到一個特定的海廷代數(shù)上，同時一個符合這樣形式的海汀代數(shù)也可以對