導數(shù)在經濟學中的簡單應用

1、1,2024/3/20,1,3.5 導數(shù)在經濟學中的簡單應用,隨著我國市場經濟的不斷發(fā)展，應用數(shù)學知識定量分析經濟及管理領域中的問題，已成為經濟學理論中一個重要組成部分．把經濟活動中一些現(xiàn)象歸納到數(shù)學領域中，用我們所學的數(shù)學知識進行解答，對很多經營決策起到了非常重要的作用． 導數(shù)是微積分中一個重要概念，它是函數(shù)關于自變量的變化率．在經濟學中，也存在變化率問題，如：邊際問題和彈性問題．導數(shù)在經濟領域中的應用非常廣泛，其

2、中“邊際”和“彈性”是導數(shù)在經濟分析應用中的兩個重要概念．本節(jié)主要介紹導數(shù)概念在經濟學中的兩個應用——邊際分析與彈性分析．,2,一、邊際與邊際分析,邊際概念是經濟學中的一個重要概念，通常指經濟變量的變化率．利用導數(shù)研究經濟變量的邊際變化的方法，即邊際分析法． 邊際分析法是經濟理論中的一個重要分析方法，它的提出不僅為我們作出決策提供了一個有用的工具，而且還使經濟學能運用數(shù)學工具．因此邊際分析法對推動經濟學本身的發(fā)展和解決實際經濟

3、問題起到了重大作用．,,1、邊際分析法,3,2、邊際函數(shù),說明：導數(shù)與邊際的關系：邊際概念是將導數(shù)的概念經濟化。因此，經濟學中的邊際和數(shù)學中的導數(shù)是一個概念。這不僅豐富了導數(shù)的含義，也給經濟學中邊際的計算問題提供了更直接、簡便的方法。(2) 邊際成本、邊際收益、邊際利潤是經濟學中最常見的幾個重要邊際經濟量，常用于分析生產狀況、制定生產計劃。,一、邊際與邊際分析,,4,2024/3/20,4,一、邊際與邊際分析,,3、邊際分析,5,,

4、2024/3/20,5,6,,2024/3/20,6,,7,,8,(3)邊際成本僅與可變成本有關，與固定成本無關。,(4) 在經營決策分析中，通過分析邊際成本，可以制定現(xiàn)有成本基礎上的最佳產量。,9,,,,例3、假設某企業(yè)生產某種產品的總成本 （萬元）與產量 （萬件）之間的函數(shù)關系式為,10,,提出問題：,① 在產量 的基礎上，我們除了能計算總成本外，還能計算哪些與”成本”有關的量？② 它們有

5、什么實際（經濟）意義？,11,,12,,13,,,,,14,,,2024/3/20,14,,15,,提問：①已知價格函數(shù)，怎么求總收益函數(shù)？②邊際收益的經濟意義是什么？,16,,,,17,,,顯然，該公司不能完全依靠增加銷量來提高收益，超過一定數(shù)量的銷量就會造成銷售越多虧損越大的局面。通過分析邊際收益，我們可以挖掘市場的最大潛力，制定正確地、行之有效的銷售對策。,18,,2024/3/20,18,,19,,,20,,,,,21,

6、,,22,,,,顯然，企業(yè)不能完全依靠增加產量來提高利潤，超過一定數(shù)量就會造成生產越多虧損越大的局面。 在當今國內外經濟分析中，越來越多的數(shù)學知識被用做分析工具，經濟分析走向了定量化、精密化和準確化，為企業(yè)經營者提供客觀、精確的數(shù)據(jù)和視角正是數(shù)學應用性的具體體現(xiàn)。 對經濟工作者而言，掌握相應的數(shù)學分析方法，為科學的經營決策提供可靠依據(jù)，是非常必要的。,23,2024/3/20,23,前面所談的函數(shù)改變量和函數(shù)變化

7、率是絕對改變量和絕對變化率，但在經濟問題中僅僅研究函數(shù)的絕對改變量和絕對變化率是不夠的。例如，商品甲每單位價格10元，漲價1元；商品乙每單位價格1000元，也漲價1元。兩種商品價格的絕對改變量都是1元，但各與其原價相比，兩者漲價的百分比卻有很大的不同，商品甲漲了10%，而商品乙漲了0.1%。因此我們還有必要研究函數(shù)的相對改變量和相對變化率。 在經濟分析中，會經常用到彈性分析法，彈性是一個十分有用的概念。一般地說，彈性描述的是因變

8、量對自變量的變化的反應程度，具體的說，也就是要計算自變量變化1個百分比，因變量要變化幾個百分比。邊際函數(shù)反映的是函數(shù)的變化率，而函數(shù)的彈性則反映的是函數(shù)的相對變化率。,,24,2024/3/20,24,,25,26,,2024/3/20,26,27,,28,,,,,4、需求彈性大（?。褪潜硎具@種商品價格的變化，會引起需求的較大（?。┳兓?。比如，大米的需求彈性就很小，因為它是生活必需品，不會因為價格上漲而少吃多少，因價格下跌而多吃多少

9、。相比而言，時裝的需求彈性就要大一些，價格變動對需求量的影響比較大。,5、不同商品的需求彈性相差甚遠，按照彈性值的大小，作以下劃分：高彈性、單位彈性和低彈性.,29,2024/3/20,29,,30,,,31,,,,,32,,,,33,2024/3/20,33,,34,,,,2024/3/20,34,35,,2024/3/20,35,需求價格彈性的分析在經營中特別被重視，企業(yè)如果離開需求價格的彈性分析，就不可能達到利潤最大化的目標. 在

10、商品經濟中，經營者關心的是提價或降價對總收益的影響.,36,,,,,,37,2024/3/20,37,,38,2024/3/20,38,求 導 法 則,基本公式,導 數(shù),,高階導數(shù),,,一、主要內容,,,,,,,39,2024/3/20,39,1、導數(shù)的定義,定義,,40,2024/3/20,40,2. 右導數(shù):,單側導數(shù),1. 左導數(shù):,,41,2024/3/20,41,2、基本導數(shù)公式,（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式）,,共10組

11、,42,2024/3/20,42,3、求導法則,(1) 函數(shù)的和、差、積、商的求導法則,(2) 反函數(shù)的求導法則,,43,2024/3/20,43,(3) 復合函數(shù)的求導法則,(4) 對數(shù)求導法,先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù).,適用范圍:,,(5) 隱函數(shù)求導,用復合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導.,44,2024/3/20,44,4、高階導數(shù),記作,二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù),,(二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階

12、導數(shù)),,45,2024/3/20,45,5、微分的定義,定義,(微分的實質),,,46,2024/3/20,46,6、導數(shù)與微分的關系,定理,7、微分的求法,求法:計算函數(shù)的導數(shù),乘以自變量的微分.,,47,案例：有人說，氣候不好對農民不利，因為谷物歉收，會減少農民的收入。但也有人說，氣候不好反而對農民有利，因為農業(yè)歉收后谷物價格會上漲，農民因此而增加收人。分析： 評價氣候不好對農民是否有利，主要看農民的農業(yè)收人在氣候不好

13、的情況下如何變動。氣候不好對農民的直接影響是農業(yè)歉收，即農產品的供給減少，這表現(xiàn)為農產品的供給曲線向右上方移動。如果此時市場對農產品的需求狀況不發(fā)生變化，即需求曲線保持不變，那么農產品供給的減少將導致均衡價格的上升。一般來說，人們對農產品的需求是低彈性的，由需求價格彈性與收益彈性的關系可知，此時農民的農業(yè)收入將隨著均衡價格的上升而增加。因而在需求狀況不因氣候不好發(fā)生變化并且對農產品需求是低彈性的情況下，氣候不好引致的農業(yè)歉收對農民增加收