高等數(shù)學(xué)論文：一種快捷的分部積分方法和其若干推廣.doc

1、<p>　　一種快捷的分部積分方法和其若干推廣</p><p><b>　　張質(zhì)彬</b></p><p>　　2011030030018</p><p>　　【摘要】：分部積分是微積分中十分重要的一種積分方法。上個(gè)學(xué)期，在學(xué)習(xí)一元函數(shù)積分學(xué)時(shí)，從一本國外教材《托馬斯微積分（Thomas CALCULUS）》了解到一種分部積分的快捷方

2、法，這個(gè)學(xué)期，借數(shù)分論文這一契機(jī)，重新反思，證明了這一積分方法，并將以加以一定的推廣。</p><p>　　【關(guān)鍵詞】：分部積分，快捷方法</p><p>　　書中例子是這樣敘述的：“求積分</p><p>　　解：令和，我們列表（注意要求可以重復(fù)求導(dǎo)直至出現(xiàn)0）</p><p>　　用箭頭上面的運(yùn)算符號(hào)組合箭頭連接兩個(gè)函數(shù)的乘積便得到：&l

3、t;/p><p><b>　　”</b></p><p>　　從此例中可以看出此種分部積分方法的具體形式，下我給出嘗試性證明：</p><p><b>　　分部積分公式為：</b></p><p>　　如果定義這樣一種運(yùn)算符號(hào)：</p><p>　　箭頭的兩端表示乘積，箭頭上的符

4、號(hào)表示正負(fù)，斜向下的箭頭表示項(xiàng)，橫箭頭表示項(xiàng)。根據(jù)分部積分公式，則此圖既可以表示這一等式，既給分部積分的求法。</p><p>　　進(jìn)一步，若進(jìn)行多次分部積分，即計(jì)算的值，則刪去水平線，重復(fù)前過程。</p><p>　　由于計(jì)算的是的值，所以此處的正負(fù)號(hào)需取反。</p><p>　　按照此方式推廣下去，可得</p><p>　　綜上所述，按此

5、種方法定義的積分方法，可以推廣到不僅限于重復(fù)求導(dǎo)直至出現(xiàn)0的，下面，將舉例說明此種方法的各種應(yīng)用和推廣：</p><p>　　最簡單的情況：可以重復(fù)求導(dǎo)直至出現(xiàn)0</p><p><b>　　例：求積分</b></p><p>　　2. 經(jīng)n次求導(dǎo)，經(jīng)n次積分，乘積恰好能構(gòu)成原來被積函數(shù)的形式，此時(shí)，通過解方程的形式，既能求出原被積函數(shù)的不定積

6、分。</p><p><b>　　例：求積分</b></p><p><b>　　由此可得等式</b></p><p><b>　　移項(xiàng)解方程得：</b></p><p><b>　　例：求積分</b></p><p>　　3. 和

7、通過若干次求導(dǎo)和積分，產(chǎn)生了可以相消或者可以結(jié)合的因子，此時(shí)需要重新整理識(shí)字并重新設(shè)和，再一次使用該種方法進(jìn)行分部積分。</p><p><b>　　例：求積分</b></p><p><b>　　重新另，</b></p><p>　　此種雖然是應(yīng)用方式中的很重要一種，但較為簡單且變化較少，此處僅舉一例。</p>

8、;<p>　　4. 被積函數(shù)需要先做變換，才能使用此種方法，相比前面的三種情況，這種應(yīng)用范圍更廣，靈活性也更高。</p><p><b>　　例：求積分</b></p><p><b>　　由公式</b></p><p><b>　　原式</b></p><p>

9、<b>　　=</b></p><p><b>　　有</b></p><p><b>　　例：求積分</b></p><p><b>　　湊微分，可得</b></p><p><b>　　原式 </b></p><

10、;p><b>　　另 原式</b></p><p><b>　　原式</b></p><p><b>　　例：求積分</b></p><p>　　先用換元法進(jìn)行變量代換</p><p><b>　　于是，原式=</b></p><