logistic模型

1、<p>　　按Logistic規(guī)律建立兩種群依存模型</p><p>　　摘要：自然界中處于同一環(huán)境下的兩個種群相互依存而共生的現(xiàn)象是很普遍的，在兩種群共生依存的條件下又可以將其分為三類。例如，人類與植物二者可以獨(dú)立生存，當(dāng)兩者在一起是可以促進(jìn)增長。植物可以獨(dú)立生存，但昆蟲的受粉作用又可以提高植物的增長率，而昆蟲卻不能離開植物單獨(dú)存活。豆科植物和根瘤菌都不能獨(dú)立生存，只有在一起才能共生。豆科植物供給根瘤

2、菌碳水化合物，根瘤菌供給植物氮素養(yǎng)料，從而形成互利共生關(guān)系。通過分析以上三種關(guān)系，按logistic增長規(guī)律分別建立相應(yīng)的模型，分析其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，并運(yùn)用matlab軟件作數(shù)值解及圖形，驗(yàn)證平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的結(jié)論。</p><p>　　關(guān)鍵詞：相互依存 三種關(guān)系 logistic模型 平衡點(diǎn) 穩(wěn)定性</p><p><b>　　一、問題提出：</b>&l

3、t;/p><p>　　自然界中的兩種群存在關(guān)系有相互競爭、相互依存、食餌捕食。其中相互依存又包括：甲乙均可獨(dú)立生存，在一起時相互促進(jìn)；甲可以獨(dú)立生存而乙不可以獨(dú)立生存在一起相互促進(jìn)增長；甲乙都不可以獨(dú)立生存，在一起相互促進(jìn)增長。按照Logistic規(guī)律建立兩種群相互依存的三種模型。</p><p><b>　　模型假設(shè)</b></p><p>　　

4、1.假設(shè)第一類情況為甲乙均可獨(dú)立生存，在一起時相互促進(jìn)；</p><p>　　2.假設(shè)第二類情況為甲可以獨(dú)立生存而乙不可以獨(dú)立生存在一起相互促進(jìn)增長；</p><p>　　3.假設(shè)第三類情況為甲乙都不可以獨(dú)立生存，在一起相互促進(jìn)增長；</p><p>　　4.種群數(shù)量的演變遵從Logistic規(guī)律。</p><p><b>　　三、

5、符號說明</b></p><p>　　——甲種群在t時刻的數(shù)量；</p><p>　　——乙種群在t時刻的數(shù)量；</p><p>　　——環(huán)境資源容許甲種群的最大數(shù)量；</p><p>　　——環(huán)境資源容許乙種群的最大數(shù)量；</p><p>　　——甲種群的固有增長率；</p><p&g

6、t;　　——乙種群的固有增長率；</p><p>　　——單位數(shù)量乙提供的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量甲消耗的供養(yǎng)甲食物量的倍；</p><p>　　——單位數(shù)量乙提供的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量甲消耗的供養(yǎng)甲食物量的倍；</p><p><b>　　模型建立</b></p><p>　　4.1模型一：甲乙均可獨(dú)立生存，在一起

7、時相互促進(jìn)。</p><p>　　甲可以單獨(dú)生存，按照logistic增長規(guī)律種群甲的演變數(shù)量規(guī)律可以寫作</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　其中，－表示甲種群自生的阻滯作用。</p><p>　　由于乙種群的存在對甲種群的增長起到了促進(jìn)作用，所以方程(1)可改進(jìn)為：</p>

8、<p><b>　?。?）</b></p><p>　　其中，表示乙不是消耗甲的資源而是為甲提供資源。</p><p>　　種群乙可以獨(dú)立生存，所以乙的增長規(guī)律類似種群甲，即為：</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　綜合方程（2）、（3）可得第一類情況的模型：&

9、lt;/p><p>　　4.2模型二：甲可以獨(dú)立生存而乙不可以獨(dú)立生存在一起相互促進(jìn)增長。</p><p>　　在模型一的基礎(chǔ)上我們可以知道對于種群甲的生長規(guī)律為：</p><p><b>　　（2）</b></p><p>　　而對于種群乙就有所不同，種群乙沒有甲的存在會死亡，則乙單獨(dú)存活時有：</p>&l

10、t;p><b>　　（4）</b></p><p>　　甲為乙提供食物，于是（4）右端應(yīng)該加上甲對乙的增長的促進(jìn)作用，有</p><p><b>　　（5）</b></p><p>　　顯然僅當(dāng)時種群乙的數(shù)量才會增長。與此同時乙的增長又會受到自身的阻滯作用，所以（5）右端還應(yīng)加上logistic項(xiàng)，方程變?yōu)?lt;/

11、p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　綜合方程（2）、（6）可得第二類情況的模型：</p><p>　　4.3模型三：甲乙都不可以獨(dú)立生存，在一起相互促進(jìn)增長。</p><p>　　在模型二的基礎(chǔ)上我們已知對于乙種群模型仍為：</p><p><b>　?。?）<

12、/b></p><p>　　種群甲不能單獨(dú)生存，則甲單獨(dú)生存時有：</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　乙為甲提供食物，于是（7）右端應(yīng)該加上乙對甲的增長的促進(jìn)作用，有</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　顯然僅當(dāng)

13、時種群甲的數(shù)量才會增長。與此同時甲的增長又會受到自身的阻滯作用，所以（8）右端還應(yīng)加上logistic項(xiàng)，方程變?yōu)?lt;/p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　綜合方程（6）、（9）可得第三類情況的模型：</p><p><b>　　模型求解及分析</b></p><p>　　我

14、們求解模型方程的平衡點(diǎn)，并討論其穩(wěn)定性，從而對兩種群的變化趨勢作出判斷。為此，給出求解平衡點(diǎn)的方法：</p><p>　　記： （1）</p><p><b>　?。?） </b></p><p>　　并且，令： 求解即可得到平衡點(diǎn)。</p>

15、<p>　　對于平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析方法如下：</p><p>　　將平衡點(diǎn)代入矩陣A中，記 p等于矩陣A主對角線元素之和的相反數(shù)；p為行列式的值。</p><p><b>　　穩(wěn)定的條件：。</b></p><p><b>　　5.1求解模型一</b></p><p><b>

16、;　　根據(jù)以上方法，令：</b></p><p>　　求解出模型一的平衡點(diǎn)為：</p><p>　　進(jìn)而檢驗(yàn)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性：</p><p><b>　　記 = </b></p><p>　　將平衡點(diǎn)代入可得以下平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性表：</p><p>　　5.1.1用matlab軟件作

17、出模型一的數(shù)值模擬如下：</p><p><b>　　數(shù)值解的圖形</b></p><p><b>　　相軌線圖</b></p><p>　　由以上可知，由于，所以都不穩(wěn)定，只有在的情況下，平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。此時甲、乙兩種群將分別趨向于非零的有限值；否則由于二者均能獨(dú)立生存又相互提供食物，將使二者均趨向無窮。MATLABL代

18、碼詳見附錄一。</p><p>　　5.2求解模型二：按照平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性的求法</p><p><b>　　令：</b></p><p><b>　　可得穩(wěn)定點(diǎn)為：</b></p><p>　　進(jìn)而檢驗(yàn)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性：</p><p><b>　　=</b&g

19、t;</p><p>　　將平衡點(diǎn)代入可得模型二的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性表：</p><p>　　對于不符合實(shí)際情況，所以不加以討論。</p><p>　　5.2.1用matlab軟件作出模型二的數(shù)值模擬如下：</p><p><b>　　數(shù)值解的圖形 </b></p><p><b>　　相

20、軌線圖</b></p><p>　　上圖為平衡點(diǎn)滿足時的圖形。表明甲種群可以獨(dú)立生存，乙種群為甲提供食物使甲增長的速度提高，但是由于受到自身的阻滯作用甲始終趨于一個極限值。而乙種群不能獨(dú)立生存，雖然甲會促進(jìn)乙生存，但是幅度較小，當(dāng)甲趨于極限值時乙種群趨于0. MATLABL代碼詳見附錄二。</p><p>　　當(dāng)平衡點(diǎn)滿足時圖形為：</p><p>&l

21、t;b>　　數(shù)值解的圖形 </b></p><p><b>　　相軌線圖</b></p><p>　　由于所以乙種群的增長也得到了明顯的提高。在初期乙為甲提供食物所以甲增長較快，乙增長較慢。穩(wěn)定之后甲乙都相互促進(jìn)增長。MATLABL代碼詳見附錄三。</p><p>　　5.3求解模型三： </p><p&

22、gt;<b>　　令：</b></p><p>　　求解可得以下四個平衡點(diǎn)：</p><p><b>　　=</b></p><p>　　將平衡點(diǎn)代入得到模型三的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性表：</p><p>　　對于不符合實(shí)際情況，所以不加以討論。</p><p>　　5.3用matla

23、b軟件作出模型二的數(shù)值模擬如下：</p><p><b>　　數(shù)值解的圖形</b></p><p><b>　　相軌線圖</b></p><p>　　由于無論取何值p1都是穩(wěn)定的，所以只要求。甲乙隨著時間的無限延長最終都趨于0。MATLABL代碼詳見附錄四。</p><p><b>　　模

24、型評價</b></p><p>　　模型優(yōu)點(diǎn)：1.建立模型步驟嚴(yán)謹(jǐn)，淺顯易懂；</p><p>　　2.模型求解詳細(xì)易于理解；</p><p>　　3.模型類型僅扣實(shí)際，適合應(yīng)用在實(shí)際生活中。</p><p><b>　　模型不足：</b></p><p>　　由于對相關(guān)知識掌握的不夠

25、，所以在模型解釋上存在一些不足，不易于讀者正確理解。因時間倉促對本文分析的不夠完善，例如未對相軌線圖作詳細(xì)的分析。</p><p><b>　　七、參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1] 姜啟源,謝金星, 葉俊.數(shù)學(xué)模型.北京:高等教育出版社, 2003:184-192.</p><p><b>　　附錄：</b>

26、</p><p><b>　　附錄一：</b></p><p>　　>> ts=0:2:50;</p><p>　　>> x0=[25,2];</p><p>　　>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],</p><p

27、><b>　　ans =</b></p><p>　　0 25.0000 2.0000</p><p>　　2.0000 105.3790 15.5816</p><p>　　4.0000 205.0475 98.2684</p><p>　　6.0000 289.4642 224.110

28、4</p><p>　　8.0000 325.7180 260.3732</p><p>　　10.0000 332.2684 265.8086</p><p>　　12.0000 333.2129 266.5241</p><p>　　14.0000 333.4804 266.5749</p><p>

29、;　　16.0000 333.3835 266.6405</p><p>　　18.0000 333.2735 266.6901</p><p>　　20.0000 333.1187 266.7549</p><p>　　22.0000 333.3276 266.6692</p><p>　　24.0000 333.3732

30、 266.6508</p><p>　　26.0000 333.2809 266.6884</p><p>　　28.0000 333.2330 266.7095</p><p>　　30.0000 333.2507 266.7002</p><p>　　32.0000 333.3662 266.6538</p>

31、<p>　　34.0000 333.3651 266.6540</p><p>　　36.0000 333.3322 266.6677</p><p>　　38.0000 333.3643 266.6541</p><p>　　40.0000 333.2974 266.6812</p><p>　　42.0000

32、 333.3749 266.6502</p><p>　　44.0000 333.3846 266.6461</p><p>　　46.0000 333.4615 266.6145</p><p>　　48.0000 333.4249 266.6280</p><p>　　50.0000 333.3734 266.6505

33、</p><p>　　>> plot(t,x),grid,gtext('x(1)'),gtext('x(2)'),</p><p><b>　　>> pause,</b></p><p>　　>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,</p><

34、;p><b>　　附錄二：</b></p><p>　　>> ts=0:2:50;</p><p>　　>> x0=[25,2];</p><p>　　>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],</p><p><b>　　

35、ans =</b></p><p>　　0 25.0000 2.0000</p><p>　　2.0000 102.8557 0.3032</p><p>　　4.0000 177.3636 0.0549</p><p>　　6.0000 196.6121 0.0109</p>&l

36、t;p>　　8.0000 199.5351 0.0022</p><p>　　10.0000 199.9370 0.0004</p><p>　　12.0000 199.9915 0.0001</p><p>　　14.0000 199.9988 0.0000</p><p>　　16.0000 199

37、.9998 0.0000</p><p>　　18.0000 200.0000 0.0000</p><p>　　20.0000 200.0000 0.0000</p><p>　　22.0000 200.0000 -0.0000</p><p>　　24.0000 200.0000 0.0000</

38、p><p>　　26.0000 200.0003 -0.0000</p><p>　　28.0000 199.9999 0.0000</p><p>　　30.0000 200.0019 -0.0000</p><p>　　32.0000 200.0031 -0.0000</p><p>　　34

39、.0000 199.9952 0.0000</p><p>　　36.0000 200.0255 -0.0000</p><p>　　38.0000 199.9759 0.0000</p><p>　　40.0000 200.0333 -0.0000</p><p>　　42.0000 199.9674 0

40、.0000</p><p>　　44.0000 200.0271 -0.0000</p><p>　　46.0000 200.0203 0.0000</p><p>　　48.0000 200.0183 -0.0000</p><p>　　50.0000 199.9520 0.0000</p><

41、;p>　　>> plot(t,x),grid,gtext('x(1)'),gtext('x(2)'),</p><p><b>　　>> pause,</b></p><p>　　>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,</p><p><b>

42、　　附錄三：</b></p><p>　　>> ts=0:2:50;</p><p>　　>> x0=[25,2];</p><p>　　>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],</p><p><b>　　ans =</b>

43、</p><p>　　0 25.0000 2.0000</p><p>　　2.0000 102.8865 0.5458</p><p>　　4.0000 177.4448 0.4234</p><p>　　6.0000 196.7348 0.5577</p><p>　　8.0000

44、 199.7029 0.8162</p><p>　　10.0000 200.1918 1.2116</p><p>　　12.0000 200.3596 1.8003</p><p>　　14.0000 200.5580 2.6707</p><p>　　16.0000 200.8855 3.9496

45、</p><p>　　18.0000 201.2064 5.8256</p><p>　　20.0000 201.8049 8.5367</p><p>　　22.0000 202.5714 12.4182</p><p>　　24.0000 203.7944 17.8492</p><p>

46、;　　26.0000 205.4379 25.2655</p><p>　　28.0000 207.5344 35.0745</p><p>　　30.0000 210.5495 47.3570</p><p>　　32.0000 213.6199 62.2713</p><p>　　34.0000 217.7631

47、 78.8521</p><p>　　36.0000 222.1127 96.4131</p><p>　　38.0000 226.4966 113.8493</p><p>　　40.0000 230.7923 130.0729</p><p>　　42.0000 234.6231 144.5137</p>

48、<p>　　44.0000 237.9099 156.8056</p><p>　　46.0000 240.5832 166.9465</p><p>　　48.0000 242.8035 174.9723</p><p>　　50.0000 244.7277 181.0470</p><p>　　>>

49、; plot(t,x),grid,gtext('x(1)'),gtext('x(2)'),</p><p><b>　　>> pause,</b></p><p>　　>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,</p><p><b>　　附錄四：</b>

50、;</p><p>　　>> ts=0:2:50;</p><p>　　x0=[25,2];</p><p>　　[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],</p><p><b>　　ans =</b></p><p>　　0 25.000

51、0 2.0000</p><p>　　2.0000 3.0676 0.2824</p><p>　　4.0000 0.4103 0.0384</p><p>　　6.0000 0.0555 0.0052</p><p>　　8.0000 0.0075 0.0007</p>&

52、lt;p>　　10.0000 0.0010 0.0001</p><p>　　12.0000 0.0001 0.0000</p><p>　　14.0000 0.0000 0.0000</p><p>　　16.0000 0.0000 0.0000</p><p>　　18.0000

53、 0.0000 0.0000</p><p>　　20.0000 -0.0000 -0.0000</p><p>　　22.0000 -0.0000 -0.0000</p><p>　　24.0000 -0.0000 -0.0000</p><p>　　26.0000 -0.0000 -0.0000<

54、;/p><p>　　28.0000 -0.0000 -0.0000</p><p>　　30.0000 0.0000 0.0000</p><p>　　32.0000 0.0000 0.0000</p><p>　　34.0000 0.0000 0.0000</p><p>　　

55、36.0000 -0.0000 -0.0000</p><p>　　38.0000 0.0000 0.0000</p><p>　　40.0000 -0.0000 -0.0000</p><p>　　42.0000 0.0000 0.0000</p><p>　　44.0000 -0.0000

56、-0.0000</p><p>　　46.0000 0.0000 0.0000</p><p>　　48.0000 0.0000 0.0000</p><p>　　50.0000 0.0000 0.0000</p><p>　　>> plot(t,x),grid,gtext('x(1)&