畢業(yè)論文---從幾何的角度研究曲線積分

1、<p><b>　　xxxxxxx</b></p><p>　　畢 業(yè) 設(shè) 計 (論 文)</p><p>　　xxx 系（院） xxxx 專業(yè)</p><p>　　畢業(yè)論文題目 從幾何的角度研究曲線積分 </p><p>　　學生姓名 xx </

2、p><p>　　班 級 xx xxxxx </p><p>　　學 號 xxxx </p><p>　　指導(dǎo)教師 xxxx </p><p>　　完成日期 xxxx 年 xx月 xx 日</p><p&

3、gt;　　從幾何的角度研究曲線積分</p><p>　　From the perspective of geometric curve integral顯示對應(yīng)的拉丁字符的拼音</p><p><b>　　字典</b></p><p>　　總計 畢業(yè)論文 24 頁</p><p>　　表 格

4、 0 個</p><p>　　插 圖 3 幅</p><p>　　顯示對應(yīng)的拉丁字符的拼音</p><p><b>　　字典</b></p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　曲線積分有兩類：一類是對弧長的曲線積分；另一類是

5、對坐標的曲線積分。這兩類曲線積分的定義是完全不同的，但由于它們都是沿曲線的積分，兩者之間又有密切的聯(lián)系。“微元法”是把研究對象分為無限多個無限小的部分，取出有代表性的極小的一部分進行分析處理，再從局部到全體綜合起來加以考慮的科學思維方法，在這個方法里充分的體現(xiàn)了積分的思想。</p><p>　　本文首先分別從微積分的歷史、定義、意義和基本思想方法介紹了微積分，通過對它的了解之后，再簡單的介紹了曲線積分的定義和物理

6、意義；其次利用微元法的方法分析了兩類曲線積分在平面內(nèi)的幾何意義；最后介紹了平面內(nèi)兩類曲線積分在幾何上的關(guān)系及兩類曲線積分之間的轉(zhuǎn)換公式。</p><p>　　關(guān)鍵詞 第一類曲線積分 第二類曲線積分 微積分 微元法</p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　　There are two types of c

7、urvilinear integral: one kind is to arc long curve integrals; Another kind is sitting mark curve integrals. These two types of curvilinear integral definition is completely different, because they are the points along th

8、e curve, they both are closely linked. "Micro element method" is more than the research objects into infinite infinitesimal quantities, take out a representative part part of the tiny analyzed with, again from

9、local to all combine to be considered in scien</p><p>　　This paper firstly separately from the history, definition, calculus, the basic thinking method meaning and calculus, introduced by knowledge of it, th

10、en simply introduces the curvilinear integral definition and physical meaning; Second micro element method analysis of two kinds of curve integral in the in-plane geometric meaning; At last, the paper introduces the in-p

11、lane two kinds of curvilinear integral in geometry relationship and two kinds of curve transformation formula. </p><p>　　Key words the first kind of curvilinear integral second kind of curvilinear integra

12、l calculus micro element method </p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　ABSTRACTII</p><p><b>　　第一章 緒論1</b></p&

13、gt;<p>　　1.1 研究的目的與意義1</p><p>　　1.2 研究內(nèi)容與方法1</p><p>　　1.2.1 研究的內(nèi)容1</p><p>　　1.2.1 研究的方法—微元法2</p><p>　　第二章 微積分4</p><p>　　2.1 “微積分”的來龍去脈4&

14、lt;/p><p>　　2.1.1 微積分誕生的前提條件4</p><p>　　2.1.2 微積分的起源4</p><p>　　2.1.3 微積分的發(fā)展與嚴格化5</p><p>　　2.2 微積分的定義5</p><p>　　2.3 微積分的意義6</p><p>　　2.4

15、 微積分的基本思想方法7</p><p>　　2.4.1 微積分的理論基礎(chǔ)--極限法7</p><p>　　2.4.2 微積分的研究對象--非均勻問題7</p><p>　　2.4.3 微積分的基本思想--局部求近似、極限求精確8</p><p>　　2.4.4 微積分的聯(lián)系--牛頓---萊布尼茲公式9</p>

16、<p>　　第三章 平面內(nèi)第一類曲線積分的幾何意義11</p><p>　　3.1 平面內(nèi)第一類曲線積分的定義11</p><p>　　3.2 平面內(nèi)第一類曲線積分的物理意義11</p><p>　　3.3 平面內(nèi)第一類曲線積分的幾何意義12</p><p>　　3.4 平面內(nèi)第一類曲線積分的計算方法13<

17、;/p><p>　　第四章 平面內(nèi)第二類曲線積分的幾何意義15</p><p>　　4.1 平面內(nèi)第二類曲線積分的定義15</p><p>　　4.2 平面內(nèi)第二類曲線積分的物理意義15</p><p>　　4.3 平面內(nèi)第二類曲線積分的幾何意義15</p><p>　　4.4 平面內(nèi)第二類曲線積分的計算

18、方法17</p><p>　　第五章 兩類曲線積分在幾何上的聯(lián)系19</p><p>　　5.1 平面內(nèi)兩類曲線積分的幾何關(guān)系19</p><p>　　5.2 兩類平面曲線積分關(guān)系的證明20</p><p><b>　　結(jié)束語22</b></p><p><b>　　參考

19、文獻23</b></p><p><b>　　致謝24</b></p><p><b>　　第一章 緒論</b></p><p>　　1.1 研究的目的與意義</p><p>　　幾乎所有的教材是從物理的角度引入兩類曲線積分的，那么曲線積分幾何意義是什么？研究這個問題主要用到了數(shù)

20、學分析中微積分的有關(guān)內(nèi)容。所以首先應(yīng)該了解微積分的定義以及它產(chǎn)生的意義和作用，微積分是人類頭腦最偉大的創(chuàng)造之一，一部微積分發(fā)展史，是人類一步一步頑強地認識客觀事物的歷史，是人類理性思維的結(jié)晶。它給出一整套的科學方法，開創(chuàng)了科學的新紀元，并因此加強與加深了數(shù)學的作用。有了微積分，人類才有能力把握運動和過程。有了微積分，就有了工業(yè)革命，有了大工業(yè)生產(chǎn)，也就有了現(xiàn)代化的社會。航天飛機。宇宙飛船等現(xiàn)代化交通工具都是微積分的直接后果。在微積分的幫

21、助下，萬有引力定律發(fā)現(xiàn)了，牛頓用同一個公式來描述太陽對行星的作用，以及地球?qū)λ浇矬w的作用。從最小的塵埃到最遙遠的天體的運動行為。宇宙中沒有哪一個角落不在這些定律所包含的范圍內(nèi)。這是人類認識史上的一次空前的飛躍，不僅具有偉大的科學意義，而且具有深遠的社會影響。它強有力地證明了宇宙的數(shù)學設(shè)計，摧毀了籠罩在天體上的神秘主義、迷信和神學。一場空前巨大的、席卷近代世界的科學運動開始了。毫無疑問，微積分的發(fā)現(xiàn)是世界近代科學的開端。然而曲線積分在

22、物理學中的許多簡單的</p><p>　　1.2 研究內(nèi)容與方法</p><p>　　1.2.1 研究的內(nèi)容</p><p>　　為了了解平面內(nèi)第一類曲線積分的幾何意義和平面內(nèi)第二類曲線積分的幾何意義以及兩類曲線積分在幾何上的聯(lián)系，首先我們要清楚什么是曲線積分？下面我們首先看一個例子：</p><p>　　設(shè)有一曲線形構(gòu)件占面上的一段曲線

23、,設(shè)構(gòu)件的密度分布函數(shù)為，設(shè)定義在上且在上連續(xù)，求構(gòu)件的質(zhì)量。對于密度均勻的物件可以直接用求得質(zhì)量；對于密度不均勻的物件，就需要用到曲線積分,；所以;是積分路徑，就叫做對弧長的曲線積分。對弧長的曲線積分由于其物理意義，通常說來都是正的，對坐標軸的曲線積分可以根據(jù)路徑的不同而取得不同的符號。</p><p>　　曲線積分一共分為兩類，一類是對弧長的曲線積分，另一類是對坐標的曲線積分，對弧長的曲線積分也稱為第一類曲線

24、積分，而對坐標的曲線積分稱為第二類曲線積分。</p><p>　　從概念上講，第一類曲線積分是對長度的積分，是對面積的積分，而第二類曲線積分是對坐標的積分，講究在曲線上沿某方向的變化了，強調(diào)面積朝向某側(cè)的情況。 從計算上講，第一類計算要求出長度或面積微元的表示式。第二類不用考慮微元的表示式，直接就是對坐標積分，形式上簡單，不過，在具體到某個線或者面的時候，要考慮是否要根據(jù)方向的變化分成不同的小段，在每個方

25、向一致的小段上，還要考慮正負號，是否為零等等，實際上相對麻煩許多。</p><p>　　在了解了什么是曲線積分后，再分別分析平面內(nèi)第一類曲線積分的幾何意義和平面內(nèi)第二類曲線積分的幾何意義以及兩類曲線積分在幾何上的聯(lián)系就簡單了許多。</p><p>　　1.2.1 研究的方法—微元法</p><p>　　在高中物理中，由于數(shù)學學習上的局限，對于高等數(shù)學中可以使用積分

26、來進行計算的一些問題，在高中很難的加以解決。例如對于求變力所做的功或者對于物體做曲線運動時某恒力所做的功的計算；又如求做曲線運動的某質(zhì)點運動的路程，這些問題對于中學生來講，成為一大難題。但是如果應(yīng)用積分的思想，化整為零，化曲為直，采用“微元法”，可以很好的解決這類問題?！拔⒃ā蓖ㄋ椎卣f就是把研究對象分為無限多個無限小的部分，取出有代表性的極小的一部分進行分析處理，再從局部到全體綜合起來加以考慮的科學思維方法，在這個方法里充分的體現(xiàn)了積

27、分的思想。高中物理中的瞬時速度、瞬時加速度、感應(yīng)電動勢等等，都是用這種方法定義的。 </p><p>　　1.“微元法”的取元原則 </p><p>　?。?）可加性原則：由于所取的“微元” 最終必須參加疊加演算，所以，對“微元” 及相應(yīng)的量的最基本要求是：應(yīng)該具備“可加性”特征； </p><p>　?。?）有序性原則：為了保證所取的“微元” 在疊加域內(nèi)能夠較為方

28、便地獲得“不遺漏”、“不重復(fù)”的完整疊加，在選取“微元”時，就應(yīng)該注意：按照關(guān)于量的某種“序”來選取相應(yīng)的“微元” ； </p><p>　　（3）平權(quán)性原則：疊加演算實際上是一種的復(fù)雜的“加權(quán)疊加”。對于一般的“權(quán)函數(shù)” 來說，這種疊加演算（實際上就是要求定積分）極為復(fù)雜，但如果“權(quán)函數(shù)” 具備了“平權(quán)性”特征（在定義域內(nèi)的值處處相等）就會蛻化為極為簡單的形式 </p><p>　　2.

29、“微元法”的換元技巧 </p><p>　　（1）“時間元”與“空間元”間的相互代換（表現(xiàn)時、空關(guān)系的運動問題中最為常見）； </p><p>　?。?）“體元”、“面元”與“線元”間的相互代換（實質(zhì)上是降“維”）； </p><p>　?。?）“線元”與“角元”間的相互代換（“元”的表現(xiàn)形式的轉(zhuǎn)換）； </p><p>　?。?）“孤立元

30、”與“組合元”間的相互代換（充分利用“對稱”特征）。 </p><p>　　3.“微元法”解題的一般步驟</p><p>　?。?）選取微元用以量化元事物或元過程； </p><p>　?。?）視元事物或元過程為恒定，運用相應(yīng)的規(guī)律給出待求量對應(yīng)的微元表達式；</p><p>　?。?）在微元表達式的定義域內(nèi)施以疊加演算，進而求得待求量。 &

31、lt;/p><p><b>　　第二章 微積分</b></p><p>　　微積分是我們進入大學后首先接觸到的數(shù)學基礎(chǔ)課，它與初等數(shù)學在內(nèi)容和體系上都截然不同，加之其高度的抽象性和嚴密的符號體系都遠遠超出了我們已有的經(jīng)驗，因此我們在原有的認知基礎(chǔ)上很難建構(gòu)對微積分的認知。微積分也是任何一個學習數(shù)學的人必須闖過的第一個真正的大沙場，微積分這部無限的交響樂是由全世界眾多的數(shù)

32、學工作者用自己的血、淚、才智等譜寫而成的。熟悉這一學科的歷史發(fā)展，了解人類的這一巨大精神財富的積累過程和歷代數(shù)學家艱苦卓絕的奮斗精神。對于陶冶一個人的數(shù)學思想情操，增長與提高自己的數(shù)學意識與思維能力，形成自己的數(shù)學觀，對于自身的學習與工作都將具有重要的意義。所以我們首先應(yīng)該了解微積分的定義以及它產(chǎn)生的意義和作用，當然我們還需要了解微積分的基本思想方法。</p><p>　　2.1 “微積分”的來龍去脈</

33、p><p>　　2.1.1 微積分誕生的前提條件</p><p>　　17世紀上半葉，卡兒建立直角坐標系，用代數(shù)方法研究幾何對象。將幾何與代數(shù)結(jié)合起來，衍生出新的學科“解析幾何”。解析幾何的誕生，使得在平面上的點與數(shù)對之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，變量引入數(shù)學，使運動與變化的定量描述成為可能，從而為微積分的誕生創(chuàng)造了條件。</p><p>　　2.1.2 微積分的起源&l

34、t;/p><p>　　在古代希臘、中國、印度等地，由于實際生活的需要人們十分關(guān)心不規(guī)則圖形求面積的問題。到了17世紀上半葉，由于天文學和力學領(lǐng)域的需要，更多的天文學家、物理學家和數(shù)學家關(guān)注任意曲線求切線及不規(guī)則圖形求面積等問題。</p><p>　　微積分的創(chuàng)始人之一牛頓（Isaac Newton，1642-1727）對微積分問題的研究始于笛卡兒的圓法。而微積分的另一位創(chuàng)始人萊布尼茨（Leib

35、niz,1646-1716）熱衷于研究巴羅的微分三角形。正是求不規(guī)則圖形的面積等問題刺激了積分學發(fā)生，求任意曲線的切線等問題成為微分學誕生的導(dǎo)火索。牛頓和萊布尼茨在前人的基礎(chǔ)上，自獨立發(fā)現(xiàn)了求曲線切線與求不規(guī)則圖形面積是一對互逆關(guān)系，并且把這種互逆關(guān)系明確地作為一般規(guī)則，微分與積分的關(guān)系揭示出來。</p><p>　　2.1.3 微積分的發(fā)展與嚴格化</p><p>　　17世紀，牛頓和

36、萊布尼茨建立了微積分學的主要框架，一元函數(shù)微分學和一元函數(shù)積分學理論。以往數(shù)學家們以“曲線”作為微積分的主要研究對象，18世紀微積分的發(fā)展發(fā)生了歷史性的轉(zhuǎn)折，函數(shù)成為微積分的主要研究對象。這些函數(shù)多是連續(xù)的，不連續(xù)則間斷點至多為有限個。在微積分不斷向前發(fā)展的同時，邏輯基礎(chǔ)的不嚴密也時刻困擾著數(shù)學家們，18世紀人們不間斷地努力探索著微積分嚴格化的途徑，到19世紀才徹底解決了這一難題。對此做出不可磨滅貢獻的是法國人柯西（Cauchu，178

37、9-1851）和德國人魏爾斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）。柯西對微積分的一些基本概念給出了明確的定義，這是邁向分析嚴格化的關(guān)鍵一步。本質(zhì)上分析嚴格化這一貢獻應(yīng)歸功于維爾斯特拉斯，他創(chuàng)造了一套語言，從而給出了極限系統(tǒng)化的定義，而可以定義函數(shù)的連續(xù)性以及微分、積分等，使微積分的定義有了今天嚴密的形式。</p><p>　　2.2 微積分的定義</p><p>　　微積

38、分（Calculus）是高等數(shù)學中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學分支。它是數(shù)學的一個基礎(chǔ)學科。內(nèi)容主要包括極限、微分學、積分學及其應(yīng)用。微分學包括求導(dǎo)數(shù)的運算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。微積分學基本定理指出，微分和積分互為逆運算，這也是兩種理論被統(tǒng)一成微積分學的原因。我們可以以兩者中任意一

39、者為起點來討論微積分學，但是在教材中，微分學一般會先被引入。微積分學是微分學和積分學的總稱。它是一種數(shù)學思想，‘無限細分’就是微分，‘無限求和’就是積分。十七世紀后半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多數(shù)學家都參加過準備的工作，分別獨立地建立了微積分學。他們建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，但是理論基礎(chǔ)是不牢固的。因為“無限”的概念是無法用已經(jīng)擁有的代數(shù)公式進行演算，所以，直到十九世紀，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴格的實

40、數(shù)理論，這門學科才得以嚴密化</p><p>　　2.3 微積分的意義</p><p>　　微積分的誕生具有劃時代的意義，是數(shù)學史上的分水嶺和轉(zhuǎn)折點。微積分是人類智慧的偉大結(jié)晶，恩格斯說：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了?！碑敶鷶?shù)學分析權(quán)威柯朗指出：“微積分乃是一種震撼心靈的智力奮斗的結(jié)晶?！蔽⒎e分的重大意義可從下面幾個方面去看。

41、</p><p>　?。?）對數(shù)學自身的作用</p><p>　　由古希臘繼承下來的數(shù)學是常量的數(shù)學，是靜態(tài)的數(shù)學。自從有了解析幾何和微積分，就開辟了變量數(shù)學的時代，是動態(tài)的數(shù)學。數(shù)學開始描述變化、描述運動，改變了整個數(shù)學世界的面貌。數(shù)學也由幾何的時代而進入分析的時代。微積分給數(shù)學注入了旺盛的生命力，使數(shù)學獲得了極大的發(fā)展，取得了空前的繁榮。如微分方程、無窮級數(shù)、變分法等數(shù)學分支的建立，以

42、及復(fù)變函數(shù)，微分幾何的產(chǎn)生。嚴密的微積分的邏輯基礎(chǔ)理論進一步顯示了它在數(shù)學領(lǐng)域的普遍意義。</p><p>　?。?）對其他學科和工程技術(shù)的作用</p><p>　　微積分雖然極具抽象性，然而卻有著廣泛的應(yīng)用。由于微積分來源于社會生活和生產(chǎn)實際，是從人們生活、生產(chǎn)過程的經(jīng)驗中抽象概括出來的一門學科。有了微積分，人類把握了運動的過程，微積分成了物理學的基本語言，尋求問題解答的有力工具。有了微

43、積分就有了工業(yè)大革命，有了大工業(yè)生產(chǎn)，也就有了現(xiàn)代化的社會。航天飛機、宇宙飛船等現(xiàn)代化的交通工具都是微積分的直接結(jié)果。</p><p>　　在微積分的幫助下，牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，發(fā)現(xiàn)了宇宙中沒有哪一個角落不在這些定律所包含的范圍內(nèi)，強有力地證明了宇宙的數(shù)學設(shè)計?，F(xiàn)在化學、生物學、地理學、經(jīng)濟學等學科都必須同微積分打交道。</p><p>　?。?）對人類物質(zhì)文明的影響</p>

44、;<p>　　現(xiàn)代的工程技術(shù)直接影響到人們的物質(zhì)生產(chǎn)，而工程技術(shù)的基礎(chǔ)是數(shù)學，都離不開微積分。如今微積分不但成了自然科學和工程技術(shù)的基礎(chǔ)，而且還滲透到人們廣泛的經(jīng)濟、金融活動中，也就是說微積分在人文社會科學領(lǐng)域中也有著及其廣泛的應(yīng)用。</p><p>　　（4）對人類文化的影響</p><p>　　如今無論是研究自然規(guī)律，還是社會規(guī)律都是離不開微積分，因為微積分是研究運動規(guī)律

45、的科學?，F(xiàn)代微積分理論基礎(chǔ)的建立是認識上的一個飛躍。極限概念揭示了變量與常量、無限與有限的辯證的對立統(tǒng)一關(guān)系。從極限的觀點來看，無窮小量不過是極限為零的變量。即在變化過程中，它的值可以是“非零”，但它的趨向是“零”，可以無限地接近于“零”。因此，現(xiàn)代微積分理論的建立，一方面，消除了微積分長期以來帶有的“神秘性”，使得貝克萊主教等神學信仰者對微積分的攻擊徹底破產(chǎn)，而且在思想和方法深刻影響了近代數(shù)學的發(fā)展。這就是微積分對哲學的啟示，對人類文

46、化的啟示和影響。</p><p>　　2.4 微積分的基本思想方法</p><p>　　唯物辯證法認為,現(xiàn)實世界是運動、變化、發(fā)展的,靜止是相對的,運動是絕對的。微積分對描述和研究事物的運動變化提供了思想和方法。通常對事物的認識需要從微觀(局部)和宏觀(整體)兩個側(cè)面去加以研究,抽象為數(shù)量關(guān)系 從微觀上研究其變化率(導(dǎo)數(shù)),從宏觀上研究其改變量(定積分)。例如,對于作直線運動的物體,需要

47、從微觀上研究某時刻的運動速度,從宏觀上研究其在某時間段上的路程。</p><p>　　2.4.1 微積分的理論基礎(chǔ)--極限法</p><p>　　極限法是微積分的基本方法，微積分中的一系列重要概念，如函數(shù)連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分、級數(shù)收斂等等都是借助于極限法定義的。如果要問:微積分是一門什么學科?那么可以概括地說:微積分是用極限法來研究函數(shù)的一門學科。</p><p&g

48、t;　　極限法是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學方法。極限法是一種思想和方法論,是過程與結(jié)果的統(tǒng)一。它的一般步驟可概括為:對于被考察的未知量,先設(shè)法構(gòu)思一個與它有關(guān)的變量,確認這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量;最后通過極限計算來得到這結(jié)果。極限法不同于一般的代數(shù)方法,代數(shù)中的加、減、乘、除等運算都是由有限個數(shù)來確定出另一個數(shù),而在極限法中則是由無限個數(shù)來確定一個數(shù)。</p><p>　　極限法在自

49、然科學乃至社會科學中有著廣泛的應(yīng)用,這是由它本身所具有的思維功能所決定的。極限法揭示了變量與常量、無限與有限、量變與質(zhì)變的對立統(tǒng)一關(guān)系,是唯物辯證法的對立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學領(lǐng)域中的應(yīng)用。借助極限法,人們可以從有限認識無限,從不變認識變,從直線形認識曲線,從量變認識質(zhì)變,從近似認識精確等。有了極限法,使數(shù)學從常量數(shù)學過渡到變量數(shù)學,讓我們更準 確地認識客觀世界。</p><p>　　2.4.2 微積分的研究對象--非

50、均勻問題</p><p>　　無論是物質(zhì)的運動還是質(zhì)量的分布,大都可以劃分為“均勻”與“非均勻”變化兩大類:所謂均勻,就是單位時間或單位長度上所討論量的改變量處處相同,而非均勻則不盡相同,隨點而變化。因而從所論量的變化率的觀點來看,“均勻”與“非均勻”表現(xiàn)為變化率是“常量”還是“變量”。如以物體的運動變化為例,若物體作均勻變化運動(勻速),即變化率(速度)為一常量;若物體作非均勻運動(變速),則為一變量。從函數(shù)的

51、觀點來看,“均勻”變化可用線性函數(shù)描述,而“非均勻”變化是非線性函數(shù)。從所論量的圖形特征來看,“均勻”與“非均勻”變化分別表現(xiàn)為直線與曲線。 </p><p>　　對于“均勻”變化問題,從微觀上研究其變化率,只需運用除法。例如對上述勻速運動物體,速度為。從宏觀上研究改變量,只需使用乘法。如路程 (t為時間)。但是對于“非均勻”問題,從微觀上研究變化率則需用導(dǎo)數(shù),從宏觀上研究改變量就需要積分。因此,我們說微積分中的

52、導(dǎo)數(shù)和積分是處理“非均勻量”的除法和乘法,是研究和處理非均勻量問題的數(shù)學思想和方法。</p><p>　　2.4.3 微積分的基本思想--局部求近似、極限求精確</p><p>　　現(xiàn)在,我們以“非勻速”直線運動為例來總結(jié)一下處理“非均勻量”的思想方法。</p><p>　　研究其速度: 取坐標軸如下圖2.1，設(shè)路程函數(shù)已知,求物體的運動速度(即 s變化率)的方法

53、分為兩步:</p><p>　　圖 2.1 速度路程圖</p><p>　　a.“局部求近似”:盡管物體在時段上作非勻速運動,但在微小時段上可近似看成是勻速運動的。以“勻”代“不勻”,或者說對變化率以“不變”代“變”, 使用處理均勻問題的除法得近似值 </p><p>　　b.“極限求精確”:越小,近似程度越高,于是令利用極限法便將此近似值轉(zhuǎn)化為精確值,即

54、 </p><p>　　(2)研究其路程:設(shè)速度函數(shù) v(t)已知,求運動物體所經(jīng)過的路程也是上述兩大步驟:</p><p>　　A.“局部求近似”:非均勻量近似于均勻量只有在微小局部才能成立。因此要處理這一非勻速變化的整體量,首先必須劃分時間區(qū)間為若干小時間區(qū)間,再在各小時間區(qū) 間上以“勻”代“不勻”,因此,這一思想需分為兩步來實現(xiàn): </p><p

55、>　　A1.“分割”:將區(qū)間任意劃分成n份,考察微小區(qū)間上的小段; </p><p>　　A2.“求近似”:在上將運動近似看作勻速運動,用處理相應(yīng)均勻量的乘法得: </p><p>　　B.“極限求精確”:由于所求的是整體量,因此先將局部的近似值累加起來再向精確值轉(zhuǎn)化(利用極限法實現(xiàn)“精確”的過程),所以實現(xiàn)精確的思想也分為兩步: </p><p&

56、gt;　　B1.“求和”: </p><p>　　B2.“求極限”:，其中</p><p>　　可見,導(dǎo)數(shù)與定積分雖然是微觀和宏觀兩種不同范疇的問題,但它們的研究對象都是“非均勻”變化量,解決問題的基本思想方法也是一致的?？蓺w結(jié)為兩步:a.微小局部求近似值;b.利用極限求精確。微積分的這一基本思想方法貫穿于整個微積分學體系中,并且將指導(dǎo)我們應(yīng)用微積分知識去解決各種相關(guān)的問題。&l

57、t;/p><p>　　2.4.4 微積分的聯(lián)系--牛頓---萊布尼茲公式</p><p>　　從上知,導(dǎo)數(shù)是已知路程求速度,定積分是已知速度求路程,說明定積分與導(dǎo)數(shù)為“互逆運算”問題。現(xiàn)以上述“求非勻速運動物體在時段上的路程”為例,考察定積分與導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系</p><p>　?。?）.若已知路程函數(shù),則 </p><p

58、>　　（2）.若已知速度函數(shù),則由定積分有 </p><p>　　于是 </p><p>　?。?）.考察與的關(guān)系:</p><p>　　，即 是的一個原函數(shù),這說明定積分可以通過求 的原函數(shù)來求。這樣,我們就把定積分與導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來了。一般地,有如下的計算公式(牛頓--萊布尼茲公式):</p>

59、<p>　　設(shè)函數(shù)在上連續(xù),且,則 </p><p>　　第三章 平面內(nèi)第一類曲線積分的幾何意義</p><p>　　3.1 平面內(nèi)第一類曲線積分的定義</p><p>　　設(shè)為平面上可求長度的曲線段，為定義在上的函數(shù)。對曲線作分割T，它把分成n個可求長度的小曲線段，的弧長記為，分割T的細度為，在上任取一點。若有極限 ，且的值與分割T與點的取法無關(guān)，

60、則稱此極限為在上的第一型曲線積分，記作</p><p>　　于是前面講到的質(zhì)量分布在平面曲線段上的物體的質(zhì)量可由第一型曲線積分求得</p><p>　　3.2 平面內(nèi)第一類曲線積分的物理意義</p><p>　　問題的提出：設(shè)某物體的密度函數(shù)是定義在上的連續(xù)函數(shù)。當是直線段時，應(yīng)用定積分就能計算得該物體的質(zhì)量。</p><p>　　問題的求

61、解：現(xiàn)在研究當是平面或空間中某一可求長度的曲線段時物體的質(zhì)量的計算問題。首先對作分割，把分成n個可求長度的小曲線段,并在每一個上任取一點。由于為上的連續(xù)函數(shù)，故當?shù)幕￠L都很小時，每一小段的質(zhì)量可近似地等于，其中為小曲線段的長度。于是在整個上的質(zhì)量就近似地等于和式</p><p>　　當對的分割越來越密（即）時，上式和式的極限就應(yīng)是該物體的質(zhì)量。</p><p>　　由上面看到，求具有某種物

62、質(zhì)的曲線線段的質(zhì)量，與求直線段的質(zhì)量一樣，也是通過“分割、近似求和、取極限”來得到的。</p><p>　　平面內(nèi)第一類曲線積分的幾何意義</p><p>　　從概念上講，第一類曲線積分是對長度的積分，是對面積的積分，而從計算上講，第一類計算要求出長度或面積微元的表示式。</p><p>　　先討論一個幾何問題----求柱面的面積。要想求出柱面的面積我們可以采用類似

63、于求曲邊梯形的面積的方法。先用一組平行于坐標軸的直線T把曲面分成n個小區(qū)域,以表示小域的面積。這個直線網(wǎng)也相應(yīng)地把曲面分成n個以為寬的小柱面的面積。由于是連續(xù)的，故當每個都很小時，在上各點的函數(shù)值相關(guān)無幾，因而可在上任取一點,用以為高，為寬的小曲面的面積作為面積的近似值（如圖3.1），</p><p>　　圖3.1第一類曲線積分幾何示意圖</p><p>　　即

64、 </p><p>　　把這些小曲面面積加起來，就得到曲面的近似值</p><p>　　當直線網(wǎng)T的網(wǎng)眼越來越細密，即分割T的細度（為梯形面積的寬）趨于零時，就有</p><p>　　至此，求曲面的面積也與定積分概念一樣，是通過“分割、近似求和、取極限”這三個步驟得到的。下面就給出第一類曲線積分的定義</p><p>

65、　　平面第一型曲線積分的幾何意義：設(shè)曲線的方程為，它在空間中的圖形是以為準線，母線垂直于z軸的柱面。若設(shè)被積函數(shù)，變量x，y要滿足方程，記曲面與柱面的交線為，則在平面的投影為曲線。由表示柱面陰影部分面積的近似值，且</p><p>　　可見積分表示介于曲線與之間部分的面積</p><p>　　3.4 平面內(nèi)第一類曲線積分的計算方法</p><p>　　空間曲線積分

66、的計算基于曲線的參數(shù)方程：，但當空間曲線的參數(shù)方程未知時，除一些特殊的空間曲線積分利用stokes公式等進行計算以外，一般的空間曲線積分必須求出曲線的參數(shù)方程，并確定參數(shù)的變化范圍方可利用計算公式計算之。設(shè)空間曲線的一般方程為：，在此將對該類空間曲線積分，采用基于極坐標系或球坐標系下的參數(shù)方程，討論它的一般計算方法；對其中一些特殊的空間曲線積分以，利用stokes、Green、積分與路線無關(guān)的條件等，采用更為簡單的計算方法。</p

67、><p>　?。?）基于極坐標系下的計算方法</p><p>　　設(shè)空間曲線：(注：此空間曲線在和平面的投影是橢圓)，寫出它的參數(shù)方程的一個方法如下：從方程組中消去一個變量（例如）得，此方程即為空間曲線在平面上的投影曲線C的方程，將它寫成平方的形式：，然后根據(jù)廣義極坐標系的意義，令代入C的上述方程中得C的廣義極坐標方程為，于是C的參數(shù)方程為：，再代入或中解出z便得空間曲線的參數(shù)方程。</

68、p><p>　?。?）基于球坐標系下的計算方法</p><p>　　當空間曲線位于某球面或某圓錐面上時，可根據(jù)球坐標系的意義，利用球坐標系寫出的參數(shù)方程并確定參數(shù)的變化范圍，然后利用空間曲線積分的積分的計算公式計算之。</p><p>　?。?）利用Stokes公式計算空間曲線積分</p><p>　　當空間曲線：的方程中有一個為平面方程時，可以

69、利用Stokes公式計算空間曲線積分。</p><p>　?。?）利用平面曲線積分計算空間曲線積分</p><p>　　設(shè)為分段光滑的空間有向閉曲線，是以為邊界的分片光滑的有向曲面，的正向與的正側(cè)符合右手規(guī)則，函數(shù)在曲面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在平面上的投影為平面有向曲線C，則有</p><p>　　將空間曲線積分轉(zhuǎn)化為平面曲線積分后，還可利用著名的Green公式計算

70、之。</p><p>　　第四章 平面內(nèi)第二類曲線積分的幾何意義</p><p>　　4.1 平面內(nèi)第二類曲線積分的定義</p><p>　　第二類曲線積分是多元函數(shù)積分學的重要組成，下面從它的定義出發(fā)探討幾何意義，并直觀地理解它的計算。</p><p>　　設(shè)為平面內(nèi)從點A到B的一條有向光滑曲線弧，函數(shù)在上有界。用上的點把分成n個有向小

71、弧段。設(shè)，點為上任意取定的點。如果當各小孤段長度的最大值時，的極限存在，則稱此極限為函數(shù)在有向弧段上對坐標x的曲線積分，也稱為第二類曲線積分，記為</p><p>　　即 。</p><p>　　說明：1.第二類曲線積分對積分弧段具有可加性；</p><p>　　2.當在有向光滑曲線弧上連續(xù)時，第二類曲線積分存在。</p&g

72、t;<p>　　4.2 平面內(nèi)第二類曲線積分的物理意義</p><p>　　在物理學中還碰到另一種類型的曲線積分問題。例如一質(zhì)點受力的作用沿平面曲線從點移動到點，求力所作的功。</p><p>　　4.3 平面內(nèi)第二類曲線積分的幾何意義</p><p>　　設(shè)是平面內(nèi)從點到的一條有向光滑曲線，過上的任一點平行于坐標軸的直線與的交點只有一個，的方程為

73、</p><p>　　當時，如圖4.1所示，是以為準線、平行于軸的直線為母線的柱面（方程為）的一部分，其頂端的邊界是由定義在上的函數(shù)確定的，底部的邊界是平面上的曲線弧，另兩堅直的邊界分別為直線及</p><p>　　圖4.1 第二類曲線積分幾何示意圖</p><p>　　不妨設(shè)，有向線段是在X軸 上 的 投 影，平 面 內(nèi) 的 曲 邊 梯形是曲面在平面上的投影，面內(nèi)

74、的曲邊梯形s是曲面∑在平面上的投影。由此可見，定義中的是曲邊梯形的面積的近似值。進而可知，等于曲面∑在平面上的投影的面積。</p><p>　　當時，等于曲面在平面上的投影的面積的相反數(shù)。</p><p>　　總之，這時等于曲面在平面上的投影的面積。</p><p>　　當?shù)姆栍姓胸摃r，規(guī)定在半平面內(nèi)曲邊梯形的面積為正，在半平面內(nèi)曲曲邊梯形的面積為負，則等于類似

75、于曲面∑的曲面在平面上的投影的面積的代數(shù)的絕對值。</p><p>　　當比較復(fù)雜時，可將其分成幾段，使每一段都滿足上述的條件，然后分別討論 。</p><p>　　同理，對于曲面投影到平面的面積用同樣的方法也可以得到。</p><p>　　4.4 平面內(nèi)第二類曲線積分的計算方法</p><p>　　下面從幾何意義出發(fā)，直觀地理解第二類曲線

76、積分的計算。</p><p>　　由于第二類曲線積分具有對積分弧段的可加性，這里只考慮一種特殊情況,即L滿足上述中的條件的情形。</p><p>　　設(shè)在上連續(xù)。圖4.1中記xoz平面上的曲邊梯形S的曲邊為，其方程為，則。因為是曲線在平面上的投影，所以由消去y,便可求出。由的特點知，確定隱函數(shù)，設(shè)方程確定隱函數(shù)，將其代入，得到關(guān)于x的函數(shù)，則曲線的方程為，所以，從而，令，使得從變到時，從變

77、到，則。由參數(shù)方程表示時，，令，則</p><p>　　此即為常用的第二類曲線積分計算分式。于是就得出計算第二類曲線積分的一般步驟：</p><p>　　(1)選擇適當?shù)膮?shù)，寫出積分曲線的參數(shù)方程；</p><p>　　(2)將曲線的參數(shù)方程代入被積函數(shù)中的;分別求出；把化為關(guān)于參數(shù)的定積分，確定積分限時必須注意，下限對應(yīng)于的起點，上限對應(yīng)于的終點；</p&

78、gt;<p>　　(3)計算該定積分．</p><p>　　在計算第二類曲線積分時，還可以利用其他方法，如利用全微分、格林公式和積分與路徑無關(guān)等來計算，這些方法可以使運算更簡單.</p><p>　　第五章 兩類曲線積分在幾何上的聯(lián)系</p><p>　　5.1 平面內(nèi)兩類曲線積分的幾何關(guān)系</p><p>　　雖然第一型曲

79、線積分與第二型曲線積分來自不同的物理原型，且有著不同的特性，但在一定條件下，如在規(guī)定了曲線的方向之后，可以建立它們之間的聯(lián)系。設(shè)為從A到B的有向光滑曲線，它以弧長s為參數(shù)，于是</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中為曲線的全長，且點A與B的坐標分別為與。曲線上每一點的切線方向指向弧長增加的一方?，F(xiàn)以分別表示切線方向與x軸與y軸正向的夾角，則

80、在曲線上的每一點的切線方向余弦是</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　若為曲線L上的連續(xù)函數(shù)，則由</p><p><b>　　可得</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　最后一個等式是根據(jù)第

81、一型曲線積分化為定積分的公式。</p><p>　　這里必須指出，當（5）式左邊第二型曲線積分中改變方向時，積分值改變符號，相應(yīng)在（5）式右邊第一型曲線積分中，曲線上各點的切線方向指向相反的方向（即指向弧長減少的方向）。這時夾角分別與原來的夾角相差一個弧度，從而都是變號。因此，一旦方向確定了，公式（5）總是成立的。</p><p>　　這樣，根據(jù)條件（4）和公式（5）便建立了兩種不同類型曲

82、線積分之間的聯(lián)系。</p><p>　　5.2 兩類平面曲線積分關(guān)系的證明</p><p>　　設(shè)定為有向曲線弧:，的起點A,終點B分別對應(yīng)參數(shù)。函數(shù)在以為端點的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且，函數(shù)在上連續(xù)。</p><p>　　有向曲線弧L的切線向量，它的方向余弦為</p><p>　　則由對坐標的曲線積分公式得</p><

83、;p><b>　　(6)</b></p><p><b>　　由此可見</b></p><p><b>　　(7)</b></p><p>　?。?）剖析 當參數(shù)時上面證明是對的,但當時,卻是錯誤的.因為在計算對弧長的曲線積分時,化成定積分計算要求“下限一定要小于上限”.當時</p&g

84、t;<p>　　導(dǎo)致上面矛盾的原因在于教材中對有向曲線弧未定義與曲線方向一致的切線向量.</p><p><b>　?。?）問題的解決</b></p><p>　　定義 有向曲線弧L的定向切線向量T,當時為{；當時為。</p><p>　　這樣定義的切線向量的方向與L的指向是一致的.這是因為若為上對應(yīng)參數(shù)的一點，是M附近對應(yīng)于

85、參數(shù)t的任意一點,則向量與參數(shù)t的增值方向一致,所以當參數(shù)時,它與L的前進方向一致；而當時,它與L的指向正好相反.于是當對上面的向量取極限時所得到的向量為:</p><p>　　因此,為使在L上的點M處的切向量與的指向一致,定義在 M處的定向切向量就可得以實現(xiàn)這一要求,從而彌補教材中證明的不足.</p><p>　　現(xiàn)在給出等式(7)的證明.</p><p>　　定

86、理 設(shè)的切向量為定向切向量是T的方向余弦且函數(shù)在L上連續(xù),則</p><p>　　證明 當參數(shù)時,已經(jīng)證明;當時</p><p>　　所以 </p><p><b>　　結(jié)束語</b></p><p>　　通過四個月的努力，在老師與同學們的指導(dǎo)幫助下，從幾何的角度研究曲線積分論文順利的

87、完成了。本論文是通過從幾何的角度來研究平面內(nèi)兩類曲線積分的關(guān)系。研究這個問題主要要用到數(shù)學分析的當中微積分的有關(guān)內(nèi)容。首先應(yīng)該了解微積分的定義以及它產(chǎn)生的意義和作用，微積分是人類頭腦最偉大的創(chuàng)造之一，一部微積分發(fā)展史，是人類一步一步頑強地認識客觀事物的歷史，是人類理性思維的結(jié)晶。</p><p>　　同時，在這次設(shè)計中，我也發(fā)現(xiàn)了自己的許多不足。首先，最初寫該論文時，對微元法和微積分的掌握還不算很全面，走了不少彎

88、路。其次，最初對論文的寫作沒有一個完整的概貌，考慮不是很全面，所以在寫該論文的時候碰到了不少困難。再次，我還應(yīng)該多掌握些畫圖等方面技術(shù)，不斷提高自己各方面的能力。</p><p>　　在迄今為止的《數(shù)學分析》的所有版本的教材中，關(guān)于平面曲線弧長公式的推導(dǎo)都是千篇一律地采用傳統(tǒng)的方法(嚴格的定積分極限定義)和順序(先推導(dǎo)參數(shù)公式，再推導(dǎo)直角坐標公式，最后推導(dǎo)出極坐標公式)進行繁難的推證，其中運用定積分極限的定義推導(dǎo)

89、平面曲線弧長的參數(shù)公式時要用到微分中值定理和一致連續(xù)定理，再加上使用絕對值不等式的技巧以及眾多符號的使用，使得證明過程繁鎖。為了改變這種狀況，我們可以用定積分的微元法思想(先微分后積分)等價替代定積分的極限定義，將會收到了事半功倍效應(yīng)。因為它充分體現(xiàn)了現(xiàn)代“淡化形式，注重實質(zhì)”的數(shù)學簡化思想在“數(shù)學分析”教學上的運用，技巧地采用精練簡化了的微元法思想去推導(dǎo)定積分的應(yīng)用公式，具有直觀、簡捷、明了和易懂的特點，符合當代刪繁就簡的數(shù)學教學原則

90、，因而能取得教者易教，學者易學的教學效果。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 祁衛(wèi)紅，羅彩玲．微積分的產(chǎn)生與發(fā)展[J]．山西廣播電視大學學報，2003,35(4):103-104.</p><p>　　[2] 李忠海，魏雅坤．試論高師數(shù)學系數(shù)學教學的基本原則[J]．沈陽師范學院學報：自然科學版，1995,

91、13(3):15-22.</p><p>　　[3] 張楠，羅增儒．對數(shù)學史與數(shù)學教育的思考[J]．數(shù)學教育學報，2006，12（3）:72-75.</p><p>　　[4] 周恩超．ＨＰＭ的創(chuàng)立與發(fā)展[J]．數(shù)學教學，2005,20(4):44-46.</p><p>　　[5] 戰(zhàn)黎榮，趙田夫．關(guān)于第二類曲線積分教學的探討[J]．喀什師范院學報，2003，24

92、（6）:97-98.</p><p>　　[6] 華東師范大學數(shù)學系．數(shù)學分析（第三版）[M]．高等教育出版社，2001.</p><p>　　[7] 同濟大學數(shù)學教研室．高等數(shù)學（第三版）[M]．北京.高等教育出版社．1998.</p><p>　　[8] 劉曉妍．“兩類曲線積分之間的聯(lián)系”中“夾角”與“轉(zhuǎn)角”的差異[J]．高等數(shù)學研究，2003，6（1）:27-

93、29.</p><p>　　[9] 徐勝榮．從幾何上理解第二類曲線積分的計算[J]．山東水利?？茖W校學報，1999，11（2）:62-63.</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　大學四年學習時光已經(jīng)接近尾聲，在此我想對我的母校，我的父母、親人們，我的老師和同學們表達我由衷的謝意。感謝我的家人對我大學四年學習的默默支持；

94、感謝我的母校南昌工程學院給了我在大學四年學習的機會，讓我能繼續(xù)學習和提高；感謝所有的老師和同學們四年來的關(guān)心和鼓勵。老師們課堂上的激情洋溢，課堂下的諄諄教誨；同學們在學習中的認真熱情，生活上的熱心主動，所有這些都讓我的四年充滿了感動。這次畢業(yè)論文設(shè)計我得到了很多老師和同學的幫助，其中我的論文指導(dǎo)老師邸振老師對我的關(guān)心和支持尤為重要。每次遇到難題，我最先做的就是向邸老師尋求幫助，而邸老師每次不管忙或閑，總會抽空來找我面談，然后一起商量解決

95、的辦法。邸老師平日里工作繁多，但我做畢業(yè)設(shè)計的每個階段，從選題到查閱資料，論文提綱的確定，中期論文的修改，后期論文格式調(diào)整等各個環(huán)節(jié)中都給予了我悉心的指導(dǎo)。這幾個月以來，邸老師在學業(yè)和生活上給我以精心指導(dǎo)。同時，感謝所有任課老師和所有同學在這四年來給自己的指導(dǎo)和幫助， 是他們教會了我專業(yè)知識，教會了我如何學習，教會了我如何做人。正是由于他們，我才能在各方面取得顯著的進步，在此向他們表示我由衷的謝意，并祝所有的老師培</p>