大一高等數(shù)學論文

1、<p>　　20113564 胡騏薪 工商1112</p><p><b>　　微分方程的基本應(yīng)用</b></p><p>　　微分方程是數(shù)學的重要分支, 用微分方程來刻畫許多自然科學、經(jīng)濟科學甚至社會科學領(lǐng)域中的一些規(guī)律,這是微分方程應(yīng)用的重要領(lǐng)域,也是其發(fā)展的動力.在這里我重點介紹了幾個利用微分方程常來解決的問題的例子,從中我們可以了解到微分方程用

2、的廣泛性以及解決具體問題時常采用的一般步驟.</p><p>　　微分方程是與微積分一起形成發(fā)展起來的重要數(shù)學分支,已有悠久的歷史,早在17~18世紀,牛頓、萊布尼茲、貝努里和拉格朗日等人在研究力學和幾何學中就提出了微分方程【1,2】.隨著科學的發(fā)展,它在力學、電學、天文學和其他數(shù)學物理領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用不斷獲得成功,有力地推動了這些學科的發(fā)展,已成為研究自然科學和社會科學的一個強有力工具.如今,微分方程仍繼續(xù)保持著進

3、一步發(fā)展的活力,其主要原因是它的根源深扎在各種實際問題之中,許多實際問題可以通過建立微分方程模型得以解決.</p><p>　　常微分方程的形成與發(fā)展是和力學、天文學、物理學，以及其他科學技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的. 數(shù)學的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓撲學等，都對常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當前計算機的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具.</p><p>

4、;　　微分方程可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律. 隨著微分方程的理論的逐步完善，只要列出相應(yīng)的微分方程并找到解方程的方法, 微分方程也就成了最有生命力的數(shù)學分支. 事實上，大部分的常微分方程求不出十分精確的解，而只能得到近似解. 當然，這個近似解的精確程度是比較高的.</p><p>　　現(xiàn)在，常微分方程在很多學科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，自動控制、各種電子學裝置的設(shè)計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩(wěn)定性的研究

5、、化學反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等. 這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問題. 應(yīng)該說，應(yīng)用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就. 解常微分方程大致有分離變量法、變量替換法、常數(shù)變易法以及積分因子法等等，其中，積分因子法尤為重要，本論文主要討論積分因子存在條件及其解法，通過積分因子使常微分方程化為全微分方程形式來求解.</p><p>　　微分方程在科學技術(shù)和實際生活中都有著廣泛的應(yīng)用。應(yīng)用微分方

6、程解決實際問題,其實就是建立微分方程數(shù)學模型,通過建立微分方程、確定定解條件、求解及對解的分析可以揭示許多自然界和科學技術(shù)中的規(guī)律.應(yīng)用微分方程解決具體問題的主要步驟:</p><p>　　(1)分析問題,將實際問題抽象,設(shè)出未知函數(shù)，建立微分方程,并給出合理的定解條件;</p><p>　　(2)求解微分方程的通解及滿足定解條件的特解,或由方程討論解的性質(zhì);</p><

7、;p>　　(3)由所求得的解或解的性質(zhì),回到實際問題,解釋該實際問題,得出客觀規(guī)律.</p><p><b>　　微分方程的應(yīng)用舉例</b></p><p><b>　　幾何問題</b></p><p><b>　　1.等角軌線</b></p><p>　　我們來求這樣的

8、曲線或曲線族,使得它與某已知曲線族的每一條曲線相交成給定的角度.這樣的曲線軌線已知曲線的等角軌線.當所給定的角為直角時,等角軌線就軌線正交軌線.等角軌線在很多學科（如天文,氣象等）中都有應(yīng)用.下面就來介紹等角軌線的方法.</p><p>　　首先把問題進一步提明確一些.</p><p>　　設(shè)在（x,y）平面上,給定一個單參數(shù)曲線族（C）:求這樣的曲線,使得與(C)中每一條曲線的交角都是定

9、角 .</p><p>　　設(shè)的方程為=.為了求,我們先來求出所對應(yīng)滿足的微分方程,也就是要求先求得, ,的關(guān)系式.條件告訴我們與（C）的曲線相交成定角,于是,可以想象,和必然應(yīng)當與（C）中的曲線=及其切線的斜率有一個關(guān)系.事實上,當≠時,有</p><p><b>　　或</b></p><p><b>　　當=時,有</b&

10、gt;</p><p>　　又因為在交點處,=,于是,如果我們能求得, ,的關(guān)系</p><p><b>　　采用分析法.</b></p><p>　　設(shè)=為（C）中任一條曲線,于是存在相應(yīng)的C,使得</p><p>　　因為要求,y, 的關(guān)系,將上式對x求導,得</p><p>　　這樣,將上兩

11、式聯(lián)立,即由</p><p>　　消去C,就得到所應(yīng)當滿足的關(guān)系</p><p>　　這個關(guān)系稱為曲線族（C）的微分方程.</p><p>　　于是,等角軌線（≠）的微分方程就是</p><p>　　而正交軌線的微分方程為</p><p>　　為了避免符號的繁瑣,以上兩個方程可以不用,而仍用y,只要我們明確它是所求的等

12、角軌線的方程就行了.</p><p>　　為了求得等角軌線或正交軌線,我們只需求上述兩個方程即可.</p><p>　　例1 求直線束的等角軌線和正交軌線.</p><p>　　解 首先求直線束的微分方程.</p><p>　　將對求導,得=C,由</p><p>　　消去C,就得到的微分方程</p>&

13、lt;p>　　當≠時,由（2.16）知道,等角軌線的微分方程為</p><p><b>　　或</b></p><p><b>　　及</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　積分后得到</b></p>

14、<p><b>　　或</b></p><p>　　如果=,由（2.17）可知,正交軌線的微分方程為</p><p>　　即 </p><p>　　或 </p><p>　　故正交軌線為同心圓族

15、.</p><p>　　例2 拋物線的光學問題</p><p>　　在中學平面解析幾何中已經(jīng)指出,汽車前燈和探照燈的反射鏡面都取為旋轉(zhuǎn)拋物面,就是將拋物線繞對稱軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面.將光源安置在拋物線的焦點處,光線經(jīng)鏡面反射,就成為平行光線了.這個問題在平面解析幾何中已經(jīng)作了證明,現(xiàn)在來說明具有前述性質(zhì)的曲線只有拋物線,</p><p>　　由于對稱性,只有考慮在

16、過旋轉(zhuǎn)軸的一個平面上的輪廓線,如圖,</p><p>　　以旋轉(zhuǎn)軸為Ox軸,光源放在原點O(0,0).設(shè)的方程為y=y(x,y).由O點發(fā)出的光線經(jīng)鏡面反射后平行于Ox軸.設(shè)M(x,y)為上任一點,光線OM經(jīng)反射后為MR.MT為在M點的切線,MN為在M點的法線,根據(jù)光線的反射定律,有</p><p><b>　　∠OMN=∠NMR</b></p><

17、;p><b>　　從而</b></p><p>　　tan∠OMN=tan∠NMR</p><p>　　因為MT的斜率為,MN的斜率為-,所以由正切公式,有</p><p>　　tan∠OMN=, tan∠NMR=</p><p><b>　　從而</b></p><p&g

18、t;<b>　　=-</b></p><p><b>　　即得到微分方程</b></p><p><b>　　+2x-y=0</b></p><p>　　由這方程中解出,得到齊次方程</p><p><b>　　=-</b></p><

19、p>　　令=u,即y=xu,有</p><p><b>　　=u+</b></p><p><b>　　代入上式得到</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　分離變量后得</b></p><p&

20、gt;　　令1+上式變?yōu)?積分后得</p><p><b>　　ln</b></p><p><b>　　或.兩端平方得</b></p><p><b>　　化簡后得</b></p><p>　　以.這是一族以原點為焦點的拋物線.</p><p><

21、;b>　　2．動力學問題</b></p><p>　　動力學是微分方程最早期的源泉之一.我們都知道動力學的基本定律是牛頓第二定律</p><p>　　這也是用微分方程來解決動力學的基本關(guān)系式.它的右端明顯地含有加速度a,a是位移對時間的二階導數(shù).列出微分方程的關(guān)鍵就在于找到外力f和位移對時間的導數(shù)－速度的關(guān)系.只要找到這個關(guān)系,就可以由列出微分方程了.</p>

22、<p>　　在求解動力學問題時,要特別注意力學問題中的定解條件,如初值條件等.</p><p>　　例：物體由高空下落,除受重力作用外,還受到空氣阻力的作用,在速度不太大的情況下,空氣阻力可看做與速度的平方成正比試證明在這種情況下,落體存在極限速度.</p><p>　　解 設(shè)物體質(zhì)量為m,空氣阻力系數(shù)為k,又設(shè)在時刻t物體下落的速度為v,于是在時刻t物體所受的合外力為<

23、;/p><p><b>　?。ㄖ亓?空氣阻力）</b></p><p>　　從而,根據(jù)牛頓第二定律可得出微分方程</p><p>　　因為是自由落體,所以有</p><p><b>　　積分得</b></p><p><b>　　或</b></p>

24、;<p><b>　　解出v,得</b></p><p><b>　　當時,有</b></p><p>　　據(jù)測定,,其中為與物體形狀有關(guān)的常數(shù),為介質(zhì)密度,s為物體在地面上的投影面積.</p><p>　　人們正是根據(jù)公式 ,來為跳傘者設(shè)計保證安全的降落傘的直徑大小的.在落地速度,m, ,與 一定時,可定

25、出s來.</p><p><b>　　3.流體混合問題</b></p><p>　　中學代數(shù)中有這樣一類問題：某容器中裝有濃度為的含某種物質(zhì)A的液體V升,從其中取出升后,加入濃度為的液體升,要求混合后的液體的濃度以及物質(zhì)A的含量.這類問題用初等代數(shù)就可以解決了. </p><p>　　但是,在實際中還經(jīng)常碰到如下的問題：如圖,</p>

26、;<p>　　容器內(nèi)裝有含物質(zhì)A的流體.設(shè)時刻t=0時,流體的體積為,物質(zhì)A的質(zhì)量為.今以速度（單位時間的流量）放出流體,而同時又以速度注入濃度為的流體,試求時刻t時容器中物質(zhì)A的質(zhì)量及流體的濃度. 這類問題稱為流體混合問題.它是不能用初等數(shù)學解決的,必須用微分方程來計算.</p><p>　　首先,我們用微元發(fā)來列方程.設(shè)在時刻t,容器內(nèi)物質(zhì)A的質(zhì)量為x=x(t),濃度為,經(jīng)過

27、時間dt后,容器內(nèi)物質(zhì)A的質(zhì)量增加了dx.于是,有關(guān)系式</p><p><b>　　因為 </b></p><p><b>　　代入上式有</b></p><p><b>　　或</b></p><p>　　這是一個線性方程.求物質(zhì)A在時刻t的質(zhì)量的問題就歸結(jié)為求方程滿足初始

28、條件x(0)= 的解的問題.</p><p>　　例: 某廠房容積為45m×15m×6m,經(jīng)測定,空氣中含有0.2﹪的.開通通風設(shè)備,以360的速度輸入含有0.05﹪的的新鮮空氣,同時又排出同等數(shù)量的室內(nèi)空氣.問30min后室內(nèi)所含的百分比.</p><p>　　解 設(shè)在時刻t,車間內(nèi)的百分比為x(t) ﹪,當時間經(jīng)過dt后,室內(nèi)的該變量為</p>&

29、lt;p>　　45×15×6×dx﹪=360×0.05﹪×dt-360×x﹪×dt</p><p><b>　　于是有關(guān)系式</b></p><p>　　4050dx=360(0.05-x)dt</p><p><b>　　或</b></p&

30、gt;<p>　　初值條件為x(0)=0.2.</p><p>　　將方程分離變量并積分,初值解滿足</p><p><b>　　求出x,有</b></p><p>　　X=0.05+0.15</p><p>　　以t=30min=1800s代入,得x≈0.05.即開動通風設(shè)備30min后,室內(nèi)的含量接近0

31、.05﹪,基本上已是新鮮空氣了.</p><p><b>　　4.變化率問題</b></p><p>　　若某未知函數(shù)的變化率的表達式為已知,那么據(jù)此列出的方程常常是一階微分方程.</p><p>　　例：在某一個人群中推廣技術(shù)是通過其中已掌握新技術(shù)的人進行的,設(shè)該人群的總?cè)藬?shù)為N,在t=0時刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為,在任意時刻t已掌握新技術(shù)的人

32、數(shù)為x(t)(將x(t)視為連續(xù)可微變量),其變化率與已掌握新技術(shù)人數(shù)和未掌握新技術(shù)人數(shù)之積成正比,比例系數(shù)k＞0,求x(t).</p><p><b>　　解 由題意立即有</b></p><p>　　按分離變量法解之,,即</p><p><b>　　積分并化簡的通解</b></p><p>

33、<b>　　由初值條件得特解</b></p><p>　　總結(jié)：通過以上幾個簡單的例子，我們發(fā)現(xiàn)用微分方程解決一些實際問題其實很方便，也很普遍，所以在以后的學習中，除了學習必須的理論與方法外，更應(yīng)該加強理論與實際的聯(lián)系，將學習的知識更好的用于解決實際問題中.</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　

34、　[1] 歐陽瑞,孫要偉.常微分方程在數(shù)學建模中的應(yīng)用[J].宿州教育學院學報,2008,11(2)</p><p>　　[2] 朱思銘王高雄常微分方程[M],第三版高等教育出版社2006</p><p>　　[3] 東北師范大學微分方程教研室.常微分方程,第二版.高等教育出版社.2005</p><p>　　[4] 蔡燧林,常微分方程,第二版.武漢大學出版社.20