數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-三個冪等矩陣線性組合的冪等性

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文檔簡介

1、　　編號 　　莆田學(xué)院　　畢業(yè) 論文　　課題名稱：三個冪等矩陣線性組合的冪等性　　系別數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

2、　　學(xué)生姓名 　　學(xué) 號 　　專業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 　　年級 2002級 　　指導(dǎo)教師

3、 　　2006 年 6 月　　莆田學(xué)院學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文　　原創(chuàng)性聲明　　本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨立進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過

4、的作品成果。對本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。　　學(xué)位畢業(yè)設(shè)計（論文）作者簽名： 　　日期： 2006 年月日　　三個冪等矩陣線性組合的冪等性　　摘

5、要　　本文給出了3個非零的兩兩不同且相互可交換的冪等矩陣的線性組合還是冪等矩陣的一些充分條件，這些條件不僅概括了文獻(xiàn)[1]及文獻(xiàn)[2]中的相關(guān)結(jié)論，而且還得到一些新結(jié)果。　　關(guān)鍵詞：冪等矩陣；線性組合；對角化；相似矩陣　　Idempotency of linear combinations

6、 of three idempotent matrices　　Abstract　　Some sufficient conditions for linear combination of the three nonzero, different and mutually commutative idempotent

7、 matrices which is still idempotent matrix, has being considered in this article. Those conditions not only summarize the related conclusions of the first reference and the fourth reference, but also obtain some new res

8、ults.　　Key words: Idempotent matrixes; Linear combination; Diagonalization; Similar matrices　　目錄　　0 序言1

9、　　1 預(yù)備知識4　　2 主要結(jié)果及證明4　　3 討論10　　3.1 與文獻(xiàn)[1]之間的關(guān)系10　　3.2 與文獻(xiàn)[2]之間的關(guān)系10<

10、p>　　3.3 命題3結(jié)論（a）與命題5結(jié)論（6）的關(guān)系10　　3.4 不足之處10　　4 說明10　　參考文獻(xiàn)26　　致謝27<

11、;/p>　　0 序言　　近年來，2個和3個冪等矩陣的線性組合仍然是冪等矩陣的問題，是算子論中的一個重要問題已被研究.現(xiàn)狀如下：　　命題1 （文獻(xiàn)[3，定理4]）設(shè)，是數(shù)域F上的兩個階非零冪等陣，為非零的數(shù)，則矩陣,的線性組合仍是冪等陣當(dāng)且僅當(dāng)下列四個條件之一成立.&

12、lt;p>　　；　??；　?。?lt;/b>　??；　　命題2 （見文獻(xiàn)[4,Theorem 1]）設(shè)，且，.

13、　　如果下列情況之一成立，則矩陣是冪等矩陣，其中，　　表示復(fù)數(shù).　?。?lt;/b>　　當(dāng)，時，有　　，，；&l

14、t;/p>　　，，；　　，，；　　，，；　　，；　　，或；</b&g

15、t;　　，或；　　，或；　　，或；　　，或　　或或.<

16、/b>　　當(dāng)，時，有　　，；　　，；　　，　　或；&l

17、t;/b>　　當(dāng)，時，有　　，；　　，；　　，　　或.

18、　　當(dāng)，時，有　　，；　　，.　　命題3 （文獻(xiàn)[1，Theorem 3.2]） Let withandbe their linear c

19、ombination of the form 　　,　　With nonzero scalars .Them we have the following situations for whichis an idempotent matrix. denotes a commuting family of nonzero

20、 idempotent matrices.　　;　　;　　;　　;　　命題4

21、（文獻(xiàn)[1，Remark 1]）For ,under the hypotheses of the theorem, we have the following:　　If then .　　If then .　　If then .　　If then .</p&g

22、t;　　If then .　　If then .　　If then .　　命題5 （文獻(xiàn)[2，定理3]）設(shè)是3個非零兩兩不同且相互可交換的冪等矩陣并且是非零復(fù)數(shù)時，如果下列情形之一成立，則矩陣是冪等矩陣.

23、本文主要討論3個非零兩兩不同且相互可交換的冪等矩陣的線性組合還是冪等矩陣的一些充分條件, 這些條件不僅概括了文獻(xiàn)[1]與文獻(xiàn)[2]的相關(guān)結(jié)論，而且還得到一些新結(jié)果.　　1 預(yù)備知識　　定義1 若階方陣，存在可逆矩陣，使得，則稱矩陣與相似.　　定義2 若階方陣與一個對角矩

24、陣相似，則稱是可對角化的.　　定義3 若階方陣，存在可逆矩陣，使得和都是對角矩陣，則稱可同時對角化.　　引理1 設(shè)是3個非零兩兩不同且相互可交換的冪等矩陣并且是非零復(fù)數(shù)，令　　.　　為冪等矩陣當(dāng)且僅當(dāng)</b

25、>　　.　　證明：參看文獻(xiàn)[2，引理1]. ■　　引理2 所有可對角化的矩陣，若它們兩兩相互可交換，則它們可同時對角化.　　證明：參看文獻(xiàn)[5]. ■　　引理3 是3個非零兩

26、兩不同且相互可交換的冪等矩陣并且是非零復(fù)數(shù)，則　　為冪等矩陣當(dāng)且僅當(dāng)　　.　　其中分別是的特征值.　　證明：參看文獻(xiàn)[2，引理2]. ■<b&g

27、t;　　2 主要結(jié)果及證明　　定理1 是3個非零兩兩不同且相互可交換的冪等矩陣，且滿足下列之一，則為冪等矩陣　　(1) ，；　　(2) ，；　　(3) ，，

28、；　　(4) ，，；　　(5) ，，；　　(6) ，，；　　(7) ，，；&

29、lt;p>　　(8) ；　　證明：由引理1知只需證明：　　.　　僅證明（1）的情況，其它類似可證.當(dāng)（1）成立時，　　由(1) ，，代入得：. ■

30、　　定理2 是3個非零兩兩不同且相互可交換的冪等矩陣，且滿足下列之一，則為冪等矩陣　　(1) ，；　　(2) ，；　　(3) ；　　(4)

31、；　　(5) ；　　(6) ；　　(7) ；　　(8) ；

32、;　　證明：由引理1知只需證明：　　.　　僅證明(1)的情況，其它類似可證.當(dāng)（1）成立時，　　由(1) ，代入得：. ■　　定理3 是3個非零兩兩不同且相互可交換的冪等矩陣，且滿足下列之一，則為冪等矩陣&

33、lt;p>　　(1) ，；　　(2) ，；　　(3) ，，；　　(4) ，，；　　(5) ，，；

34、　　(6) ，，；　　(7) ，，；　　(8) ；　　證明：由引理1知只需證明：

35、;　　.　　僅證明（1）的情況,其它可類似證明。當(dāng)（1）成立，　　由(1)，代入得：. ■　　定理4 是3個非零兩兩不同且相互可交換的冪等矩陣，且滿足下列之一，則為冪等矩陣　　1. ，；

36、　　2. ，；　　3. ，；　　4. ，；　　5. ，；　　6. ，；</b&

37、gt;　　7. ；　　8. ，；　　9. ，；　　10. ，；<b&g

38、t;　　11. ，；　　12. ，；　　13. ，；　　14. ，；　　15. ，；</p&g

39、t;　　16. ，；　　17. ，；　　18.；　　證明：僅證1的情況，其它可類似證明.　　由引理1知只需證明：.當(dāng)1成立時,</

40、p>　　由1.，代入得：. ■　　定理5 若為冪等矩陣,則與是等價的.　　證明：由引理1知為冪等矩陣當(dāng)且僅當(dāng),即.因此只要證明為冪等矩陣當(dāng)且僅當(dāng). 　　充分條件：由于兩兩可交換，由引理2，存在可逆矩陣使：　　，由此得：<

41、;/b>　　.　　可見　　為冪等矩陣當(dāng)且僅當(dāng) 　　其中.　　由.<

42、/p>　　對，可能的取值范圍:　　.　　因為，則不能有兩個為1.　　所以只能有　　.&l

43、t;b>　　由此得：.　　必要條件：因為為冪等矩陣當(dāng)且僅當(dāng).若,有，則為冪等矩陣. ■　　注：若時，有下列的條件成立　??；　?。?lt;/b>

44、　　；　??；　??；　??；　??；<b

45、>　?。?lt;/b>　??；　　；　　；　??；

46、?。?lt;/b>　　證明：僅證的情況，其它可類似證明.　　由于.　　則對，可能的取值范圍　　又由于. 　　所以只能有</b

47、>　　.　　由于，不失一般性，設(shè)　　，對于，　　任意取自中的兩個時，或者或者或者，這些都與已知條件矛盾。因此. 　　只能有<

48、/b>　　，　　從而得：. ■　　3 討論　　3.1 與文獻(xiàn)[1]之間的關(guān)系　　1）文獻(xiàn)[1]所得的命題3和

49、4只是本文定理1，2，3，4中的一部份：命題3結(jié)論（a）是定理4中的結(jié)論16；命題3結(jié)論（b）是定理3結(jié)論（5）和（6）；命題3結(jié)論（c）定理2結(jié)論（5）和（6）；命題3結(jié)論（d）定理1結(jié)論（5）和（6）；　　2）文獻(xiàn)[1]所得的命題4是本文注的一部份：命題4中的結(jié)論分別對應(yīng)注中結(jié)論（a），　?。╠2），（d1），（b2），（b3），（c3），（c1）.

50、　　3.2 與文獻(xiàn)[2]之間的關(guān)系　　在文獻(xiàn)[2]基礎(chǔ)上，增加了9個充分條件（可分為兩類）：定理4結(jié)論1-6和13-15.　　3.3 命題3結(jié)論（a）與命題5結(jié)論（6）的關(guān)系　　由定理5知，命題5結(jié)論（6）與命題3結(jié)論（a）是等價的.<p&g

51、t;　　3.4 不足之處　　定理1，2與3的結(jié)論沒有命題4中的結(jié)論（5）范圍廣,是屬于其中的一部分.　　4 說明　　對于上述定理1-5，人們會有疑問：定理的條件結(jié)論很多，但證明很簡單，其實得到這些結(jié)論的背景還是要費些周折.</p&g

52、t;　　首先，由于兩兩可交換，由引理1，則存在可逆矩陣,使：　　，則　　令，，.　　可見　　為冪等矩陣當(dāng)且僅當(dāng).

53、　　由.　　對于，可能取到的范圍　　.　　其次，因為方程組有3個變量，當(dāng)時，可以解出　　的值，其必要條件是所選取的3個向量是無關(guān)的.因此采用窮舉法窮取A中非零的3個向量（共有種）

54、，正好可以選取無關(guān)的情況,從而可以解出的值.　　下面用窮舉法把它們都列出來.　　，此時.（矛盾）.　　把它代入方程組,若方程組有解,不失一般性，　　，.

55、　即,由及得：方程組無解.　　此時（矛盾）.　　類似（1）的證明可得：方程組無解.　　，.　　把這一組特征值代入方程組，若方程組有解,不失一般性，<

56、b>　　, .　　即由及得:則.　　容易驗證：.　　,.　　把這一組特征值代入方程組，若方程組有解,不失一般性，

57、;　　,.　　即，由及得：.　　則.　　容易驗證：.　　, .

58、;　　把這一組特征值代入方程組，若方程組有解,不失一般性，　　，.　　即由及得：.　　則.　　此

59、時 .　　容易驗證：　　.　　此時.　　.　　把這一組特征

60、值代入方程組,若方程組有解,不失一般性，　　.　　即由及得: .　　容易驗證：.　　此時（矛盾）

61、　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性，　　.　　即由及得: .　　則.　　,.

62、　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　.　　即由及得:,則.　　容易驗證：.<b&g

63、t;　　, 此時（矛盾）.　　類似（1）的證明得:方程組無解.　　,.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有,　　即由及得: &l

64、t;p>　　則或.　　容易驗證：.　　.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　.</

65、p>　　即由及得: .　　則或.　　此時.　　容易驗證：.　　此時（

66、矛盾）　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　即由及得: . 　　則.　　此時.　　.&l

67、t;/b>　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　.　　即由及得:,.　　容易驗證:&

68、lt;b>　　.　　.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　,.　　.<p&g

69、t;　　此時 .　　容易驗證:　　.　　.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：

70、　　,.　　.　　.　　此時 .　　容易驗證:</p&

71、gt;　　.　　此時（矛盾）.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　.　　即由及得: .&

72、lt;/b>　　則.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　,.　　..

73、;　　容易驗證：　　.　　，.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　.

74、　即由及得: . 　　.　　此時 .　　容易驗證:　　.

75、　　.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　,.　　.　　.<b&

76、gt;　　此時 .　　容易驗證:　　.　　.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：<p&

77、gt;　　, ,　　，.　　易知 .　　容易驗證:　　.&

78、lt;p>　　,　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　, . 　　.　　容易驗證:<

79、/p>　　.　　,.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　.　　，.

80、　　容易驗證:　　.　　,.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有:　　.<

81、;/b>　　，.　　容易驗證:　　.　　,　　把這一組特征值代入方程組,

82、若方程組有解,不失一般性有:　　.　　，.　　容易驗證:　　.

83、;　　, .　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有,　　.　　.　　.<

84、b>　　此時 .　　容易驗證:　　.　　,.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：<

85、;p>　　.　　.　　容易驗證:　　.　　,.<

86、;p>　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　,.　　.　　.　　此時 .

87、;　　容易驗證:　　.　　此時.　　.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有:&

88、lt;/p>　　,.　　，.　　容易驗證:　　.　　,.

89、;　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　,.　　.　　.　　容易驗證:&l

90、t;/b>　　.　　,.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　, .

91、　　.　　容易驗證:　　.　　, 此時.　　.　　把這一組

92、特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　,.　　.　　容易驗證:　　.

93、;　　此時.　　.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　,.　　，.&l

94、t;p>　　容易驗證:　　.　　此時.　　.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：</p

95、>　　,.　　.　　容易驗證:　　.　　此時.<

96、/p>　　.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　,.　　，.　　容易驗證:</b

97、>　　.　　則　　.　　把這一組特征值代入方程組,若方程組有解,不失一般性有：　　,.<

98、;/b>　　.　　.　　此時 .　　容易驗證:　　.&

99、lt;/b>　　最后，對上述計算得到的結(jié)果進(jìn)行整理，總結(jié)得出上面的定理.　　參考文獻(xiàn)　　[1] Halim Özdemir,Ahrnet Yasar Özban.On idempotency of linear combinations of ide

100、mpotent matrices [J].Applied Mathematics and Computation,2004,159(2):439-448.　　[2] 王月清，王愛麗.3個冪等矩陣線性組合的冪等性[J].寶雞文理學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2005, 25(3):167-168.　　[3] 寧群.關(guān)于冪等矩陣的相似與線性組合[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2

101、004,20,(3):84-85. 　　[4] Baksalary, Oskar Maria.Idempotency of linear combinations of three idempotent matrices, two of which are disjoint[J].Linear Algebra and its Applications,2004,388:67-78.</p&

102、gt;　　[5] 張禾瑞，郝炳新，高等代數(shù)（第四版），高等教育出版社，北京.　　[6] Vachelav Rabanovich.Every matrix is a linear combination of three idempotents [J]. Linear Algebra and its Applications 2004,15(3):228-235.</p

103、>　　[7] Jerzy K.Baksalary,Oskar Maria Badsalary, Idempotency of linear combinations of an idempotent matrix and a tripotent matrix [J].Linear Algebra and its Applications 2002,35(4):21-34.<p&g

104、t;　　致謝　　首先，感謝我們的指導(dǎo)老師——楊忠鵬老師對我們選題、確定方向、內(nèi)容等的指導(dǎo)，并指導(dǎo)我們對參考文獻(xiàn)的閱讀.在這期間，幫我確定論文方向，找到寫這篇論文的思路，并對這篇論文的進(jìn)展情況進(jìn)行了耐心的詢問，還與我共同討論，所以，這篇論文的落定必須感謝楊老師。　　其次，要感謝我們數(shù)學(xué)系為我們提供的各種優(yōu)惠條件

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