導數(shù)在經(jīng)濟學中的應用 畢業(yè)論文

1、<p>　　編號 </p><p>　　學 年 論 文 </p><p>　?。?201 級本科）</p><p>　　題 目： 導數(shù)在經(jīng)濟學中的應用 </p><p>　　二級學院： 數(shù)學與統(tǒng)計學院 </p><p>　　

2、專 業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學 </p><p>　　作者姓名： </p><p>　　指導教師： 職稱： 副教授 </p><p>　　完成日期： 201 年 11 月 18 日</p><p

3、>　　導數(shù)在經(jīng)濟學中的應用</p><p>　　*** 指導老師：***</p><p>　　摘 要 導數(shù)在經(jīng)濟領域中的應用非常廣泛,運用導數(shù)可以對經(jīng)濟活動中的實際問題進行邊際分析、彈性分析、優(yōu)化分析,對企業(yè)定價策略有著非常重要的作用.</p><p>　　關鍵詞 導數(shù);邊際;彈性;交叉彈性</p><p>　　中圖分類號 O

4、172.1</p><p><b>　　1 引言</b></p><p>　　隨著市場經(jīng)濟的發(fā)展,應用導數(shù)定量分析經(jīng)濟領域中的問題,已成為經(jīng)濟學中的一個重要組成部分.導數(shù)是微積分中一個重要概念,它是函數(shù)關于自變量的變化率.在經(jīng)濟學中也存在變化率問題；如價格的變化必然會帶動需求量的變化,為了實現(xiàn)利潤最大化,我們需要考慮,企業(yè)產品的需求價格邊際問題、彈性、交叉彈性問題,從

5、微觀和宏觀把握經(jīng)濟的變化.</p><p>　　2 導數(shù)的經(jīng)濟學解釋</p><p>　　刻畫了函數(shù)在的變化率,當自變量處有一個單位的變化,則函數(shù)在處有個單位的變化.</p><p>　　假設市場上某種商品的需求函數(shù)其中為商品的價格,為市場上該商品的需求量.表示當價格在處有一個單位的變化,則該商品的需求量將會有個單位的變化.同樣對于供給函數(shù)、總成本函數(shù)、總收入函數(shù)、

6、總利潤函數(shù)都可以對導數(shù)意義理解.</p><p><b>　　3 邊際分析</b></p><p>　　在經(jīng)濟學中,所謂“邊際”指當?shù)母淖兞繒r,的相應改變量與比值的變化.即當在某一給定值附近有微小的變化時的瞬時變化.</p><p><b>　　3.1邊際成本</b></p><p>　　邊際成本在

7、經(jīng)濟學中被定義為產量增加一個單位時所增加的成本.設某產品的成本函數(shù)為,為產量.即邊際成本為,當變化很小時,,(微積分定義).為邊際成本函數(shù). 可見,邊際成本約等于成本函數(shù)的變化率,在實際生產中：在每一產量水平上的邊際成本就是相應的總成本曲線在該點處切線的斜率,即總成本函數(shù)在該產量處的導數(shù)值.因此,在經(jīng)濟決策分析中邊際成本可以用來判斷產量的增減在經(jīng)濟上是否合算.</p><p>　　例1某

8、種產品的總成本C(萬元)與產量q(萬件)之間的函數(shù)關系式為.求當生產水平q=10(萬件)時的邊際成本,并從降低成本角度看,繼續(xù)提高產量是否合適？</p><p><b>　　解 時的總成本為</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　邊際成本 </b></p&g

9、t;<p><b>　　即 </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此在生產水品為10萬件時,每增加一個產品總成本增加3元.這遠低于當前的單位成本,從降低成本的角度看,應該繼續(xù)提高產量.</p><p><b>　　3.2 邊際收入</b>&

10、lt;/p><p>　　邊際收入指稍微增加一個單位的銷量時所增加的銷售收入.即假設某產品的收入函數(shù)為,為產品的銷售量,有邊際收入</p><p>　　因此,邊際收入約等于收入函數(shù)的變化率.在實際中：每一銷售水平上的邊際收入值就是相應的總收入曲線在該點處切線的斜率,即總收入曲線關于該銷售量的導數(shù)值.</p><p><b>　　3.3 邊際利潤</b>

11、;</p><p>　　邊際利潤即邊際收入與邊際成本的差</p><p>　　設某產品德銷售量為q時的利潤函數(shù)為,當可導時,稱銷售量為q時的邊際利潤,它近似等于銷售量為q時再多銷售一個產品所增加的利潤.</p><p>　　由于利潤為收入與成本的差,即利潤函數(shù)為收入函數(shù)與成本函數(shù)之差,即由導數(shù)的運算法知,即邊際利潤為邊際收入與邊際成本之差.</p>&

12、lt;p>　　例2 某餐店每月對某種菜的需求是由確定的,其中q是需求量(盤),是價格(元),生產q盤菜的成本為,試問當產量是多少時,餐店才獲得的利潤最大？最大利潤是多少？</p><p>　　解 總收入 因</p><p><b>　　,</b></p><p>　　根據(jù)利潤最大原則 </p><p>

13、　　即 </p><p><b>　　,</b></p><p>　　所以q=2440(盤).</p><p>　　由于q=2440是函數(shù)唯一的極值點,所以是函數(shù)的最大點,即當產量為2440時有最大利潤. 由利潤</p><p><b>　　,</b></p>

14、<p><b>　　最大利潤 </b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　所以當產量為2440時,餐店獲得最大利潤,最大利潤為2476.8.</p><p>　　例3 某公司總利潤與日產量之間的函數(shù)關系式即利潤函數(shù)為（元/件）,試求每天生產150噸、200噸、350噸時的邊際利潤,并說明

15、其經(jīng)濟意義.</p><p>　　解 有利潤函數(shù) 得邊際利潤</p><p><b>　　;</b></p><p><b>　　;</b></p><p><b>　　;</b></p><p><b>　　.</b></

16、p><p>　　從上面可以看出,當日產量在150噸時,每天增加1噸產量可增加總利潤0.5萬元;當日產量在200噸時,再增加產量,總利潤已經(jīng)不會增加;而當日產量在350時,每天產量再增加反而使總利潤減少1.5萬元,由此可見,該公司應該把日產量定在200噸,此時總利潤最大： </p>&l

17、t;p><b>　　.</b></p><p><b>　　4 彈性問題</b></p><p>　　彈性概念是經(jīng)濟學中的一個重要概念,用來定量地描述一個經(jīng)濟變量對另一個經(jīng)濟變量變化的敏感程度,其定義為:為在點x處的點彈性,也是彈性系數(shù). </p><p>　　設函數(shù)在點x處可導,函數(shù)的相對改變量與自變量的相對改變量

18、之比,當時的極限稱為函數(shù)在點x處的相對變化率,稱彈性函數(shù),記為.</p><p>　　4.1需求價格彈性[2]</p><p>　　經(jīng)濟學中,把需求量對價格的相對變化率稱為需求的價格彈性,記為</p><p>　　由于需求函數(shù)是價格的遞減函數(shù),所以需求函數(shù)一般為負值.</p><p>　　故當時,稱為單位彈性,即商品需求量的相對變化與價格的相

19、對變化基本相等.</p><p>　　當時,稱為富有彈性.即商品需求量的相對變化大于價格的需求變化,此時價格的變化對需求量的影響較大.換句話說,適當降價會使需求量大幅度上升,從而能夠增加收入.相反,商品價格上升會導致需求量大大減少,從而導致總收入減少.</p><p>　　當時,稱為缺乏彈性,即商品需求量的相對變化小于價格的相對變化,此時價格的相對變化對需求量的影響較小,在適當漲價（降價）

20、不會使需求量有太大的變化.</p><p>　　例4 某商品的需求函數(shù)為,Q為需求量,p為售價.</p><p>　　(1)求;(2)計算并經(jīng)濟角度解釋所得結果.</p><p>　　解 (1) 由 得</p><p><b>　　,</b></p><p>　　因為,所以需求價格彈性為<

21、/p><p><b>　　.</b></p><p>　　(2) .</p><p>　　其含義為當商品的售價為3元時,若單價每增加1元,則需求量將減少約18%,反之,若單價每降低1元,則銷售量將提高18%.</p><p>　　4.2 收入價格彈性</p><p>　　

22、把收入價格相對價格的相對變化率成為收入價格彈性.</p><p>　　設收入函數(shù)為,因此收入函數(shù)關于價格的變化</p><p><b>　　,</b></p><p>　　收入價格的彈性為 </p><p><b>　　.</b></p><p>　　此時可發(fā)現(xiàn),,則價格的

23、變動與收入的變化是同方向的;反之,則價格的變動與收入的變化是反方向的.</p><p>　　例5 某生產公司經(jīng)營某種電器的需求彈性在之間,如果公司決定將價格下降10%,問此種電器的銷售量將會怎樣變化？總收入怎樣變化？</p><p>　　解 由于需求彈性,Q為商品需求量,p為價格</p><p><b>　　, ,</b></p>

24、<p><b>　　當時,</b></p><p><b>　　當時,</b></p><p>　　由此可見,當價格下降10%時,該電器的銷售量將會增加15%-25%,總收入將會增加5%-15%.</p><p>　　例6 已知某生產商生產某種家電的總成本函數(shù)為,通過市場調查,可以預計這種家電的年需求量為.其

25、中價格(單位/元),q是需求量,試求使利潤最大的銷量和銷售價格.</p><p><b>　　解 有需求量 ,</b></p><p>　　因此,當銷售量為q時總收入函數(shù)為 </p><p><b>　　利潤函數(shù)為</b></p><p><b>　　=</b></p&

26、gt;<p><b>　　令 得唯一駐點</b></p><p>　　由實際問題可知是利潤函數(shù)為的極大值點,也是最大值點,最大利潤為 </p><p><b>　　,</b></p><p>　　當時,銷量為 .</p><p>　　家電的年需求量為,那么其邊際需求為,需求

27、彈性為,</p><p>　　使利潤最大的家電售價為4200元,需求彈性</p><p><b>　　.</b></p><p>　　即當家電售價為4200時,其需求彈性為富有彈性,此時,適當降價不僅能增加銷售量、擴大企業(yè)的家電市場上的占有成本,增加銷售總收入,給企業(yè)帶來經(jīng)濟效益.</p><p>　　5 偏導數(shù)在需求交

28、叉彈性中的問題[3]</p><p>　　經(jīng)濟學中的一個重要概念是偏彈性,在經(jīng)濟活動中商品的需求量Q受商品的價格,消費者的收入M以及相關商品的價格等因素的影響.</p><p>　　則(1)需求的直接價格偏彈性為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　(2)需求的交叉價格偏彈性為</p>

29、<p><b>　　,</b></p><p>　　(3)需求收入價格偏彈性為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例7 已知某市場牛肉的需求函數(shù)為,其中Q為牛肉的需求量,為牛肉價格為相關商品豬肉的價格.市場調查知消費者年收入平均10000,牛肉價格為10元,豬肉價格為8元,求當豬肉價

30、格增加,牛肉價格不變的情況下,牛肉的市場需求量將如何變化？</p><p>　　解 由已知條件 得到</p><p><b>　　.</b></p><p>　　所以當相關商品豬肉的價格增加,而牛肉價格不變時,牛肉的市場需求量將增加.</p><p><b>　　6結語 </b></p

31、><p>　　對于企業(yè)來說,進行邊際分析和彈性分析是非常重要的,企業(yè)如果離開邊際分析盲目生產就會造成資源的巨大浪費.企業(yè)如果離開彈性分析就不可能達到利潤的最大化的目標,導數(shù)作為邊際分析和彈性分析的工具可以給決策者提供客觀的數(shù)據(jù),從而做出合理的決策,有了科學的經(jīng)營決策依據(jù).導數(shù)在經(jīng)濟中的應用,只是數(shù)學在經(jīng)濟中一小部分,其應用頗為廣泛.</p><p>　　致謝 感謝本文在朱福國老師的精心指導下完

32、成.</p><p><b>　　參 考 文 獻</b></p><p>　　[1] 田婷.導數(shù)在經(jīng)濟學中的簡單應用[J].林區(qū)教學,2009(4):98-99.</p><p>　　[2] 李蘭平.導數(shù)在企業(yè)定價策略方面的應用[J].企業(yè)管理,2010(11):72-73.</p><p>　　[3] 吳素琴.談導數(shù)及

33、其經(jīng)濟分析中的若干應用[J].科學教育,2011(3):4-6.</p><p>　　[4] 王青青.淺談導數(shù)在經(jīng)濟中的應用[J].高校講壇,2011(9):8.</p><p>　　[5] 陳昆.導數(shù)在經(jīng)濟中“邊際”和“彈性”方面的應用[J].考試周刊,2009(18):38-39.</p><p>　　[6] 晉曉飛.導數(shù)在經(jīng)濟領域的簡單應用[J].時代經(jīng)貿,2