土木工程論文外文翻譯(中文）---不確定性橋梁車輛系統(tǒng)動態(tài)分析的模型

1、<p>　　Dynamic analysis of bridge–vehicle system with uncertainties based on the finite element model 譯文</p><p><b>　　中文譯文：</b></p><p>　　不確定性橋梁車輛系統(tǒng)動態(tài)分析的模型 </p><p>&

2、lt;b>　　摘要</b></p><p>　　本文提出了關(guān)于車橋不確定的相互作用動態(tài)分析方法。把一座橋模擬成一簡支梁歐拉伯努利簡支梁，移動荷載作用在其頂部。該荷載隨著時間的變化產(chǎn)生不同的變異系數(shù)，這被認(rèn)為是高斯隨機(jī)過程。車橋系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,建立在系統(tǒng)的有限元模型上,其中KarhunenLoeve擴(kuò)展代表高斯隨機(jī)過程，用Newmark-方法來解決系統(tǒng)方程。文中提出的方法與蒙特卡洛法相比,，在力的

3、作用下均值和結(jié)構(gòu)反應(yīng)的結(jié)果是非常準(zhǔn)確的。和蒙特卡羅方法的比較，文中提出的方法在計算效率也有優(yōu)異的性能。</p><p>　　S.Q. Wu, S.S. Law</p><p>　　Civil and Structural Engineering Department, Hong Kong Polytechnic University, Hunghom, Kowloon, Hong Kong

4、, China</p><p>　　文章歷史：2009年3月24日初稿完成2010年1月9日修訂完成 2010年5月20日發(fā)表</p><p>　　關(guān)鍵詞：動態(tài)；車橋系統(tǒng)；不確定性；移動荷載；高斯；有限元法；KarhunenLoéve擴(kuò)展</p><p><b>　　1.介紹</b></p><p>　　近年來

5、橋梁狀態(tài)的評估在研究人員中是很受歡迎的。當(dāng)一個車輛通過橋面板時,一個放大的需要加以考慮的力將會出現(xiàn)。</p><p>　　受到移動車載負(fù)荷的橋梁動力響應(yīng)結(jié)構(gòu)已經(jīng)被研究了十年之久。Fryba提出解析等截面的簡支梁和連續(xù)梁。Green 和 Cebon給出了歐拉伯努利梁的動態(tài)響應(yīng)</p><p>　　在頻域下使用迭代過程，來解決“quarter-car”車輛模型。類似工作被楊和林做過，兩個人曾經(jīng)

6、研究過行駛中的車輛的動態(tài)互動和支護(hù)橋梁采用模態(tài)疊加技術(shù)的解決方案。Zheng et al也.研究了受移動荷載作用的變截面連續(xù)梁。梁橋模型是由Zhu and Law擴(kuò)展在拉格朗日方程和模態(tài)疊加基礎(chǔ)上通過一系列的移動荷載作用于正交各向異性板和簡支矩形板的兩個平行邊而建成的。Marchesiello et al. 也提出了一種解析的方法, 在七個自由度車輛系統(tǒng)運(yùn)作下以橋梁車輛系統(tǒng)之間的互動關(guān)系將載荷作用的連續(xù)橋面轉(zhuǎn)化為各向同性。</p&

7、gt;<p>　　與上述工作中模態(tài)疊加的應(yīng)用技術(shù)相比，用有限元分析方法來處理更復(fù)雜的橋梁車輛動態(tài)模型。Henchi et al.提出了一種高效算法來分析一座橋梁表面的動態(tài)模型，此時大量的車輛以規(guī)定的速度在橋面上行駛，作用于橋面車載軸載被描繪成使用形函數(shù)有限元模擬的節(jié)點(diǎn)力。耦合方程解決了在不用迭代法的情況下的橋梁車輛系統(tǒng)運(yùn)動。類似的方法Lee ，Yhim 和Kim et al.曾經(jīng)提出過。通過實(shí)驗(yàn)和現(xiàn)場分別測試數(shù)據(jù)，也有其他

8、種類的有限元模型方法,如“移動單元法”和“移動質(zhì)量單元法”,來解決移動荷載作用在框架和鋼結(jié)構(gòu)上的難題。</p><p>　　雖然在車橋相互作用的問題中大多數(shù)的方法將路面不平度作為了不確定性的來源,但是傳統(tǒng)的解決方法很準(zhǔn)確。在ISO標(biāo)準(zhǔn)中根據(jù)其譜線密度的定義，路面不平度被認(rèn)為是不規(guī)則的型材的樣品。如果激振作用在不確定性橋面時，根據(jù)不同的粗糙度,不同的樣品就可以獲得不同的響應(yīng)統(tǒng)計計算,并且可以完整描述橋梁車輛的動態(tài)響

9、應(yīng)系統(tǒng)。當(dāng)從表面上看時，車橋系統(tǒng)經(jīng)常展現(xiàn)一個固有的隨機(jī)性。由于其中不確定性結(jié)構(gòu)性能以及加載過程，傳統(tǒng)的確定性分析一般只能解決近似的情況。此時，應(yīng)該用隨機(jī)分析來代替車橋系統(tǒng)的互動問題。</p><p>　　近年來將橋面粗糙度的動態(tài)響應(yīng)建模為高斯隨機(jī)過程的研究工作已經(jīng)開展進(jìn)行了。由于車輛和橋梁的表面粗糙度參數(shù)認(rèn)為是確定性，所以一些研究人員只考慮了隨機(jī)性。這些工作主要可以分為頻域法和時域方法。其他還包括移動車輛在整體質(zhì)

10、量、剛度、阻尼和移動速度上的隨機(jī)性來評估結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。另一個橋梁結(jié)構(gòu)的隨機(jī)性很少用在研究車軸的交互問題上。隨機(jī)有限元方法通常用來分析模型結(jié)構(gòu)的不確定性。一個單一的移動荷載作用在梁上，F(xiàn)ryba et al. 通過攝動剛度和被模擬成高斯隨機(jī)變量期望值的阻尼來評價梁的動態(tài)響應(yīng)。</p><p>　　當(dāng)不確定性數(shù)值增加時，攝動法會失去它的準(zhǔn)確性，此時Karhunen_Loéve expansion將被采用來代表

11、高斯隨機(jī)過程。 在高斯車載荷載的作用下，這座橋的反應(yīng)可能會有非高斯特性，但是可以近似看成具有高斯隨機(jī)的特性。這種方法跟Ghanem 和Spanos所提出的在一個多項式的基礎(chǔ)上通過隨機(jī)有限元方法來預(yù)測非高斯隨機(jī)響應(yīng)特性是相似的。它是一種更普遍的能處理變量范圍更廣的方法.。然而,在大量的KarhunenLoeve組件的數(shù)量代表系統(tǒng)參數(shù)和勵磁時，在解決多項式擴(kuò)大的問題上，它卻受指數(shù)增長的維度困擾。</p><p>　　

12、在車橋相互作用問題,隨機(jī)激勵力是一個復(fù)雜的需要大量的高頻的K-L組件來表示的隨機(jī)過程,因此多項式混亂數(shù)量會變的非常大。在實(shí)踐中, 由于道路表面粗糙度，激振力的隨機(jī)性可能會成為非常大的, 當(dāng)?shù)缆窢顩r惡劣時根據(jù)ISO標(biāo)準(zhǔn)，該力的變異系數(shù)會超過0.8,而橋梁的系統(tǒng)參數(shù)隨機(jī)性是相對較小的。</p><p>　　在隨機(jī)有限元模型的基礎(chǔ)上,本文提出了動態(tài)響應(yīng)來計算橋梁結(jié)構(gòu)，此結(jié)構(gòu)是一個車軸固有的隨機(jī)性系統(tǒng)?；诖四Ｐ偷乃惴?/p>

13、以處理復(fù)雜的不確定的激發(fā)力。這座橋是模擬成一個歐拉伯努利簡支梁。該簡支梁頂部作用著一個移動荷載。該荷載隨著時間的變化產(chǎn)生不同的變異系數(shù)，這被認(rèn)為是高斯隨機(jī)過程。使用KarhunenLoeve擴(kuò)展和響應(yīng)的統(tǒng)計數(shù)字通過Newmark-β方法求解得到該系統(tǒng)的運(yùn)動方程。數(shù)值仿真結(jié)果表明,該方法與Monte Carlo模擬吻合。</p><p>　　第二節(jié)主要介紹車橋系統(tǒng)的確定性和激發(fā)力。第三節(jié)介紹的KarhunenLoe

14、ve膨脹的基本理論及應(yīng)用。第四節(jié)介紹隨機(jī)有限元模型車橋系統(tǒng)包括隨機(jī)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行隨機(jī)移動。第五節(jié)中給出了在實(shí)際應(yīng)用中數(shù)值模擬的影響和各種因素對精度的影響。最后一節(jié)得出結(jié)論。</p><p><b>　　2 系統(tǒng)的運(yùn)行方程</b></p><p>　　這座橋可以轉(zhuǎn)化成多個負(fù)載移動作用的歐拉伯努利簡支梁。這個方程</p><p><b>　

15、　運(yùn)動可以寫成</b></p><p>　　ρ是質(zhì)量密度，A是截面面積，c和EI分別橫梁上的阻尼和抗彎剛度; w(x,t)是位移和時間的函數(shù)；vi是移動荷載Fi.t/的速度；是拉克三角函數(shù)；是移動荷載作用的數(shù)量。</p><p>　　厄密共軛立方插值形函數(shù)和這個假定的方程,對瑞利阻尼運(yùn)動可以用橋用矩陣的形式表示</p><p>　　Mb, Cb和Kb分別

16、是質(zhì)量、阻尼和橋梁結(jié)構(gòu)的剛度矩陣； ，分別代表矢量結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)位移，速度和加速度。HbF是等效節(jié)點(diǎn)負(fù)載向量的車橋系統(tǒng)的相互作用力。當(dāng)=2的時候可以寫成這種形式</p><p>　　當(dāng)NN是在考慮邊界條件橋梁結(jié)構(gòu)自由度的數(shù)目時，可以寫成</p><p>　　中在時間t之內(nèi)力j的作用次數(shù)i， ，l是梁的長度。</p><p>　　在移動荷載的作用下的橋的節(jié)點(diǎn)響應(yīng)的模型能通過

17、公式（2）直接解決。橋的位移x和時間t的關(guān)系可以表示為：</p><p>　　在和形函數(shù)中，是向量1*n除了x作用梁的位置。</p><p><b>　　3.1. 原理</b></p><p>　　Karhunen_Loéve expansion的隨機(jī)變量是基于它的誤差協(xié)方差函數(shù)。此函數(shù)可以用下面光譜分析：</p>&l

18、t;p>　　其中和分別是特征值和特征向量協(xié)方差, 他們可以證明</p><p>　　下面積分方程24的解：</p><p>　　由于非對稱性協(xié)方差,相互正交的特征，他們是正交協(xié)方差函數(shù)的代表。特征向量可以歸化為以下</p><p>　　其中是克羅內(nèi)克函數(shù)。隨機(jī)函數(shù)可以寫成：</p><p>　　其中是個獨(dú)立的隨機(jī)變量。θ代表的是自由度。

19、可以表示為</p><p>　　其中代表的是期望值。</p><p>　　3.2 向量的隨機(jī)過程</p><p><b>　　隨機(jī)過程可以寫成：</b></p><p>　　其中和可以分別表示為</p><p>　　其中代表的是期望值。</p><p>　　隨機(jī)變量過程可以

20、離散的等同于時間間隔，時間的次數(shù)n=T/Δt+1，其中T是總時間。Karhunen_Loéve中的離散矢量的隨機(jī)過程可以證行為一維過程VV:</p><p>　　協(xié)方差矩陣可以定義為：</p><p>　　也可以寫成矩陣形式:</p><p>　　其中*n 相應(yīng)的K_L expansion可以定義以下特征問題：</p><p>　　

21、VV的K_L表示可以為：</p><p>　　其中是均值向量，是Karhunen_Loéve向量，可以表示為</p><p>　　其中表示的是當(dāng)尺寸是1*n時，代表的是第j個K_L組件在中的第i項。根據(jù)方程（15）—（19）它們可以從Karhunen_Loéve向量中提出來。所以可以變?yōu)椋?lt;/p><p><b>　　均值向量</

22、b></p><p>　　4 高斯勵磁系統(tǒng)和系統(tǒng)參數(shù)</p><p>　　4.1 隨機(jī)有限元算法</p><p>　　質(zhì)量密度，楊氏模量，阻尼被假定為高斯隨機(jī)過程。均值，標(biāo)準(zhǔn)偏差和它們的隨機(jī)組件可以表示為。隨機(jī)結(jié)構(gòu)的運(yùn)動方程和隨機(jī)激勵可以被寫成：</p><p>　　其中A是截面面積，I是梁的慣性轉(zhuǎn)矩，θ代表是自由度。公式（22）還可以

23、寫成：</p><p>　　其中分別代表相對于結(jié)點(diǎn)的位移向量，速度向量和結(jié)構(gòu)加速度向量。M，C，K分別是橋梁結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，阻尼和剛度。</p><p>　　分別是系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣。他們可以寫成：</p><p>　　其中是組件的數(shù)量在the K_L expansion的楊氏模量中。剛度矩陣的元素構(gòu)成為：</p><p><b&g

24、t;　　系統(tǒng)剛度矩陣K等于</b></p><p>　　其中可以等于，讓，又可以得到：</p><p>　　類似的系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣可以表示為：</p><p>　　根據(jù)方程（25），瑞利阻尼矩陣是系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度矩陣的線性組合。阻尼矩陣可以表示為：</p><p>　　其中分別是K_L expansion中質(zhì)量密度和阻尼的組件數(shù)目；

25、。</p><p>　　根據(jù)方程（21），隨機(jī)激振力向量可以被K_L expansion表示。</p><p>　　其中是K_L expansion中移動荷載的數(shù)目。是K_L組件的數(shù)量。因?yàn)樵诜匠蹋?7）協(xié)方差的矩陣不已知的，所以根據(jù)方程（21）K_L expansion不能看成節(jié)點(diǎn)位移矢量。然而可是，它假定了隨機(jī)性系統(tǒng)參數(shù)并不是很龐大和路面結(jié)構(gòu)響應(yīng)近似具有高斯分布的性質(zhì)。因此采取的形式為

26、：</p><p>　　其中是相應(yīng)的組件數(shù)量，受K-L的激振力和系統(tǒng)參數(shù)的數(shù)量所決定的。像。同樣,節(jié)點(diǎn)的速度矢量和節(jié)點(diǎn)加速度</p><p><b>　　向量形式為：</b></p><p>　　其中分別代表對時間t的一次和二次導(dǎo)數(shù)。將方程（29）-方程（35）帶入到方程（23）并將帶入到公式的兩邊，在根據(jù)方程（11）的正交性質(zhì)，我們可以得到：

27、</p><p>　　改為矩陣形式，方程（36）改為</p><p>　　其中和可以計算解析。</p><p><b>　　4.2. 響應(yīng)統(tǒng)計</b></p><p>　　通過使用Newmark-β方法獲得的結(jié)果來解決橋的結(jié)點(diǎn)響應(yīng)計算。方差的結(jié)點(diǎn)位移可以寫為：</p><p>　　根據(jù)方程（5）橋

28、的坐標(biāo)x與時間t的關(guān)系：</p><p>　　因此均值和方差的位移在位置x和時刻t的關(guān)系為：</p><p>　　在方程（40）中，將的一次和二次導(dǎo)數(shù)代替，可以得到速度，加速度的均值和方差。通過方程（40）計算得到的結(jié)果后，在位移x和時間t影響下即可得到橋面的概率密度函數(shù)。</p><p><b>　　5. 數(shù)值模擬</b></p>

29、<p>　　車橋系統(tǒng)的模型見下圖。</p><p>　　下列是模擬橋梁性能的模型：橋面的長度L=40m；橫截面面積A=4.8平方米；斷面的慣性矩I=2.5498；阻尼比=0.02；彈性模量E=和質(zhì)量密度=；他們有空間相關(guān)性以圖表的形式顯示。</p><p>　　其中是系統(tǒng)參數(shù)E，，a的標(biāo)準(zhǔn)偏差；兩個隨機(jī)彈性模量E和質(zhì)量密度的假設(shè)</p><p>　　同

30、樣的空間相關(guān)系數(shù)；這一選擇是武斷的，同樣分析適用的情況，在隨機(jī)性在彈性模量E和質(zhì)量密度是完全不同的。</p><p>　　提出了隨時間變化的荷載假設(shè)為高斯隨機(jī)過程的平均值。</p><p>　　和在所有時間相同的變異系數(shù)的實(shí)例相比。這兩個負(fù)荷是在一個特定的速度移動四米。這座橋模型分為八個相等單元，每個單元5米。所有單元的采樣頻率為200HZ。系統(tǒng)本身移動荷載的作用速度是40m/秒。在移動荷

31、載作用下的梁模型統(tǒng)計數(shù)據(jù)與Monte Carlo相比較。這之間的誤差定義為：</p><p>　　5.1. Monte Carlo模擬驗(yàn)證</p><p>　　在一萬個激勵力的實(shí)例采用Monte Carlo模擬進(jìn)行響應(yīng)統(tǒng)計計算。目前所提出的方法，根據(jù)方程（17）激勵力的協(xié)變性能3.2章節(jié)中取得實(shí)例。K-L單元力可以從下述的特征值分析。相對lParge特征值根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)保留</p>

32、<p>　　該系統(tǒng)的協(xié)方差定義根據(jù)方程（41），得到與變異系數(shù)的關(guān)系如下圖。</p><p>　　采用特征值分析協(xié)方差系統(tǒng)參數(shù)，在橋梁的模型中代表每一個隨機(jī)波動的領(lǐng)域都采用了K-L單元。通過方程（37），使用Newmark-β方法，可以得到。通過方程（40），橋梁的模型響應(yīng)和統(tǒng)計位移可以計算出來。</p><p>　　研究確定性的激勵力（）和隨機(jī)性的力（）作用在梁上的結(jié)果。研究

33、指出前者的向量力為非零。下圖為梁位移的均值和方差的計算與MCS的比較。</p><p>　　結(jié)果表明兩種方法的結(jié)果基本一致。然而通過用一臺奔騰cpu，主頻3.0，內(nèi)存為2G電腦得出文中提出的方法比理論計算方法更快。</p><p>　　5.2. 車輛速度的影響</p><p>　　本小節(jié)研究的是對不同層次的系統(tǒng)所提出的方法的確定性。通過Monte-Carlo模擬和1

34、0萬個例子來證明它的正確性。又研究了確定的激勵力和隨機(jī)的激勵力。變異系數(shù)為1%,2%，5%，10%的彈性模量E和密度在跨中統(tǒng)計和計算位移方法被采用。不同車速 與跨中位移的對應(yīng)關(guān)系：</p><p>　　跨中位移與百分比的關(guān)系：</p><p>　　跨中位移與力的關(guān)系：</p><p>　　這些結(jié)果與MCS所得到的結(jié)果一致。隨著系統(tǒng)參數(shù)隨機(jī)性計算均值和相對差有點(diǎn)差別。

35、當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化很小時，相對差看成方差計算是很準(zhǔn)確的。當(dāng)隨機(jī)性的系統(tǒng)參數(shù)變大時，高斯假設(shè)是不正確的。在這種情況下,非高斯假設(shè)和多項式的結(jié)果應(yīng)使用代表混亂的結(jié)果。</p><p>　　5.4 激勵效應(yīng)隨機(jī)性的影響</p><p>　　當(dāng)時，系統(tǒng)參數(shù)的變異系數(shù)是不變的。在本小節(jié)中，在激勵效應(yīng)的作用下，不同方法的精確性。在車橋系統(tǒng)互動問題上隨機(jī)性的激發(fā)力往往會很大，這是因?yàn)槁繁砻娲植趷毫拥穆窙r，所

36、以該力系數(shù)的變化設(shè)置為5%，10%，20%，50%，80%。在表三中根據(jù)方程（44），使跨中位移的MonteCarlo模擬方法與建議的隨機(jī)力的方法相比較，對這兩種方法的均值和方差進(jìn)行計算，結(jié)果表明大的不確定激勵力在 K-L擴(kuò)張中是準(zhǔn)確的。</p><p>　　在平均增加值中的一個小幅的激發(fā)力，其相對差異的隨機(jī)性增加，而相對誤差的方差略有下降。后著表明誤差的算法主要受系統(tǒng)參數(shù)COV的影響。當(dāng)激勵力的隨機(jī)性很大時，從

37、COV的系統(tǒng)模型效果將變得不那么重要，并從該方法的結(jié)果將更加準(zhǔn)確。</p><p><b>　　5.5 討論</b></p><p>　　該方法的好處是通過該方法使橋梁反應(yīng)方便快捷地生成其他任何應(yīng)用技術(shù)，例如識別反應(yīng)力與結(jié)構(gòu)安全評估的可靠性分析。概率密度函數(shù)的反應(yīng)也可以當(dāng)隨機(jī)成分的響應(yīng)進(jìn)行計算。</p><p>　　該方法已被證明比Monte

38、Carlo模擬法更為有效。K-L單元的數(shù)量展現(xiàn)了隨機(jī)過程是一個非常有效率的計算方法，它是內(nèi)核選擇的協(xié)方差。有最小期限的內(nèi)核協(xié)方差經(jīng)常被高自由度的系統(tǒng)選擇。當(dāng)單元數(shù)量或者實(shí)例的數(shù)量導(dǎo)致長時間的特征分析時，在方程（17）中協(xié)方差矩陣往往會變得非常大。因此數(shù)據(jù)的高采集率不能作為上述論點(diǎn)的結(jié)果?？梢酝ㄟ^Fredholm方程來解決特征值計算效率的問題。本文多提出的方法只做一種參考。</p><p><b>　　6

39、 結(jié)論</b></p><p>　　一種新的方法關(guān)于解決車橋系統(tǒng)動態(tài)分析問題的不確定性和激勵被提出。當(dāng)一個移動的荷載作用在橋面板被假定為高斯隨機(jī)過程時，KarhunenLoéve擴(kuò)展已經(jīng)被用來代表在隨機(jī)建模中的高斯隨機(jī)過程。在假設(shè)系統(tǒng)隨機(jī)性參數(shù)小的情況下，高斯模擬的結(jié)果可以被使用。通過Newmark-β方法解決了橋梁車輛系統(tǒng)所建立的數(shù)學(xué)模型。該結(jié)果檢驗(yàn)Monte Carlo Simulati

40、on是令人非常滿意的。結(jié)果表明該計算方法有非常高的效率，對實(shí)際移動荷載的速度不敏感但對大激發(fā)力很敏感。雖然本文的方法是對簡支梁做的實(shí)驗(yàn)，但這種方法可以處理更為復(fù)雜的有多個自由度的橋梁車輛系統(tǒng)。對于那些系統(tǒng)參數(shù)不確定性大的以及高階多項式混亂的車橋系統(tǒng)也可采用，但已超出本文的范圍。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] Fryba L.

41、 Vibration of solids and structures under moving loads. 3rd editionLondon: Thomas Telford; 1999.</p><p>　　[2] Green MF, Cebon D. Dynamic response of highway bridges to heavy vehicle loads: theory and experim

42、ental validation. J Sound Vib 1994;170(1):51_78.</p><p>　　[3] Yang YB, Lin CW. Vehicle_bridge interaction dynamic and potential applications. J Sound Vib 2005;284(1_2):205_26.</p><p>　　[4] Zheng

43、 DY, Cheung YK, Au FTK, Cheng YS. Vibration of multi-span non-uniform</p><p>　　beams under moving loads by using modified beam vibration functions. J Sound Vib 1998;212(3):455_67.</p><p>　　[5] Z

44、hu XQ, Law SS. Dynamic behavior of orthotropic rectangular plates under moving loads. J Eng Mech, ASCE 2003;129(1):79_87.</p><p>　　[6] Marchesiello S, Fasana A, Garibaldi L, Piombo BAD. Dynamic of multi-span

45、 continuous straight bridges subject to multi-degrees of freedom moving vehicle excitation. J Sound Vib 1999;224(3):541_61.</p><p>　　[7] Henchi K, Fafard M, Talbot M, Dhatt G. An efficient algorithm for dyna

46、mic analysis of bridges under moving vehicles using a coupled modal and physical components approach. J Sound Vib 1998;212(4):663_83.</p><p>　　[8] Lee SY, Yhim SS. Dynamic behavior of long-span box girder br

47、idges subjected to moving loads: numerical analysis and experimental verification. Int J Solids Struct 2005;42(18_19):5021_35.</p><p>　　[9] Kim CW, Kawatani M, Kim KB. Three-dimensional dynamic analysis for&

48、lt;/p><p>　　bridge_vehicle interaction with roadway roughness. Comput Struct 2005; 83(19-20):1627_45.</p><p>　　[10] Koh CG, Ong JSY, Chua DKH, Feng J. Moving element method for train-track dynamic.

49、 Int J Numer Meth Eng 2003;56(11):1549_67.</p><p>　　[11] Wu JJ. Vibration analysis of a portal under the action of a moving distributed mass using moving mass element. Int J Numer Meth Eng 2005;62(14):</p

50、><p>　　[12] Wu JJ. Use of moving distributed mass element for the dynamic analysis of a flat plate undergoing a moving distributed load. Int J Numer Meth Eng 2007; 71(3):347_62.</p><p>　　[13] ISO 8

51、606: 1995 (E). Mechanical vibration-road surface profiles_reporting of measured data. 1995.</p><p>　　[14] Da Silva JGS. Dynamic performance of highway bridge decks with irregular pavement surface. Comput Str

52、uct 2004;82:871_81.</p><p>　　[15] Lin JH. Response of a bridge to moving vehicle load. Can J Civil Eng 2006;33(1): 49_57.</p><p>　　[16] Schenk CA, Bergman LA. Response of continuous system with

53、stochastically</p><p>　　varying surface roughness to moving load. J Eng Mech, ASCE 2003;129(7): 759_68.</p><p>　　[17] Seetapan P, Chucheepsakul S. Dynamic response of a two-span beam subjected t

54、o high speed 2DOF spring vehicles. Int J Struct Stab Dyn 2006;6(3):413_30.</p><p>　　[18] Muscolino G, Benfratello S, Sidoti A. Dynamics analysis of distributed parameter system subjected to a moving oscillat

55、or with random mass, velocity and acceleration. Probab Eng Mech 2002;17:63_72.</p><p>　　[19] Chang TP, Lin GL, Chang E. Vibration analysis of a beam with an internal hinge subjected to a random moving oscill

56、ator. Int J Solids Struct 2006;43:6398_412.</p><p>　　[20] Chang TP, Liu MF, O HW. Vibration analysis of a uniform beam traversed by a moving vehicle with random mass and random velocity. Struct Eng Mech 2009

57、;31(6):737_49.</p><p>　　[21] Fryba L, Nakagiri S, Yoshikawa N. Stochastic finite elements for beam on a</p><p>　　random foundation with uncertain damping under a moving force. J Sound Vib 2003;1

58、63(1):31_45.</p><p>　　[22] Elishakoff I, Ren YJ. Finite element methods for structures with large stochastic variations. Oxford University Press; 2003.</p><p>　　[23] Schuëller GI. Developme

59、nts in stochastic structural mechanics. Arch Appl Mech 2006;75(10_12):755_73.</p><p>　　[24] Ghanem R, Spanos PD. Stochastic finite elements: a spectral approach. New York Inc: Springer-Verlag; 1991.</p>

60、;<p>　　[25] Stefanou G. The stochastic finite element method: past, present and future. Comput Method Appl M 2009;198:1031_51.</p><p>　　[26] Schenk CA, Schuëller GI. Uncertainty assessment of lar