高等數(shù)學(xué)定積分提高習(xí)題

1、例1求33322321lim(2)nnnnn??????分析將這類(lèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定積分主要是確定被積函數(shù)和積分上下限若對(duì)題目中被積函數(shù)難以想到，可采取如下方法：先對(duì)區(qū)間等分寫(xiě)出積分和，再與所求極限相比較[01]n來(lái)找出被積函數(shù)與積分上下限解將區(qū)間等分，則每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)為，然后把的一個(gè)因子[01]n1ixn??2111nnn??乘入和式中各項(xiàng)于是將所求極限轉(zhuǎn)化為求定積分即1n==33322321lim(2)nnnnn??????333112li

2、m()nnnnnn??????13034xdx??例2=__________________2202xxdx??解法1由定積分的幾何意義知，等于上半圓周()2202xxdx??22(1)1xy???0y?與軸所圍成的圖形的面積故=x2202xxdx??2?解法2本題也可直接用換元法求解令=（），則1x?sint22t?????====2202xxdx??2221sincosttdt?????22021sincosttdt???2202c

3、ostdt??2?例3比較，，12xedx?212xedx?12(1)xdx??分析對(duì)于定積分的大小比較，可以先算出定積分的值再比較大小，而在無(wú)法求出積分值時(shí)則只能利用定積分的性質(zhì)通過(guò)比較被積函數(shù)之間的大小來(lái)確定積分值的大小解法1在上，有而令，則當(dāng)時(shí)，[12]2xxee?()(1)xfxex???()1xfxe???0x?，在上單調(diào)遞增，從而，可知在上，()0fx??()fx(0)??()(0)fxf?[12]有又1xex??，從而有1

4、221()()fxdxfxdx????2111222(1)xxxdxedxedx??????解法2在上，有由泰勒中值定理得注意到[12]2xxee?212!xeexx????1xex??因此1221()()fxdxfxdx????2111222(1)xxxdxedxedx??????例4估計(jì)定積分的值202xxedx??分析要估計(jì)定積分的值關(guān)鍵在于確定被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值與最小值sinlim0npnnxdxx?????例7求10

5、lim1nnxdxx????解法1由積分中值定理可知()()()()bbaafxgxdxfgxdx????=，101nxdxx??1011nxdx???01???又且，101limlim01nnnxdxn????????11121????故10lim01nnxdxx?????解法2因?yàn)?，故?1x??01nnxxx???于是可得110001nnxdxxdxx?????又由于1010()1nxdxnn??????因此=10lim1nnxd

6、xx????0例8設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且證明在()fx[01](01)3414()(0)fxdxf??內(nèi)存在一點(diǎn)，使(01)c()0fc??分析由條件和結(jié)論容易想到應(yīng)用羅爾定理，只需再找出條件即可()(0)ff??證明由題設(shè)在上連續(xù)，由積分中值定理，可得()fx[01]，3413(0)4()4()(1)()4ffxdxff???????其中于是由羅爾定理，存在，使得證畢3[1][01]4???(0)(01)c???()0fc??例