關于微積分思想在高中數學中的應用 數學畢業(yè)論文

1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設計）</p><p>　　題 目 微積分思想在高中數學中的應用 </p><p>　　院（系） 數學系 </p><p>　　專 業(yè) 數學與應用數學 </p><p>　　學生姓名

2、 xxxxxxxxxxxxx </p><p>　　學 號 </p><p>　　指導教師 xxxxxxxxxxxx 職稱 xxxxxxxxxxxxxxxxx </p><p>　　完成

3、日期: 年 月 日</p><p>　　微積分思想在高中數學中的應用</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　如今，微積分這一部分已經成為了高中數學教材中較為重要的一知識部分。教學大綱中已經將微積分的部分知識正式提出，相應的教材也出版了多次。微積分是理工科大學生的必修課程，而高中開設的微積分，對大學微積分

4、教學產生了很多很重要的影響。同時，利用微積分可以解決許多初等數學中的問題，如在函數；方程；數列；曲線等都有很多應用。微積分有助于初等數學的深入學習。目前高考中的一個熱門就是利用微積分來處理初等數學中的值域問題及不等式問題。所以，如何開設高中微積分課程，如何完成從初等數學到高等數學上的一個基本過渡，這是一個很值得研究的問題。本文就在此背景下研究這個問題，力求在教育思想、教育理念上達到一個升華。</p><p>　　

5、關鍵詞：微積分；新課標；高中數學；函數；方程；數列；曲線；不等式</p><p>　　The application of calculus in high-level mathematics</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Now infinitesimal calculus has become a

6、 pretty important part in high school textbook．In teaching program，infinitesimal calculus is raised and be published in textbook three times．Especially in the new standard for course，infinitesimal calculus has been a key

7、 point．And，infinitesimal calculus is a obligatory course for science students in university。The set up of infinitesimal calculus in high school took affect for university study a lot．Infinitesimal calculus could solve ba

8、sic mathematics probl</p><p>　　Key words：infinitesimal ；calculus ；new standard of course ；function ；function ；equation ；progression ；curve</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　

9、　中文摘要.................................. .................Ⅰ</p><p>　　英文摘要................................. ..................Ⅱ</p><p>　　引言................................... .....................

10、1</p><p>　　1.問題的提出與研究綜述................... ...................1</p><p>　　1.1研究背景.................................................1</p><p>　　1.2微積分在高中的教學與研究綜.........................

11、......2</p><p>　　1.2.1中學微積分課程的教學現狀. ..............................2</p><p>　　1.2.2 我國中學微積分的教學研究現狀.. ........................2</p><p>　　1.2.3 中學微積分的學習現狀........... ..................

12、.....3</p><p>　　2.導數在高中數學的應用................ ......................3</p><p>　　2.1導數在函數單調性問題上的應用.............................4</p><p>　　2.2利用導數求函數的極值問題...............................

13、..4</p><p>　　2.3導數關于方程解的應用.....................................6</p><p>　　2.4導數在曲線的切線問題上的應用.............................7</p><p>　　2.5導數在數列問題上的應用...................................8

14、</p><p>　　2.6導數在不等式問題上的應用................................10</p><p>　　3.積分在高中數學的應用..... ................................10</p><p>　　3.1定積分在幾何中的應用....................................1

15、1</p><p>　　3.2定積分在物理中的應用....................................11</p><p>　　4.結論與展望............ ...................................13</p><p>　　參考文獻. ....................................

16、..............14</p><p><b>　　引 言</b></p><p>　　微積分的建立是離不開實數、函數和極限的。在古代的時候就有極限和微積分的概念，從十七世紀后半葉起，經過長期的發(fā)展演變，才得以嚴密化。微積分的發(fā)展與實際應用有著密不可分的聯系，隨著社會的進步發(fā)展，微積分在天文學、力學、物理學、化學、生物學、工程學、經濟學學等自然科學都有廣泛

17、的應用。微積分不僅在自然科學、社會科學及應用科學各個分支等也起到很大的作用，在數學方面的發(fā)展更是提供了極大的推動。計算機的出現，更有助于這些應用的不斷發(fā)展，在研究這些變化著的量時數學也就進入了“變量數學”時代。一門漸漸完善的學科——微積分，越來越受到人們的關注，也就有了越來越多的人不斷研究、應用微積分思想。</p><p>　　1.問題的提出與研究綜述</p><p><b>　

18、　1.1 研究背景</b></p><p>　　微積分在天文學、力學、物理學、化學、生物學、工程學、經濟學學等自然科學都有廣泛的應用。它推動了人類科學的進步，使人類經濟、社會生活都取得較快的發(fā)展。在當今競爭激烈的高考中，微積分成為高考考查的一個重點、難點。微積分所具有的教育價值是需要我們重視的，它使得我們能夠更全面的認識數學價值。新中國成立以后，隨著課程改革微積分經過多次修改才被正式列入中學教材內容

19、。在2003的課程改革中，微積分內容又進行了修改，并且改名為導數及其應用。</p><p>　　在2006年可以看到不少關于學生在學習微積分的認知心理過程的文章。專門研究中學微積分教學方面的論文在2009年之后也出現不少。當前已經有不少專家對微積分的教學現狀進行了調查研究,并提出了一些中可供參考的教學策略。通過對以上內容的分析研究，我決定從微積分思想在高中數學的應用這一方面做深入的探討。</p>&

20、lt;p>　　1．2 微積分在高中的教學與研究</p><p>　　1.2.1微積分在中學課程的教學現狀</p><p>　　微積分出現在很多國家的高中課程中。德、英、法都把微積分設為必修課，并且在內容安排上都是比較深奧的。美國和日本雖然把它設為選修課，但高考的范圍里面也包含微積分。別的許多國家也把微積分寫入了高中教材中。</p><p>　　在我國，微積分

21、在高中課程的教學并不是一帆風順的。我國的高中數學課程水平也是起起落落，微積分在其中也扮演著不同的角色。經過多次改革，很多高等數學知識在高中教材中出現了，微積分成為高中了教學的內容之一。受我國國情和中學數學教學情況的影響，微積分又在教學教材中消失了一段時間。在文化大革命結束后，新的教學大綱即“試行草案”新鮮出爐了，微積分再一次被編入高中教材。經過幾年的試驗之后，又發(fā)現了一個問題，即老師和學生都不能適應新的教學內容。微積分在1983年底又改

22、成了選學內容，盡由各個學校自由選擇，只是保留了要求比較低的極限這一內容。</p><p>　　近年來受到高考的影響，微積分被很多高中作為在高中課程必須學習的功課，微積分的教學也被真正被重視起來。</p><p>　　1.2.2 微積分在我國中學教學研究現狀</p><p>　　通過對我國中學教學研究，很多專家認為，微積分的課程在高中時期應包含實數連續(xù)統(tǒng)、極限和函數、

23、導數及其意義、導數的運算及其運用、通過微積分認識中學數學、微積分所具含的文化價值。 </p><p>　　在對教師如何給高中生講授微積分這一問題，其中匡繼昌老師在他的論文中進行了討論，匡繼昌是湖南師范大學的一名教授。他提出了一些新的思路：第一、在給高中生講授微積分課程時，要做到在學生的接受、理解的基礎上講授與大學課程相銜接的內容；第二、高中微積分課程應該以基礎課程為主，這樣可以降低學生學習的難度，教師也能有更

24、多的時間講授微積分的應用方面的知識；第三、教師在教授微積分概念和微積分思想的時候不能只是單單按照課本念，應該做充分準備性說明，更好的讓學生理解接受；第四、微積分應該作為高中的必修課來學習。</p><p>　　張曉波的碩士學位論文在教學方面作了研究，在他的論文中講述了我國與西方國家的微積分教學的不同之處，研究了新的教學大綱和微積分在高考要求之后，對如何在高中進行微積分的教學作了探討。他提出的教學策略有：(1)首先

25、要給學生貫入變量思維的數學觀，深化對概念的理解記憶；(2)防止學生在學習微積分時只是記住一些公式和結論；(3)讓學生理解微積分在高中數學的重要性；（4)加強對數學的文化的滲透.在對微積分教學設計上面可以多采用問題教學法進入到對微積分的學習。</p><p>　　我國有好多專業(yè)人士在微積分這一知識做了大量的探索研究，但是對微積分思想在高中數學的應用這一方面的研究卻不多，該論文主要對其應用進行研究。</p>

26、;<p>　　1.2.3 中學微積分的學習現狀</p><p>　　在高中數學的教學中，微積分是在學完必修課本以后，在選修內容中進行學習的。微積分近些年來已經成為高考必考點，老師和學生在平時學習中也對它足夠重視。在客觀上講，學生已經能夠理解極限的思想、運動變化的思想，這就使得學生在理解導數、積分等重要概念的可能性大大提高了。經過對必修內容的學習學生已經具備了函數知識的基礎。用極限的思想來研究函數是微

27、積分的表現形式，而構建一種運動變化模型則是函數。但由于學生對運動變化的認識層面不高，而函數突出表現了函數關系和函數性質，因此對客觀事物數學形式的認識是不夠全面的。在高中教材中微積分主要突出了對變化率的研究，用導數的大小來表示一些生活事物的變化快慢。微積分內容在高中教材中有一專題，即利用微積分中的導數這個知識點來探究函數的基本性質，學生通過觀察函數圖像的切線斜率的大小來判斷函數的單調性和極值等性質。很多學者經過對全國各地的高中生進行了大量

28、的問卷調查研究，發(fā)現絕大部分的學生微積分的掌握還是很好的，對微積分的思想理解的很好，能夠很好的利用微積分解決一些比較復雜的難題。</p><p>　　導數在高中數學的應用</p><p>　　導數是高中教學的一個重點、難點內容。在關于函數單調性問題上的應用、關于函數的極值問題的應用、關于方程解的應用、在曲線的切線問題上的應用、在數列問題上的應用、在不等式問題上的應用等都可以很好的利用導數這

29、個重要工具來解決。近幾年來不斷加強了導數在高考中的考查，在題目所占的比重和難度上都有很大的提高，我國各個地區(qū)的高考題中都有關于導數的試題。導數是微積分的核心概念之一，導數在實際生活中也有著非常廣泛的應用。學生要能夠正確理解導數的概念，確切把握導數的思想；能夠很好的運用導數解決一些數學問題。高中生應該熟記一些基本初等函數的導數，如：（1）（是常數）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）<

30、/p><p>　　2．1 導數在函數單調性問題上的應用</p><p>　　在研究一個函數時，我們首先要研究的應該是它的單調性，單調性在中學數學中有著非常廣泛的應用。判定一個函數的單調性通常有兩種方法：一、可以直接根據函數的定義判斷其單調性；二、導數法，在某一區(qū)間內對可導函數進行求導，然后判斷在導數的大小。導數大于零，函數為增函數，函數小于零則函數為減函數。其中方法一在化簡過程中比較為繁瑣，容

31、易出錯，在解決一些抽象函數的單調性問題時較為常用。而用導數知識進行判斷函數的單調性時，則比較簡單快捷，尤其是在對于一些具體函數時更加適用。</p><p>　　例1、函數的單調遞增區(qū)問是 ( )</p><p>　　A．(，2)；B．(0，3)；C．(1，4)；D．(2，)</p><p>　　分析：在求函數單調區(qū)間時，首先對函數進行求導，這樣就把求函數單調區(qū)間

32、的問題轉變成解不等式的問題。</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　令，得</b></p><p>　　所以的單調增區(qū)間為(2，）故選D。</p><p>　　例2、有一函數為 ，試判斷該函數的單調區(qū)間。</p><p><b>　　

33、解：</b></p><p><b>　　令，即，解得；</b></p><p><b>　　又令即，解得</b></p><p>　　故該函數的單調增區(qū)間為和</p><p>　　單調減區(qū)間為（-1,1）</p><p>　　小結：對一些比較復雜的函數單調性問題

34、，可以配合數軸進行觀察。</p><p>　　2．2利用導數求函數的極值問題</p><p>　　在包含的一個區(qū)間內，函數在任何一點的函數值都不大于點的函數值，稱點為函數的極大值點，其函數值為函數的極大值。同理也可以得到極小值的概念，極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。如何利用導數，來求極值的問題，解題時可分為三步：</p><p>　　（1）對原函數求導數；</p&g

35、t;<p><b>　?。?）求方程的根；</b></p><p>　　（3）解得方程=0的每一個解，判斷在左、右兩側的符號，來確定極值點，進而求得函數的極值。</p><p>　　A.如果在左側的符號為正，右側符號為負，那么為極大值點，為極大值。</p><p>　　B.如果在左側的符號為負，右側符號為正，那么為極小值點，為極小

36、值。</p><p>　　C.如果在左右兩側的符號是相同的，那么不是極值點，該函數也沒有極值。</p><p>　　例3、已知函數，(0，e]，分別求出該函數的極值與最值。</p><p>　　解：因為令，得 ，又因為</p><p>　　從列表中可以知道，為函數的極小值點，</p><p>　　當時，<0，所

37、以在區(qū)問(0，e]上最大值為e，最小值為</p><p>　　例4、 因為是函數的一個極值點，那么實數的值是多少？</p><p>　　解：因為，所以因此=16．</p><p>　　例5、有一可導函數，其定義域為[2,2]，求該函數的最值。</p><p><b>　　解：</b></p><p&g

38、t;<b>　　令=0解得</b></p><p><b>　　列表</b></p><p>　　因此，在求一個閉區(qū)間[a，b]內可導函數的最值問題時，可用下面的方法。先求出函數在開區(qū)間內的極值，再判斷函數的各極值與區(qū)間端點的函數值大小，這樣就很容易得到函數的最值。</p><p>　　2．3利用導數解決方程解問題<

39、/p><p>　　(1)在方程根的個數問題上，可以把方程看作一個函數，再對其進行求導，判定其單調性，然后判斷該函數在區(qū)間端點與零的大小，進而求出其根的個數。</p><p>　　例6、已知，方程，求該方程在[0，2]上有幾個根?</p><p><b>　　解；設=，則</b></p><p><b>　　當且時，

40、</b></p><p>　　故在區(qū)間上為減函數，</p><p><b>　　因為在處都連續(xù)，</b></p><p><b>　　且， ，</b></p><p>　　所以在[0，2]上只有一個根。</p><p>　　(2)在求出方程實根的近似值的問題時，可

41、以利用切線法(牛頓法)進行解決。把方程看作是一個曲線函數，曲線弧可以用曲線弧一端的切線來代替，進而求出方程實根的近似值，這種方法叫做切線法(牛頓法)。</p><p>　　例7、求方程的近似解．</p><p>　　解：假設，可以知道方程=0，的唯一根在開區(qū)間 之中，取，牛頓法的迭代公式為，則</p><p>　　2. 4導數在曲線的切線問題上的應用</p&g

42、t;<p>　　導數的幾何意義主要是指曲線某一點的切線斜率即這一點的導數。對于一個導數的幾何意義就是點在曲線處的切線的斜率，且過點的切線方程為。導數用某一點的切線把函數知識和幾何知識建立了聯系。已知有一曲線C:,求過一點的曲線的切線方程。其步驟為：</p><p>　　第一步：把點代入曲線方程，看該點是否在曲線C上；</p><p><b>　　第二步：求導數；&l

43、t;/b></p><p>　　第三步：如果點滿足函數，即點在曲線上，則所求切線方程為；若點不在曲線上，可設切點為，由，解出，進而確定過的曲線的切線方程為。</p><p>　　例8、已知曲線，點(0，1)在該曲線上，求該點處的切線方程。</p><p>　　解：先對曲線函數求導得：</p><p>　　把點(0，1)代入求導函數，得到

44、該點處的斜率為，則該點處切線方程為，即．</p><p>　　例9、若曲線存在垂直于軸的切線，那么實數的取值范圍是（ ）</p><p>　　分析：本題主要考查如何利用導數求曲線的切線的逆向思維。</p><p>　　解：通過對曲線函數求導可得，因為垂直于軸的切線存在。所以</p><p><b>　　得出得出</b>

45、;</p><p>　　例10、求曲線C：的切線方程。</p><p>　　解：把點代入曲線的函數式中發(fā)現點不在曲線C上，可設切點為，</p><p><b>　　因為，</b></p><p><b>　　所以切線斜率，</b></p><p><b>　　故切線

46、方程為，</b></p><p><b>　　則，解得：</b></p><p><b>　　所以切線方程為 和</b></p><p>　　這三個例題都是考導數的幾何意義，題型雖然較為簡單，但是考查內容卻不簡單，這種題型在填空題中也經常出現，比較典型不容忽視。</p><p>　　2．

47、5導數在數列問題中的應用</p><p>　　數列本身是一種特殊的函數,所以我們可以應用導數在解函數問題的思路解決一些較為麻煩的數列問題。在一些數列問題中無論用什么傳統(tǒng)方法去解題，計算量都比較大，如果改用導數去解，就會變的容易很多。</p><p>　　例11、在一個數列中，其中,那么數列的通項公式是什么？</p><p>　　分析：如果此題用傳統(tǒng)方法解決，就會比較

48、慢。我們可以試著用導數法來求解。</p><p>　　解：先對公式的兩邊分別求關于的導數得；。令，則有，兩邊再對求導得：兩邊對積分得：.再對積分得把分別代入的公式并令</p><p>　　例12、求數列1，，，······ ，的和(其中)．</p><p>　　分析：可以用傳統(tǒng)的錯位相減法求和，但會比較麻煩

49、。若是用導數方法運算，會使問題得到更好的解決。</p><p>　　解：把和看作是兩個函數，則，即是的導數，可先求數列的前項和．當 時，</p><p>　　然后等式兩邊同時對求導，有</p><p>　　例13、有一等差數列，首項與公差d都是正整數，且滿足對任意，都有，(1)求數列的前n項的和；(2)求數列的最小項．</p><p>　　分

50、析：第一小問比較簡單，在解最后一問時，可以先把數列看成是一個函數，然后求出該函數的極小值，所得極小值即是所求的項。</p><p><b>　　解：（1）注意到</b></p><p>　　對任意恒成立則，，解得d=1</p><p><b>　　設，</b></p><p><b>　　

51、當時，當5時</b></p><p><b>　　故</b></p><p>　　在利用導數解答數列問題時，一定要仔細觀察數列的結構特征，聯想求導公式建立對應的函數式，再對函數式的不同的表達式求導來解決問題。利用導數法解決有關較難的數列問題更方便簡單。</p><p>　　2.6導數在不等式問題上的應用</p><

52、;p>　　在碰到一些不等式證明的題目，可以轉換成函數的證明。然后對函數求導，利用函數相關的性質來證明一些不等式或者是解決一些不等式恒成立的問題等。</p><p><b>　　例14、求證：時，</b></p><p>　　證明：要證，則證成立即可，</p><p><b>　　設，</b></p>&

53、lt;p><b>　　由</b></p><p><b>　　所以在上為增函數</b></p><p><b>　　所以的最小值為</b></p><p><b>　　所以</b></p><p>　　即成立。故時不等式成立</p>&

54、lt;p>　　3.積分在高中數學中的應用</p><p>　　在高中階段定積分是微積分的一部分，定積分的主要應用如下：(1)求曲邊形的面積、不同時間的變力做功等；(2)通過實例，更加真實的體會微積分基本定理的含義；(3)了解微積分所具有的文化價值。由此我們看到，在高中時期學習定積分，主要是粗淺地了解它的主要思想和一些基本用法，定積分在解決問題所起的工具作用在通過一些實例可以體現出來。近幾年全國地區(qū)的高考試題

55、，主要考查利用定積分求曲邊形的面積。計算定積分的方法有三種：第一種方法是應用定積分的定義，通過分割、求和、取極限來達到目的；第二種方法是通過計算被積函數的原函數在積分區(qū)間上函數值的增量來得到積分值；第三種方法是利用定積分的幾何意義，通過數形結合的思想，計算定積分。</p><p>　　3.1定積分在幾何中的應用</p><p>　　假設被積函數為，曲線與直線和軸所圍成的曲邊形的面積為。&l

56、t;/p><p><b>　　如果，則</b></p><p><b>　　如果，則</b></p><p><b>　　如果，，，，則</b></p><p>　　例15、有一曲邊形是由拋物線與直線所圍成的，求該曲邊形的面積是多少？</p><p>　　解

57、：把兩曲線的函數式連立成方程組，即 解得 故所求圍成的平面圖形面積為</p><p>　　==18，故所求面積為18</p><p>　　例16、曲線與圍成一個平面區(qū)域，求該迎面區(qū)域的面積。</p><p>　　解：把這兩條曲線函數連立成一個方程組，很容易求得兩曲線的交點是(0,0)與(1,1)，那么該區(qū)域的面積為</p><p>　　在解

58、決曲線的弧長、旋轉體的體積等一些問題也可以用定積分來求，雖然高中教材沒有要求學生對這一部分要掌握，但是可以適當的講解給學生。</p><p>　　3.2定積分在物理中的應用</p><p>　　若物體在同一直線上運動，但速度是改變的，它所經過的路程為，它的速度為函數，則，這就顯出了求導數和求積分得互為逆運算。</p><p>　　變力作功：若一物體在變力的作用下由的

59、運動（運動方向與力的方向一致）那么此變力所做的功為 </p><p>　　例17、在平面的公路上，有一作變速運動的汽車行駛，其速度為（單位：m/s）.在行駛過程中駕駛員突然發(fā)現在前方不遠處有一條狗橫穿公路，于是緊急剎車，那么</p><p>　　從駕駛員開始緊急剎車到汽車完全停止，需要多少時間？</p><p>　　從駕駛員發(fā)現橫穿公路的狗（緊急剎車時），這條狗與汽

60、車至少距離多遠才能保證安全穿過馬路？</p><p>　　解：（1）令=0，解得方程為t=4或t=-2(舍去)故需要4s</p><p>　?。?）要想讓這條狗安全，狗與汽車的距離應不小于駕駛員緊急剎車到停止所行駛的距離。因為汽車行駛的距離為：= 所以這條狗距汽車的距離為8+ln5才能保證安全。</p><p><b>　　4.結論與展望<

61、/b></p><p>　　在探究了微積分之后，我得出了一些結論：</p><p>　　1．在當今信息時代，微積分思想是人們生活的一種需要，是推動數學發(fā)展的一種動力，也是社會發(fā)展的一種動力。向2l世紀的高中生教授一部分微積分思想、應用方法，是很應該的。</p><p>　　2．在微積分的教學實施過程中不要形式化的定義，應該讓學生深刻理解概念，不要只是把導數作為

62、一些規(guī)則和步驟來學習，要重視它所具含的更深層次的價值，在教學過程中應該加強微積分思想方法的教學、在實際應用方面更應該進行強化。</p><p>　　3.微積分在高中數學有著廣泛的用途，在以后的學習中我們要全方位地探索和研究新的用法。微積分的應用不僅給學生提供了一種新的解決問題的方法，又使學生學到了一種新的數學思想，同時也使得高中畢業(yè)生能夠更加輕松的學習大學中較難微積分知識。</p><p>

63、;　　總之，如果教學能夠聯系學生的現實，采取合適的教學策略，突出思想方法的教學，發(fā)展學生的認知結構，那么學生就能從中受益。</p><p>　　因為對于微積分的教學人們已經有了一定的研究，但微積分的應用方面還存在一些問題，所以使得探討微積分思想在高中數學的應用更具價值和意義。通過對本論文的研究，所發(fā)現的問題，對今后的研究提出一些建議。</p><p>　　1.微積分教學的核心是數學思想方法

64、的教學，本研究雖然在加強思想教學上有所強調，但實驗性還是不強，在以后的研究中可從這一方面進行實證研究。</p><p>　　有利于課程功能的發(fā)揮。</p><p>　　2．極限理論作為微積分的核心基礎，在本章節(jié)教學中從未涉及，在以前的教學中也從未涉及過，雖然對導數、定積分概念的教學可以采用直觀極限——無限逼近的思想直觀理解，但在許多地方仍然出現缺乏極限基礎而導致理解困難。那么應補充哪些極限

65、基礎?什么時候補充?</p><p>　　3．在導數應用這一方面，應用的太過多是不是會對學生產生負擔，在高中階段就學習這么深入是不是沒有必要的，應該補充哪些方面的應用才是更加合理的等。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]沈文選．中學數學思想方法[M]．長沙：湖南師范大學出版社．1999．</p>

66、<p>　　[2]陳昌平．數學教育比較與研究．上海：華東師范大學出版社．1995．</p><p>　　[3]王子興．數學教育學導論[M]．桂林：廣西師范大學出版社．1996．</p><p>　　[4]張楚庭．數學教育心理學[M]．北京：警官教育出版社．1998．</p><p>　　[6]孔企平．．數學教學過程中的學生參與[M]．上海：華東師范大學

67、出版社．2003．</p><p>　　[7]孫照格 .從現代數學看中學數學[M]中國林業(yè)出版社，1991</p><p>　　[8]王昭海 . 有關概率直覺認識的幾個誤區(qū)及反例[J]安康師專學報，2005</p><p>　　[9]王憲平 .課程改革視野下教師教學能力發(fā)展研究[M]華東師范大學，2006</p><p>　　[10]王雪梅

68、.關于中學數學習題編制的研究[M]華東師范大學，2002</p><p>　　[11]孫弘揚.四點共圓的證明及應用[J]數理天地，2006.（7）：46-47</p><p>　　[12]連春興 .高等數學對中學數學教學作用初探[J]北京教育學院學報，2000-3</p><p>　　[13]羅琳 .彭家麟，高觀點下的高考試題[J]數學通訊，2003-9</p