畢業(yè)論文---從幾何的角度研究曲線積分

1、<p><b>　　xxxxxxx</b></p><p>　　畢 業(yè) 設(shè) 計(jì) (論 文)</p><p>　　xxx 系（院） xxxx 專(zhuān)業(yè)</p><p>　　畢業(yè)論文題目 從幾何的角度研究曲線積分 </p><p>　　學(xué)生姓名 xx </

2、p><p>　　班 級(jí) xx xxxxx </p><p>　　學(xué) 號(hào) xxxx </p><p>　　指導(dǎo)教師 xxxx </p><p>　　完成日期 xxxx 年 xx月 xx 日</p><p&

3、gt;　　從幾何的角度研究曲線積分</p><p>　　From the perspective of geometric curve integral顯示對(duì)應(yīng)的拉丁字符的拼音</p><p><b>　　字典</b></p><p>　　總計(jì) 畢業(yè)論文 24 頁(yè)</p><p>　　表 格

4、 0 個(gè)</p><p>　　插 圖 3 幅</p><p>　　顯示對(duì)應(yīng)的拉丁字符的拼音</p><p><b>　　字典</b></p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　曲線積分有兩類(lèi)：一類(lèi)是對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分；另一類(lèi)是

5、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分。這兩類(lèi)曲線積分的定義是完全不同的，但由于它們都是沿曲線的積分，兩者之間又有密切的聯(lián)系。“微元法”是把研究對(duì)象分為無(wú)限多個(gè)無(wú)限小的部分，取出有代表性的極小的一部分進(jìn)行分析處理，再?gòu)木植康饺w綜合起來(lái)加以考慮的科學(xué)思維方法，在這個(gè)方法里充分的體現(xiàn)了積分的思想。</p><p>　　本文首先分別從微積分的歷史、定義、意義和基本思想方法介紹了微積分，通過(guò)對(duì)它的了解之后，再簡(jiǎn)單的介紹了曲線積分的定義和物理

6、意義；其次利用微元法的方法分析了兩類(lèi)曲線積分在平面內(nèi)的幾何意義；最后介紹了平面內(nèi)兩類(lèi)曲線積分在幾何上的關(guān)系及兩類(lèi)曲線積分之間的轉(zhuǎn)換公式。</p><p>　　關(guān)鍵詞 第一類(lèi)曲線積分 第二類(lèi)曲線積分 微積分 微元法</p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　　There are two types of c

7、urvilinear integral: one kind is to arc long curve integrals; Another kind is sitting mark curve integrals. These two types of curvilinear integral definition is completely different, because they are the points along th

8、e curve, they both are closely linked. "Micro element method" is more than the research objects into infinite infinitesimal quantities, take out a representative part part of the tiny analyzed with, again from

9、local to all combine to be considered in scien</p><p>　　This paper firstly separately from the history, definition, calculus, the basic thinking method meaning and calculus, introduced by knowledge of it, th

10、en simply introduces the curvilinear integral definition and physical meaning; Second micro element method analysis of two kinds of curve integral in the in-plane geometric meaning; At last, the paper introduces the in-p

11、lane two kinds of curvilinear integral in geometry relationship and two kinds of curve transformation formula. </p><p>　　Key words the first kind of curvilinear integral second kind of curvilinear integra

12、l calculus micro element method </p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　ABSTRACTII</p><p><b>　　第一章 緒論1</b></p&

13、gt;<p>　　1.1 研究的目的與意義1</p><p>　　1.2 研究?jī)?nèi)容與方法1</p><p>　　1.2.1 研究的內(nèi)容1</p><p>　　1.2.1 研究的方法—微元法2</p><p>　　第二章 微積分4</p><p>　　2.1 “微積分”的來(lái)龍去脈4&

14、lt;/p><p>　　2.1.1 微積分誕生的前提條件4</p><p>　　2.1.2 微積分的起源4</p><p>　　2.1.3 微積分的發(fā)展與嚴(yán)格化5</p><p>　　2.2 微積分的定義5</p><p>　　2.3 微積分的意義6</p><p>　　2.4

15、 微積分的基本思想方法7</p><p>　　2.4.1 微積分的理論基礎(chǔ)--極限法7</p><p>　　2.4.2 微積分的研究對(duì)象--非均勻問(wèn)題7</p><p>　　2.4.3 微積分的基本思想--局部求近似、極限求精確8</p><p>　　2.4.4 微積分的聯(lián)系--牛頓---萊布尼茲公式9</p>

16、<p>　　第三章 平面內(nèi)第一類(lèi)曲線積分的幾何意義11</p><p>　　3.1 平面內(nèi)第一類(lèi)曲線積分的定義11</p><p>　　3.2 平面內(nèi)第一類(lèi)曲線積分的物理意義11</p><p>　　3.3 平面內(nèi)第一類(lèi)曲線積分的幾何意義12</p><p>　　3.4 平面內(nèi)第一類(lèi)曲線積分的計(jì)算方法13<

17、;/p><p>　　第四章 平面內(nèi)第二類(lèi)曲線積分的幾何意義15</p><p>　　4.1 平面內(nèi)第二類(lèi)曲線積分的定義15</p><p>　　4.2 平面內(nèi)第二類(lèi)曲線積分的物理意義15</p><p>　　4.3 平面內(nèi)第二類(lèi)曲線積分的幾何意義15</p><p>　　4.4 平面內(nèi)第二類(lèi)曲線積分的計(jì)算

18、方法17</p><p>　　第五章 兩類(lèi)曲線積分在幾何上的聯(lián)系19</p><p>　　5.1 平面內(nèi)兩類(lèi)曲線積分的幾何關(guān)系19</p><p>　　5.2 兩類(lèi)平面曲線積分關(guān)系的證明20</p><p><b>　　結(jié)束語(yǔ)22</b></p><p><b>　　參考

19、文獻(xiàn)23</b></p><p><b>　　致謝24</b></p><p><b>　　第一章 緒論</b></p><p>　　1.1 研究的目的與意義</p><p>　　幾乎所有的教材是從物理的角度引入兩類(lèi)曲線積分的，那么曲線積分幾何意義是什么？研究這個(gè)問(wèn)題主要用到了數(shù)

20、學(xué)分析中微積分的有關(guān)內(nèi)容。所以首先應(yīng)該了解微積分的定義以及它產(chǎn)生的意義和作用，微積分是人類(lèi)頭腦最偉大的創(chuàng)造之一，一部微積分發(fā)展史，是人類(lèi)一步一步頑強(qiáng)地認(rèn)識(shí)客觀事物的歷史，是人類(lèi)理性思維的結(jié)晶。它給出一整套的科學(xué)方法，開(kāi)創(chuàng)了科學(xué)的新紀(jì)元，并因此加強(qiáng)與加深了數(shù)學(xué)的作用。有了微積分，人類(lèi)才有能力把握運(yùn)動(dòng)和過(guò)程。有了微積分，就有了工業(yè)革命，有了大工業(yè)生產(chǎn)，也就有了現(xiàn)代化的社會(huì)。航天飛機(jī)。宇宙飛船等現(xiàn)代化交通工具都是微積分的直接后果。在微積分的幫

21、助下，萬(wàn)有引力定律發(fā)現(xiàn)了，牛頓用同一個(gè)公式來(lái)描述太陽(yáng)對(duì)行星的作用，以及地球?qū)λ浇矬w的作用。從最小的塵埃到最遙遠(yuǎn)的天體的運(yùn)動(dòng)行為。宇宙中沒(méi)有哪一個(gè)角落不在這些定律所包含的范圍內(nèi)。這是人類(lèi)認(rèn)識(shí)史上的一次空前的飛躍，不僅具有偉大的科學(xué)意義，而且具有深遠(yuǎn)的社會(huì)影響。它強(qiáng)有力地證明了宇宙的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)，摧毀了籠罩在天體上的神秘主義、迷信和神學(xué)。一場(chǎng)空前巨大的、席卷近代世界的科學(xué)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始了。毫無(wú)疑問(wèn)，微積分的發(fā)現(xiàn)是世界近代科學(xué)的開(kāi)端。然而曲線積分在

22、物理學(xué)中的許多簡(jiǎn)單的</p><p>　　1.2 研究?jī)?nèi)容與方法</p><p>　　1.2.1 研究的內(nèi)容</p><p>　　為了了解平面內(nèi)第一類(lèi)曲線積分的幾何意義和平面內(nèi)第二類(lèi)曲線積分的幾何意義以及兩類(lèi)曲線積分在幾何上的聯(lián)系，首先我們要清楚什么是曲線積分？下面我們首先看一個(gè)例子：</p><p>　　設(shè)有一曲線形構(gòu)件占面上的一段曲線

23、,設(shè)構(gòu)件的密度分布函數(shù)為，設(shè)定義在上且在上連續(xù)，求構(gòu)件的質(zhì)量。對(duì)于密度均勻的物件可以直接用求得質(zhì)量；對(duì)于密度不均勻的物件，就需要用到曲線積分,；所以;是積分路徑，就叫做對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分。對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分由于其物理意義，通常說(shuō)來(lái)都是正的，對(duì)坐標(biāo)軸的曲線積分可以根據(jù)路徑的不同而取得不同的符號(hào)。</p><p>　　曲線積分一共分為兩類(lèi)，一類(lèi)是對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，另一類(lèi)是對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分也稱(chēng)為第一類(lèi)曲線

24、積分，而對(duì)坐標(biāo)的曲線積分稱(chēng)為第二類(lèi)曲線積分。</p><p>　　從概念上講，第一類(lèi)曲線積分是對(duì)長(zhǎng)度的積分，是對(duì)面積的積分，而第二類(lèi)曲線積分是對(duì)坐標(biāo)的積分，講究在曲線上沿某方向的變化了，強(qiáng)調(diào)面積朝向某側(cè)的情況。 從計(jì)算上講，第一類(lèi)計(jì)算要求出長(zhǎng)度或面積微元的表示式。第二類(lèi)不用考慮微元的表示式，直接就是對(duì)坐標(biāo)積分，形式上簡(jiǎn)單，不過(guò)，在具體到某個(gè)線或者面的時(shí)候，要考慮是否要根據(jù)方向的變化分成不同的小段，在每個(gè)方

25、向一致的小段上，還要考慮正負(fù)號(hào)，是否為零等等，實(shí)際上相對(duì)麻煩許多。</p><p>　　在了解了什么是曲線積分后，再分別分析平面內(nèi)第一類(lèi)曲線積分的幾何意義和平面內(nèi)第二類(lèi)曲線積分的幾何意義以及兩類(lèi)曲線積分在幾何上的聯(lián)系就簡(jiǎn)單了許多。</p><p>　　1.2.1 研究的方法—微元法</p><p>　　在高中物理中，由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的局限，對(duì)于高等數(shù)學(xué)中可以使用積分

26、來(lái)進(jìn)行計(jì)算的一些問(wèn)題，在高中很難的加以解決。例如對(duì)于求變力所做的功或者對(duì)于物體做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)某恒力所做的功的計(jì)算；又如求做曲線運(yùn)動(dòng)的某質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程，這些問(wèn)題對(duì)于中學(xué)生來(lái)講，成為一大難題。但是如果應(yīng)用積分的思想，化整為零，化曲為直，采用“微元法”，可以很好的解決這類(lèi)問(wèn)題?！拔⒃ā蓖ㄋ椎卣f(shuō)就是把研究對(duì)象分為無(wú)限多個(gè)無(wú)限小的部分，取出有代表性的極小的一部分進(jìn)行分析處理，再?gòu)木植康饺w綜合起來(lái)加以考慮的科學(xué)思維方法，在這個(gè)方法里充分的體現(xiàn)了積

27、分的思想。高中物理中的瞬時(shí)速度、瞬時(shí)加速度、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等等，都是用這種方法定義的。 </p><p>　　1.“微元法”的取元原則 </p><p>　?。?）可加性原則：由于所取的“微元” 最終必須參加疊加演算，所以，對(duì)“微元” 及相應(yīng)的量的最基本要求是：應(yīng)該具備“可加性”特征； </p><p>　　（2）有序性原則：為了保證所取的“微元” 在疊加域內(nèi)能夠較為方

28、便地獲得“不遺漏”、“不重復(fù)”的完整疊加，在選取“微元”時(shí)，就應(yīng)該注意：按照關(guān)于量的某種“序”來(lái)選取相應(yīng)的“微元” ； </p><p>　　（3）平權(quán)性原則：疊加演算實(shí)際上是一種的復(fù)雜的“加權(quán)疊加”。對(duì)于一般的“權(quán)函數(shù)” 來(lái)說(shuō)，這種疊加演算（實(shí)際上就是要求定積分）極為復(fù)雜，但如果“權(quán)函數(shù)” 具備了“平權(quán)性”特征（在定義域內(nèi)的值處處相等）就會(huì)蛻化為極為簡(jiǎn)單的形式 </p><p>　　2.

29、“微元法”的換元技巧 </p><p>　?。?）“時(shí)間元”與“空間元”間的相互代換（表現(xiàn)時(shí)、空關(guān)系的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題中最為常見(jiàn)）； </p><p>　?。?）“體元”、“面元”與“線元”間的相互代換（實(shí)質(zhì)上是降“維”）； </p><p>　　（3）“線元”與“角元”間的相互代換（“元”的表現(xiàn)形式的轉(zhuǎn)換）； </p><p>　?。?）“孤立元

30、”與“組合元”間的相互代換（充分利用“對(duì)稱(chēng)”特征）。 </p><p>　　3.“微元法”解題的一般步驟</p><p>　?。?）選取微元用以量化元事物或元過(guò)程； </p><p>　?。?）視元事物或元過(guò)程為恒定，運(yùn)用相應(yīng)的規(guī)律給出待求量對(duì)應(yīng)的微元表達(dá)式；</p><p>　　（3）在微元表達(dá)式的定義域內(nèi)施以疊加演算，進(jìn)而求得待求量。 &

31、lt;/p><p><b>　　第二章 微積分</b></p><p>　　微積分是我們進(jìn)入大學(xué)后首先接觸到的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，它與初等數(shù)學(xué)在內(nèi)容和體系上都截然不同，加之其高度的抽象性和嚴(yán)密的符號(hào)體系都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了我們已有的經(jīng)驗(yàn)，因此我們?cè)谠械恼J(rèn)知基礎(chǔ)上很難建構(gòu)對(duì)微積分的認(rèn)知。微積分也是任何一個(gè)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人必須闖過(guò)的第一個(gè)真正的大沙場(chǎng)，微積分這部無(wú)限的交響樂(lè)是由全世界眾多的數(shù)

32、學(xué)工作者用自己的血、淚、才智等譜寫(xiě)而成的。熟悉這一學(xué)科的歷史發(fā)展，了解人類(lèi)的這一巨大精神財(cái)富的積累過(guò)程和歷代數(shù)學(xué)家艱苦卓絕的奮斗精神。對(duì)于陶冶一個(gè)人的數(shù)學(xué)思想情操，增長(zhǎng)與提高自己的數(shù)學(xué)意識(shí)與思維能力，形成自己的數(shù)學(xué)觀，對(duì)于自身的學(xué)習(xí)與工作都將具有重要的意義。所以我們首先應(yīng)該了解微積分的定義以及它產(chǎn)生的意義和作用，當(dāng)然我們還需要了解微積分的基本思想方法。</p><p>　　2.1 “微積分”的來(lái)龍去脈</

33、p><p>　　2.1.1 微積分誕生的前提條件</p><p>　　17世紀(jì)上半葉，卡兒建立直角坐標(biāo)系，用代數(shù)方法研究幾何對(duì)象。將幾何與代數(shù)結(jié)合起來(lái)，衍生出新的學(xué)科“解析幾何”。解析幾何的誕生，使得在平面上的點(diǎn)與數(shù)對(duì)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，變量引入數(shù)學(xué)，使運(yùn)動(dòng)與變化的定量描述成為可能，從而為微積分的誕生創(chuàng)造了條件。</p><p>　　2.1.2 微積分的起源&l

34、t;/p><p>　　在古代希臘、中國(guó)、印度等地，由于實(shí)際生活的需要人們十分關(guān)心不規(guī)則圖形求面積的問(wèn)題。到了17世紀(jì)上半葉，由于天文學(xué)和力學(xué)領(lǐng)域的需要，更多的天文學(xué)家、物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家關(guān)注任意曲線求切線及不規(guī)則圖形求面積等問(wèn)題。</p><p>　　微積分的創(chuàng)始人之一牛頓（Isaac Newton，1642-1727）對(duì)微積分問(wèn)題的研究始于笛卡兒的圓法。而微積分的另一位創(chuàng)始人萊布尼茨（Leib

35、niz,1646-1716）熱衷于研究巴羅的微分三角形。正是求不規(guī)則圖形的面積等問(wèn)題刺激了積分學(xué)發(fā)生，求任意曲線的切線等問(wèn)題成為微分學(xué)誕生的導(dǎo)火索。牛頓和萊布尼茨在前人的基礎(chǔ)上，自獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了求曲線切線與求不規(guī)則圖形面積是一對(duì)互逆關(guān)系，并且把這種互逆關(guān)系明確地作為一般規(guī)則，微分與積分的關(guān)系揭示出來(lái)。</p><p>　　2.1.3 微積分的發(fā)展與嚴(yán)格化</p><p>　　17世紀(jì)，牛頓和

36、萊布尼茨建立了微積分學(xué)的主要框架，一元函數(shù)微分學(xué)和一元函數(shù)積分學(xué)理論。以往數(shù)學(xué)家們以“曲線”作為微積分的主要研究對(duì)象，18世紀(jì)微積分的發(fā)展發(fā)生了歷史性的轉(zhuǎn)折，函數(shù)成為微積分的主要研究對(duì)象。這些函數(shù)多是連續(xù)的，不連續(xù)則間斷點(diǎn)至多為有限個(gè)。在微積分不斷向前發(fā)展的同時(shí)，邏輯基礎(chǔ)的不嚴(yán)密也時(shí)刻困擾著數(shù)學(xué)家們，18世紀(jì)人們不間斷地努力探索著微積分嚴(yán)格化的途徑，到19世紀(jì)才徹底解決了這一難題。對(duì)此做出不可磨滅貢獻(xiàn)的是法國(guó)人柯西（Cauchu，178

37、9-1851）和德國(guó)人魏爾斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）?？挛鲗?duì)微積分的一些基本概念給出了明確的定義，這是邁向分析嚴(yán)格化的關(guān)鍵一步。本質(zhì)上分析嚴(yán)格化這一貢獻(xiàn)應(yīng)歸功于維爾斯特拉斯，他創(chuàng)造了一套語(yǔ)言，從而給出了極限系統(tǒng)化的定義，而可以定義函數(shù)的連續(xù)性以及微分、積分等，使微積分的定義有了今天嚴(yán)密的形式。</p><p>　　2.2 微積分的定義</p><p>　　微積

38、分（Calculus）是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。微積分學(xué)基本定理指出，微分和積分互為逆運(yùn)算，這也是兩種理論被統(tǒng)一成微積分學(xué)的原因。我們可以以兩者中任意一

39、者為起點(diǎn)來(lái)討論微積分學(xué)，但是在教材中，微分學(xué)一般會(huì)先被引入。微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱(chēng)。它是一種數(shù)學(xué)思想，‘無(wú)限細(xì)分’就是微分，‘無(wú)限求和’就是積分。十七世紀(jì)后半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多數(shù)學(xué)家都參加過(guò)準(zhǔn)備的工作，分別獨(dú)立地建立了微積分學(xué)。他們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量，但是理論基礎(chǔ)是不牢固的。因?yàn)椤盁o(wú)限”的概念是無(wú)法用已經(jīng)擁有的代數(shù)公式進(jìn)行演算，所以，直到十九世紀(jì)，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴(yán)格的實(shí)

40、數(shù)理論，這門(mén)學(xué)科才得以嚴(yán)密化</p><p>　　2.3 微積分的意義</p><p>　　微積分的誕生具有劃時(shí)代的意義，是數(shù)學(xué)史上的分水嶺和轉(zhuǎn)折點(diǎn)。微積分是人類(lèi)智慧的偉大結(jié)晶，恩格斯說(shuō)：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類(lèi)精神的最高勝利了?！碑?dāng)代數(shù)學(xué)分析權(quán)威柯朗指出：“微積分乃是一種震撼心靈的智力奮斗的結(jié)晶?！蔽⒎e分的重大意義可從下面幾個(gè)方面去看。

41、</p><p>　　（1）對(duì)數(shù)學(xué)自身的作用</p><p>　　由古希臘繼承下來(lái)的數(shù)學(xué)是常量的數(shù)學(xué)，是靜態(tài)的數(shù)學(xué)。自從有了解析幾何和微積分，就開(kāi)辟了變量數(shù)學(xué)的時(shí)代，是動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)開(kāi)始描述變化、描述運(yùn)動(dòng)，改變了整個(gè)數(shù)學(xué)世界的面貌。數(shù)學(xué)也由幾何的時(shí)代而進(jìn)入分析的時(shí)代。微積分給數(shù)學(xué)注入了旺盛的生命力，使數(shù)學(xué)獲得了極大的發(fā)展，取得了空前的繁榮。如微分方程、無(wú)窮級(jí)數(shù)、變分法等數(shù)學(xué)分支的建立，以

42、及復(fù)變函數(shù)，微分幾何的產(chǎn)生。嚴(yán)密的微積分的邏輯基礎(chǔ)理論進(jìn)一步顯示了它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的普遍意義。</p><p>　?。?）對(duì)其他學(xué)科和工程技術(shù)的作用</p><p>　　微積分雖然極具抽象性，然而卻有著廣泛的應(yīng)用。由于微積分來(lái)源于社會(huì)生活和生產(chǎn)實(shí)際，是從人們生活、生產(chǎn)過(guò)程的經(jīng)驗(yàn)中抽象概括出來(lái)的一門(mén)學(xué)科。有了微積分，人類(lèi)把握了運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，微積分成了物理學(xué)的基本語(yǔ)言，尋求問(wèn)題解答的有力工具。有了微

43、積分就有了工業(yè)大革命，有了大工業(yè)生產(chǎn)，也就有了現(xiàn)代化的社會(huì)。航天飛機(jī)、宇宙飛船等現(xiàn)代化的交通工具都是微積分的直接結(jié)果。</p><p>　　在微積分的幫助下，牛頓發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律，發(fā)現(xiàn)了宇宙中沒(méi)有哪一個(gè)角落不在這些定律所包含的范圍內(nèi)，強(qiáng)有力地證明了宇宙的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)。現(xiàn)在化學(xué)、生物學(xué)、地理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科都必須同微積分打交道。</p><p>　?。?）對(duì)人類(lèi)物質(zhì)文明的影響</p>

44、;<p>　　現(xiàn)代的工程技術(shù)直接影響到人們的物質(zhì)生產(chǎn)，而工程技術(shù)的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)，都離不開(kāi)微積分。如今微積分不但成了自然科學(xué)和工程技術(shù)的基礎(chǔ)，而且還滲透到人們廣泛的經(jīng)濟(jì)、金融活動(dòng)中，也就是說(shuō)微積分在人文社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域中也有著及其廣泛的應(yīng)用。</p><p>　?。?）對(duì)人類(lèi)文化的影響</p><p>　　如今無(wú)論是研究自然規(guī)律，還是社會(huì)規(guī)律都是離不開(kāi)微積分，因?yàn)槲⒎e分是研究運(yùn)動(dòng)規(guī)律

45、的科學(xué)?，F(xiàn)代微積分理論基礎(chǔ)的建立是認(rèn)識(shí)上的一個(gè)飛躍。極限概念揭示了變量與常量、無(wú)限與有限的辯證的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系。從極限的觀點(diǎn)來(lái)看，無(wú)窮小量不過(guò)是極限為零的變量。即在變化過(guò)程中，它的值可以是“非零”，但它的趨向是“零”，可以無(wú)限地接近于“零”。因此，現(xiàn)代微積分理論的建立，一方面，消除了微積分長(zhǎng)期以來(lái)帶有的“神秘性”，使得貝克萊主教等神學(xué)信仰者對(duì)微積分的攻擊徹底破產(chǎn)，而且在思想和方法深刻影響了近代數(shù)學(xué)的發(fā)展。這就是微積分對(duì)哲學(xué)的啟示，對(duì)人類(lèi)文

46、化的啟示和影響。</p><p>　　2.4 微積分的基本思想方法</p><p>　　唯物辯證法認(rèn)為,現(xiàn)實(shí)世界是運(yùn)動(dòng)、變化、發(fā)展的,靜止是相對(duì)的,運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的。微積分對(duì)描述和研究事物的運(yùn)動(dòng)變化提供了思想和方法。通常對(duì)事物的認(rèn)識(shí)需要從微觀(局部)和宏觀(整體)兩個(gè)側(cè)面去加以研究,抽象為數(shù)量關(guān)系 從微觀上研究其變化率(導(dǎo)數(shù)),從宏觀上研究其改變量(定積分)。例如,對(duì)于作直線運(yùn)動(dòng)的物體,需要

47、從微觀上研究某時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)速度,從宏觀上研究其在某時(shí)間段上的路程。</p><p>　　2.4.1 微積分的理論基礎(chǔ)--極限法</p><p>　　極限法是微積分的基本方法，微積分中的一系列重要概念，如函數(shù)連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分、級(jí)數(shù)收斂等等都是借助于極限法定義的。如果要問(wèn):微積分是一門(mén)什么學(xué)科?那么可以概括地說(shuō):微積分是用極限法來(lái)研究函數(shù)的一門(mén)學(xué)科。</p><p&g

48、t;　　極限法是指用極限概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)方法。極限法是一種思想和方法論,是過(guò)程與結(jié)果的統(tǒng)一。它的一般步驟可概括為:對(duì)于被考察的未知量,先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量,確認(rèn)這變量通過(guò)無(wú)限過(guò)程的結(jié)果就是所求的未知量;最后通過(guò)極限計(jì)算來(lái)得到這結(jié)果。極限法不同于一般的代數(shù)方法,代數(shù)中的加、減、乘、除等運(yùn)算都是由有限個(gè)數(shù)來(lái)確定出另一個(gè)數(shù),而在極限法中則是由無(wú)限個(gè)數(shù)來(lái)確定一個(gè)數(shù)。</p><p>　　極限法在自

49、然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用,這是由它本身所具有的思維功能所決定的。極限法揭示了變量與常量、無(wú)限與有限、量變與質(zhì)變的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系,是唯物辯證法的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用。借助極限法,人們可以從有限認(rèn)識(shí)無(wú)限,從不變認(rèn)識(shí)變,從直線形認(rèn)識(shí)曲線,從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變,從近似認(rèn)識(shí)精確等。有了極限法,使數(shù)學(xué)從常量數(shù)學(xué)過(guò)渡到變量數(shù)學(xué),讓我們更準(zhǔn) 確地認(rèn)識(shí)客觀世界。</p><p>　　2.4.2 微積分的研究對(duì)象--非

50、均勻問(wèn)題</p><p>　　無(wú)論是物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)還是質(zhì)量的分布,大都可以劃分為“均勻”與“非均勻”變化兩大類(lèi):所謂均勻,就是單位時(shí)間或單位長(zhǎng)度上所討論量的改變量處處相同,而非均勻則不盡相同,隨點(diǎn)而變化。因而從所論量的變化率的觀點(diǎn)來(lái)看,“均勻”與“非均勻”表現(xiàn)為變化率是“常量”還是“變量”。如以物體的運(yùn)動(dòng)變化為例,若物體作均勻變化運(yùn)動(dòng)(勻速),即變化率(速度)為一常量;若物體作非均勻運(yùn)動(dòng)(變速),則為一變量。從函數(shù)的

51、觀點(diǎn)來(lái)看,“均勻”變化可用線性函數(shù)描述,而“非均勻”變化是非線性函數(shù)。從所論量的圖形特征來(lái)看,“均勻”與“非均勻”變化分別表現(xiàn)為直線與曲線。 </p><p>　　對(duì)于“均勻”變化問(wèn)題,從微觀上研究其變化率,只需運(yùn)用除法。例如對(duì)上述勻速運(yùn)動(dòng)物體,速度為。從宏觀上研究改變量,只需使用乘法。如路程 (t為時(shí)間)。但是對(duì)于“非均勻”問(wèn)題,從微觀上研究變化率則需用導(dǎo)數(shù),從宏觀上研究改變量就需要積分。因此,我們說(shuō)微積分中的

52、導(dǎo)數(shù)和積分是處理“非均勻量”的除法和乘法,是研究和處理非均勻量問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想和方法。</p><p>　　2.4.3 微積分的基本思想--局部求近似、極限求精確</p><p>　　現(xiàn)在,我們以“非勻速”直線運(yùn)動(dòng)為例來(lái)總結(jié)一下處理“非均勻量”的思想方法。</p><p>　　研究其速度: 取坐標(biāo)軸如下圖2.1，設(shè)路程函數(shù)已知,求物體的運(yùn)動(dòng)速度(即 s變化率)的方法

53、分為兩步:</p><p>　　圖 2.1 速度路程圖</p><p>　　a.“局部求近似”:盡管物體在時(shí)段上作非勻速運(yùn)動(dòng),但在微小時(shí)段上可近似看成是勻速運(yùn)動(dòng)的。以“勻”代“不勻”,或者說(shuō)對(duì)變化率以“不變”代“變”, 使用處理均勻問(wèn)題的除法得近似值 </p><p>　　b.“極限求精確”:越小,近似程度越高,于是令利用極限法便將此近似值轉(zhuǎn)化為精確值,即

54、 </p><p>　　(2)研究其路程:設(shè)速度函數(shù) v(t)已知,求運(yùn)動(dòng)物體所經(jīng)過(guò)的路程也是上述兩大步驟:</p><p>　　A.“局部求近似”:非均勻量近似于均勻量只有在微小局部才能成立。因此要處理這一非勻速變化的整體量,首先必須劃分時(shí)間區(qū)間為若干小時(shí)間區(qū)間,再在各小時(shí)間區(qū) 間上以“勻”代“不勻”,因此,這一思想需分為兩步來(lái)實(shí)現(xiàn): </p><p

55、>　　A1.“分割”:將區(qū)間任意劃分成n份,考察微小區(qū)間上的小段; </p><p>　　A2.“求近似”:在上將運(yùn)動(dòng)近似看作勻速運(yùn)動(dòng),用處理相應(yīng)均勻量的乘法得: </p><p>　　B.“極限求精確”:由于所求的是整體量,因此先將局部的近似值累加起來(lái)再向精確值轉(zhuǎn)化(利用極限法實(shí)現(xiàn)“精確”的過(guò)程),所以實(shí)現(xiàn)精確的思想也分為兩步: </p><p&

56、gt;　　B1.“求和”: </p><p>　　B2.“求極限”:，其中</p><p>　　可見(jiàn),導(dǎo)數(shù)與定積分雖然是微觀和宏觀兩種不同范疇的問(wèn)題,但它們的研究對(duì)象都是“非均勻”變化量,解決問(wèn)題的基本思想方法也是一致的。可歸結(jié)為兩步:a.微小局部求近似值;b.利用極限求精確。微積分的這一基本思想方法貫穿于整個(gè)微積分學(xué)體系中,并且將指導(dǎo)我們應(yīng)用微積分知識(shí)去解決各種相關(guān)的問(wèn)題。&l

57、t;/p><p>　　2.4.4 微積分的聯(lián)系--牛頓---萊布尼茲公式</p><p>　　從上知,導(dǎo)數(shù)是已知路程求速度,定積分是已知速度求路程,說(shuō)明定積分與導(dǎo)數(shù)為“互逆運(yùn)算”問(wèn)題?，F(xiàn)以上述“求非勻速運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)段上的路程”為例,考察定積分與導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系</p><p>　　（1）.若已知路程函數(shù),則 </p><p

58、>　?。?）.若已知速度函數(shù),則由定積分有 </p><p>　　于是 </p><p>　　（3）.考察與的關(guān)系:</p><p>　　，即 是的一個(gè)原函數(shù),這說(shuō)明定積分可以通過(guò)求 的原函數(shù)來(lái)求。這樣,我們就把定積分與導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)了。一般地,有如下的計(jì)算公式(牛頓--萊布尼茲公式):</p>

59、<p>　　設(shè)函數(shù)在上連續(xù),且,則 </p><p>　　第三章 平面內(nèi)第一類(lèi)曲線積分的幾何意義</p><p>　　3.1 平面內(nèi)第一類(lèi)曲線積分的定義</p><p>　　設(shè)為平面上可求長(zhǎng)度的曲線段，為定義在上的函數(shù)。對(duì)曲線作分割T，它把分成n個(gè)可求長(zhǎng)度的小曲線段，的弧長(zhǎng)記為，分割T的細(xì)度為，在上任取一點(diǎn)。若有極限 ，且的值與分割T與點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)，

60、則稱(chēng)此極限為在上的第一型曲線積分，記作</p><p>　　于是前面講到的質(zhì)量分布在平面曲線段上的物體的質(zhì)量可由第一型曲線積分求得</p><p>　　3.2 平面內(nèi)第一類(lèi)曲線積分的物理意義</p><p>　　問(wèn)題的提出：設(shè)某物體的密度函數(shù)是定義在上的連續(xù)函數(shù)。當(dāng)是直線段時(shí)，應(yīng)用定積分就能計(jì)算得該物體的質(zhì)量。</p><p>　　問(wèn)題的求

61、解：現(xiàn)在研究當(dāng)是平面或空間中某一可求長(zhǎng)度的曲線段時(shí)物體的質(zhì)量的計(jì)算問(wèn)題。首先對(duì)作分割，把分成n個(gè)可求長(zhǎng)度的小曲線段,并在每一個(gè)上任取一點(diǎn)。由于為上的連續(xù)函數(shù)，故當(dāng)?shù)幕￠L(zhǎng)都很小時(shí)，每一小段的質(zhì)量可近似地等于，其中為小曲線段的長(zhǎng)度。于是在整個(gè)上的質(zhì)量就近似地等于和式</p><p>　　當(dāng)對(duì)的分割越來(lái)越密（即）時(shí)，上式和式的極限就應(yīng)是該物體的質(zhì)量。</p><p>　　由上面看到，求具有某種物

62、質(zhì)的曲線線段的質(zhì)量，與求直線段的質(zhì)量一樣，也是通過(guò)“分割、近似求和、取極限”來(lái)得到的。</p><p>　　平面內(nèi)第一類(lèi)曲線積分的幾何意義</p><p>　　從概念上講，第一類(lèi)曲線積分是對(duì)長(zhǎng)度的積分，是對(duì)面積的積分，而從計(jì)算上講，第一類(lèi)計(jì)算要求出長(zhǎng)度或面積微元的表示式。</p><p>　　先討論一個(gè)幾何問(wèn)題----求柱面的面積。要想求出柱面的面積我們可以采用類(lèi)似

63、于求曲邊梯形的面積的方法。先用一組平行于坐標(biāo)軸的直線T把曲面分成n個(gè)小區(qū)域,以表示小域的面積。這個(gè)直線網(wǎng)也相應(yīng)地把曲面分成n個(gè)以為寬的小柱面的面積。由于是連續(xù)的，故當(dāng)每個(gè)都很小時(shí)，在上各點(diǎn)的函數(shù)值相關(guān)無(wú)幾，因而可在上任取一點(diǎn),用以為高，為寬的小曲面的面積作為面積的近似值（如圖3.1），</p><p>　　圖3.1第一類(lèi)曲線積分幾何示意圖</p><p>　　即

64、 </p><p>　　把這些小曲面面積加起來(lái)，就得到曲面的近似值</p><p>　　當(dāng)直線網(wǎng)T的網(wǎng)眼越來(lái)越細(xì)密，即分割T的細(xì)度（為梯形面積的寬）趨于零時(shí)，就有</p><p>　　至此，求曲面的面積也與定積分概念一樣，是通過(guò)“分割、近似求和、取極限”這三個(gè)步驟得到的。下面就給出第一類(lèi)曲線積分的定義</p><p>

65、　　平面第一型曲線積分的幾何意義：設(shè)曲線的方程為，它在空間中的圖形是以為準(zhǔn)線，母線垂直于z軸的柱面。若設(shè)被積函數(shù)，變量x，y要滿足方程，記曲面與柱面的交線為，則在平面的投影為曲線。由表示柱面陰影部分面積的近似值，且</p><p>　　可見(jiàn)積分表示介于曲線與之間部分的面積</p><p>　　3.4 平面內(nèi)第一類(lèi)曲線積分的計(jì)算方法</p><p>　　空間曲線積分

66、的計(jì)算基于曲線的參數(shù)方程：，但當(dāng)空間曲線的參數(shù)方程未知時(shí)，除一些特殊的空間曲線積分利用stokes公式等進(jìn)行計(jì)算以外，一般的空間曲線積分必須求出曲線的參數(shù)方程，并確定參數(shù)的變化范圍方可利用計(jì)算公式計(jì)算之。設(shè)空間曲線的一般方程為：，在此將對(duì)該類(lèi)空間曲線積分，采用基于極坐標(biāo)系或球坐標(biāo)系下的參數(shù)方程，討論它的一般計(jì)算方法；對(duì)其中一些特殊的空間曲線積分以，利用stokes、Green、積分與路線無(wú)關(guān)的條件等，采用更為簡(jiǎn)單的計(jì)算方法。</p

67、><p>　?。?）基于極坐標(biāo)系下的計(jì)算方法</p><p>　　設(shè)空間曲線：(注：此空間曲線在和平面的投影是橢圓)，寫(xiě)出它的參數(shù)方程的一個(gè)方法如下：從方程組中消去一個(gè)變量（例如）得，此方程即為空間曲線在平面上的投影曲線C的方程，將它寫(xiě)成平方的形式：，然后根據(jù)廣義極坐標(biāo)系的意義，令代入C的上述方程中得C的廣義極坐標(biāo)方程為，于是C的參數(shù)方程為：，再代入或中解出z便得空間曲線的參數(shù)方程。</

68、p><p>　?。?）基于球坐標(biāo)系下的計(jì)算方法</p><p>　　當(dāng)空間曲線位于某球面或某圓錐面上時(shí)，可根據(jù)球坐標(biāo)系的意義，利用球坐標(biāo)系寫(xiě)出的參數(shù)方程并確定參數(shù)的變化范圍，然后利用空間曲線積分的積分的計(jì)算公式計(jì)算之。</p><p>　?。?）利用Stokes公式計(jì)算空間曲線積分</p><p>　　當(dāng)空間曲線：的方程中有一個(gè)為平面方程時(shí)，可以

69、利用Stokes公式計(jì)算空間曲線積分。</p><p>　?。?）利用平面曲線積分計(jì)算空間曲線積分</p><p>　　設(shè)為分段光滑的空間有向閉曲線，是以為邊界的分片光滑的有向曲面，的正向與的正側(cè)符合右手規(guī)則，函數(shù)在曲面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在平面上的投影為平面有向曲線C，則有</p><p>　　將空間曲線積分轉(zhuǎn)化為平面曲線積分后，還可利用著名的Green公式計(jì)算

70、之。</p><p>　　第四章 平面內(nèi)第二類(lèi)曲線積分的幾何意義</p><p>　　4.1 平面內(nèi)第二類(lèi)曲線積分的定義</p><p>　　第二類(lèi)曲線積分是多元函數(shù)積分學(xué)的重要組成，下面從它的定義出發(fā)探討幾何意義，并直觀地理解它的計(jì)算。</p><p>　　設(shè)為平面內(nèi)從點(diǎn)A到B的一條有向光滑曲線弧，函數(shù)在上有界。用上的點(diǎn)把分成n個(gè)有向小

71、弧段。設(shè)，點(diǎn)為上任意取定的點(diǎn)。如果當(dāng)各小孤段長(zhǎng)度的最大值時(shí)，的極限存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)在有向弧段上對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分，也稱(chēng)為第二類(lèi)曲線積分，記為</p><p>　　即 。</p><p>　　說(shuō)明：1.第二類(lèi)曲線積分對(duì)積分弧段具有可加性；</p><p>　　2.當(dāng)在有向光滑曲線弧上連續(xù)時(shí)，第二類(lèi)曲線積分存在。</p&g

72、t;<p>　　4.2 平面內(nèi)第二類(lèi)曲線積分的物理意義</p><p>　　在物理學(xué)中還碰到另一種類(lèi)型的曲線積分問(wèn)題。例如一質(zhì)點(diǎn)受力的作用沿平面曲線從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，求力所作的功。</p><p>　　4.3 平面內(nèi)第二類(lèi)曲線積分的幾何意義</p><p>　　設(shè)是平面內(nèi)從點(diǎn)到的一條有向光滑曲線，過(guò)上的任一點(diǎn)平行于坐標(biāo)軸的直線與的交點(diǎn)只有一個(gè)，的方程為

73、</p><p>　　當(dāng)時(shí)，如圖4.1所示，是以為準(zhǔn)線、平行于軸的直線為母線的柱面（方程為）的一部分，其頂端的邊界是由定義在上的函數(shù)確定的，底部的邊界是平面上的曲線弧，另兩堅(jiān)直的邊界分別為直線及</p><p>　　圖4.1 第二類(lèi)曲線積分幾何示意圖</p><p>　　不妨設(shè)，有向線段是在X軸 上 的 投 影，平 面 內(nèi) 的 曲 邊 梯形是曲面在平面上的投影，面內(nèi)

74、的曲邊梯形s是曲面∑在平面上的投影。由此可見(jiàn)，定義中的是曲邊梯形的面積的近似值。進(jìn)而可知，等于曲面∑在平面上的投影的面積。</p><p>　　當(dāng)時(shí)，等于曲面在平面上的投影的面積的相反數(shù)。</p><p>　　總之，這時(shí)等于曲面在平面上的投影的面積。</p><p>　　當(dāng)?shù)姆?hào)有正有負(fù)時(shí)，規(guī)定在半平面內(nèi)曲邊梯形的面積為正，在半平面內(nèi)曲曲邊梯形的面積為負(fù)，則等于類(lèi)似

75、于曲面∑的曲面在平面上的投影的面積的代數(shù)的絕對(duì)值。</p><p>　　當(dāng)比較復(fù)雜時(shí)，可將其分成幾段，使每一段都滿足上述的條件，然后分別討論 。</p><p>　　同理，對(duì)于曲面投影到平面的面積用同樣的方法也可以得到。</p><p>　　4.4 平面內(nèi)第二類(lèi)曲線積分的計(jì)算方法</p><p>　　下面從幾何意義出發(fā)，直觀地理解第二類(lèi)曲線

76、積分的計(jì)算。</p><p>　　由于第二類(lèi)曲線積分具有對(duì)積分弧段的可加性，這里只考慮一種特殊情況,即L滿足上述中的條件的情形。</p><p>　　設(shè)在上連續(xù)。圖4.1中記xoz平面上的曲邊梯形S的曲邊為，其方程為，則。因?yàn)槭乔€在平面上的投影，所以由消去y,便可求出。由的特點(diǎn)知，確定隱函數(shù)，設(shè)方程確定隱函數(shù)，將其代入，得到關(guān)于x的函數(shù)，則曲線的方程為，所以，從而，令，使得從變到時(shí)，從變

77、到，則。由參數(shù)方程表示時(shí)，，令，則</p><p>　　此即為常用的第二類(lèi)曲線積分計(jì)算分式。于是就得出計(jì)算第二類(lèi)曲線積分的一般步驟：</p><p>　　(1)選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)，寫(xiě)出積分曲線的參數(shù)方程；</p><p>　　(2)將曲線的參數(shù)方程代入被積函數(shù)中的;分別求出；把化為關(guān)于參數(shù)的定積分，確定積分限時(shí)必須注意，下限對(duì)應(yīng)于的起點(diǎn)，上限對(duì)應(yīng)于的終點(diǎn)；</p&

78、gt;<p>　　(3)計(jì)算該定積分．</p><p>　　在計(jì)算第二類(lèi)曲線積分時(shí)，還可以利用其他方法，如利用全微分、格林公式和積分與路徑無(wú)關(guān)等來(lái)計(jì)算，這些方法可以使運(yùn)算更簡(jiǎn)單.</p><p>　　第五章 兩類(lèi)曲線積分在幾何上的聯(lián)系</p><p>　　5.1 平面內(nèi)兩類(lèi)曲線積分的幾何關(guān)系</p><p>　　雖然第一型曲

79、線積分與第二型曲線積分來(lái)自不同的物理原型，且有著不同的特性，但在一定條件下，如在規(guī)定了曲線的方向之后，可以建立它們之間的聯(lián)系。設(shè)為從A到B的有向光滑曲線，它以弧長(zhǎng)s為參數(shù)，于是</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中為曲線的全長(zhǎng)，且點(diǎn)A與B的坐標(biāo)分別為與。曲線上每一點(diǎn)的切線方向指向弧長(zhǎng)增加的一方?，F(xiàn)以分別表示切線方向與x軸與y軸正向的夾角，則

80、在曲線上的每一點(diǎn)的切線方向余弦是</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　若為曲線L上的連續(xù)函數(shù)，則由</p><p><b>　　可得</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　最后一個(gè)等式是根據(jù)第

81、一型曲線積分化為定積分的公式。</p><p>　　這里必須指出，當(dāng)（5）式左邊第二型曲線積分中改變方向時(shí)，積分值改變符號(hào)，相應(yīng)在（5）式右邊第一型曲線積分中，曲線上各點(diǎn)的切線方向指向相反的方向（即指向弧長(zhǎng)減少的方向）。這時(shí)夾角分別與原來(lái)的夾角相差一個(gè)弧度，從而都是變號(hào)。因此，一旦方向確定了，公式（5）總是成立的。</p><p>　　這樣，根據(jù)條件（4）和公式（5）便建立了兩種不同類(lèi)型曲

82、線積分之間的聯(lián)系。</p><p>　　5.2 兩類(lèi)平面曲線積分關(guān)系的證明</p><p>　　設(shè)定為有向曲線弧:，的起點(diǎn)A,終點(diǎn)B分別對(duì)應(yīng)參數(shù)。函數(shù)在以為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且，函數(shù)在上連續(xù)。</p><p>　　有向曲線弧L的切線向量，它的方向余弦為</p><p>　　則由對(duì)坐標(biāo)的曲線積分公式得</p><

83、;p><b>　　(6)</b></p><p><b>　　由此可見(jiàn)</b></p><p><b>　　(7)</b></p><p>　　（1）剖析 當(dāng)參數(shù)時(shí)上面證明是對(duì)的,但當(dāng)時(shí),卻是錯(cuò)誤的.因?yàn)樵谟?jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分時(shí),化成定積分計(jì)算要求“下限一定要小于上限”.當(dāng)時(shí)</p&g

84、t;<p>　　導(dǎo)致上面矛盾的原因在于教材中對(duì)有向曲線弧未定義與曲線方向一致的切線向量.</p><p><b>　?。?）問(wèn)題的解決</b></p><p>　　定義 有向曲線弧L的定向切線向量T,當(dāng)時(shí)為{；當(dāng)時(shí)為。</p><p>　　這樣定義的切線向量的方向與L的指向是一致的.這是因?yàn)槿魹樯蠈?duì)應(yīng)參數(shù)的一點(diǎn)，是M附近對(duì)應(yīng)于

85、參數(shù)t的任意一點(diǎn),則向量與參數(shù)t的增值方向一致,所以當(dāng)參數(shù)時(shí),它與L的前進(jìn)方向一致；而當(dāng)時(shí),它與L的指向正好相反.于是當(dāng)對(duì)上面的向量取極限時(shí)所得到的向量為:</p><p>　　因此,為使在L上的點(diǎn)M處的切向量與的指向一致,定義在 M處的定向切向量就可得以實(shí)現(xiàn)這一要求,從而彌補(bǔ)教材中證明的不足.</p><p>　　現(xiàn)在給出等式(7)的證明.</p><p>　　定

86、理 設(shè)的切向量為定向切向量是T的方向余弦且函數(shù)在L上連續(xù),則</p><p>　　證明 當(dāng)參數(shù)時(shí),已經(jīng)證明;當(dāng)時(shí)</p><p>　　所以 </p><p><b>　　結(jié)束語(yǔ)</b></p><p>　　通過(guò)四個(gè)月的努力，在老師與同學(xué)們的指導(dǎo)幫助下，從幾何的角度研究曲線積分論文順利的

87、完成了。本論文是通過(guò)從幾何的角度來(lái)研究平面內(nèi)兩類(lèi)曲線積分的關(guān)系。研究這個(gè)問(wèn)題主要要用到數(shù)學(xué)分析的當(dāng)中微積分的有關(guān)內(nèi)容。首先應(yīng)該了解微積分的定義以及它產(chǎn)生的意義和作用，微積分是人類(lèi)頭腦最偉大的創(chuàng)造之一，一部微積分發(fā)展史，是人類(lèi)一步一步頑強(qiáng)地認(rèn)識(shí)客觀事物的歷史，是人類(lèi)理性思維的結(jié)晶。</p><p>　　同時(shí)，在這次設(shè)計(jì)中，我也發(fā)現(xiàn)了自己的許多不足。首先，最初寫(xiě)該論文時(shí)，對(duì)微元法和微積分的掌握還不算很全面，走了不少?gòu)?/p>

88、路。其次，最初對(duì)論文的寫(xiě)作沒(méi)有一個(gè)完整的概貌，考慮不是很全面，所以在寫(xiě)該論文的時(shí)候碰到了不少困難。再次，我還應(yīng)該多掌握些畫(huà)圖等方面技術(shù)，不斷提高自己各方面的能力。</p><p>　　在迄今為止的《數(shù)學(xué)分析》的所有版本的教材中，關(guān)于平面曲線弧長(zhǎng)公式的推導(dǎo)都是千篇一律地采用傳統(tǒng)的方法(嚴(yán)格的定積分極限定義)和順序(先推導(dǎo)參數(shù)公式，再推導(dǎo)直角坐標(biāo)公式，最后推導(dǎo)出極坐標(biāo)公式)進(jìn)行繁難的推證，其中運(yùn)用定積分極限的定義推導(dǎo)

89、平面曲線弧長(zhǎng)的參數(shù)公式時(shí)要用到微分中值定理和一致連續(xù)定理，再加上使用絕對(duì)值不等式的技巧以及眾多符號(hào)的使用，使得證明過(guò)程繁鎖。為了改變這種狀況，我們可以用定積分的微元法思想(先微分后積分)等價(jià)替代定積分的極限定義，將會(huì)收到了事半功倍效應(yīng)。因?yàn)樗浞煮w現(xiàn)了現(xiàn)代“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”的數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化思想在“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)上的運(yùn)用，技巧地采用精練簡(jiǎn)化了的微元法思想去推導(dǎo)定積分的應(yīng)用公式，具有直觀、簡(jiǎn)捷、明了和易懂的特點(diǎn)，符合當(dāng)代刪繁就簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)教學(xué)原則

90、，因而能取得教者易教，學(xué)者易學(xué)的教學(xué)效果。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 祁衛(wèi)紅，羅彩玲．微積分的產(chǎn)生與發(fā)展[J]．山西廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，2003,35(4):103-104.</p><p>　　[2] 李忠海，魏雅坤．試論高師數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則[J]．沈陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1995,

91、13(3):15-22.</p><p>　　[3] 張楠，羅增儒．對(duì)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的思考[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006，12（3）:72-75.</p><p>　　[4] 周恩超．ＨＰＭ的創(chuàng)立與發(fā)展[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2005,20(4):44-46.</p><p>　　[5] 戰(zhàn)黎榮，趙田夫．關(guān)于第二類(lèi)曲線積分教學(xué)的探討[J]．喀什師范院學(xué)報(bào)，2003，24

92、（6）:97-98.</p><p>　　[6] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析（第三版）[M]．高等教育出版社，2001.</p><p>　　[7] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室．高等數(shù)學(xué)（第三版）[M]．北京.高等教育出版社．1998.</p><p>　　[8] 劉曉妍．“兩類(lèi)曲線積分之間的聯(lián)系”中“夾角”與“轉(zhuǎn)角”的差異[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2003，6（1）:27-

93、29.</p><p>　　[9] 徐勝榮．從幾何上理解第二類(lèi)曲線積分的計(jì)算[J]．山東水利專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，1999，11（2）:62-63.</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　大學(xué)四年學(xué)習(xí)時(shí)光已經(jīng)接近尾聲，在此我想對(duì)我的母校，我的父母、親人們，我的老師和同學(xué)們表達(dá)我由衷的謝意。感謝我的家人對(duì)我大學(xué)四年學(xué)習(xí)的默默支持；

94、感謝我的母校南昌工程學(xué)院給了我在大學(xué)四年學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，讓我能繼續(xù)學(xué)習(xí)和提高；感謝所有的老師和同學(xué)們四年來(lái)的關(guān)心和鼓勵(lì)。老師們課堂上的激情洋溢，課堂下的諄諄教誨；同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中的認(rèn)真熱情，生活上的熱心主動(dòng)，所有這些都讓我的四年充滿了感動(dòng)。這次畢業(yè)論文設(shè)計(jì)我得到了很多老師和同學(xué)的幫助，其中我的論文指導(dǎo)老師邸振老師對(duì)我的關(guān)心和支持尤為重要。每次遇到難題，我最先做的就是向邸老師尋求幫助，而邸老師每次不管忙或閑，總會(huì)抽空來(lái)找我面談，然后一起商量解決

95、的辦法。邸老師平日里工作繁多，但我做畢業(yè)設(shè)計(jì)的每個(gè)階段，從選題到查閱資料，論文提綱的確定，中期論文的修改，后期論文格式調(diào)整等各個(gè)環(huán)節(jié)中都給予了我悉心的指導(dǎo)。這幾個(gè)月以來(lái)，邸老師在學(xué)業(yè)和生活上給我以精心指導(dǎo)。同時(shí)，感謝所有任課老師和所有同學(xué)在這四年來(lái)給自己的指導(dǎo)和幫助， 是他們教會(huì)了我專(zhuān)業(yè)知識(shí)，教會(huì)了我如何學(xué)習(xí)，教會(huì)了我如何做人。正是由于他們，我才能在各方面取得顯著的進(jìn)步，在此向他們表示我由衷的謝意，并祝所有的老師培</p>