數(shù)學(xué)歸納法-2019年領(lǐng)軍高考數(shù)學(xué)（理）必刷題 ---精校解析word版

1、<p>　　考點(diǎn)39 數(shù)學(xué)歸納法</p><p>　　1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：（）能被整除．從假設(shè)成立 到成立時(shí)，被整除式應(yīng)為( )</p><p>　　A． B． C． D． </p><p><b>　　【答案】C</b></p><p>　　【解析】由于當(dāng)n=k+1 時(shí)，x2n

2、-1+y2n-1 =x2k+1 +y2k+1，故選： C．</p><p>　　2．等式（ ）</p><p>　　A． 時(shí)都成立 B． 當(dāng)時(shí)成立</p><p>　　C． 當(dāng)時(shí)成立， 時(shí)不成立 D． 僅當(dāng)時(shí)不成立</p><p><b>　　【答案】B</b></p><p&g

3、t;　　3．利用數(shù)學(xué)歸納法證明“，”時(shí)，從“”變到“”時(shí)，左邊應(yīng)增乘的因式是（ ）</p><p>　　A． B． C． D． </p><p><b>　　【答案】C</b></p><p>　　【解析由題意，n="k" 時(shí)，左邊為（k+1）（k+2）…（k+k）；n=k+1時(shí)，左邊為（k+2）

4、（k+3）…（k+1+k+1）；從而增加兩項(xiàng)為（2k+1）（2k+2），且減少一項(xiàng)為（k+1），故選C．</p><p>　　4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“…”時(shí)，由到時(shí)，不等試左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是( )</p><p>　　A． B． </p><p>　　C． D． </p><p><b>　　【答案】C</b&

5、gt;</p><p>　　5．如果命題對(duì)于成立，同時(shí)，如果成立，那么對(duì)于也成立。這樣，下述結(jié)論中正確的是 （ ）</p><p>　　A． 對(duì)于所有的自然數(shù)成立 B． 對(duì)于所有的正奇數(shù)成立</p><p>　　C． 對(duì)于所有的正偶數(shù)成立 D． 對(duì)于所有大于3的自然數(shù)成立</p><p><b>　　【

6、答案】B</b></p><p>　　【解析】由于若命題對(duì)成立，則它對(duì)也成立． 又已知命題成立，可推出 均成立，即對(duì)所有正奇數(shù)都成立故選：B．</p><p>　　6．已知正項(xiàng)數(shù)列中，用數(shù)學(xué)歸納法證明：.</p><p><b>　　【答案】見(jiàn)解析.</b></p><p>　　7．設(shè)，正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)的

7、積為，且，當(dāng)時(shí)， 都成立.</p><p>　?。?）若， ， ，求數(shù)列的前項(xiàng)和；</p><p>　?。?）若， ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.</p><p>　　【答案】(1) (2) </p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　?。?）當(dāng)n≥2時(shí)，因?yàn)镸={1}，所以=TnT

8、1，可得an+1=ana1，</p><p>　　故=a1=3（n≥2）．</p><p>　　又a1=，a2=3，則{an}是公比為3的等比數(shù)列，</p><p>　　故{an}的前n項(xiàng)和為=?3n﹣．</p><p>　?。?）當(dāng)n＞k時(shí)，因?yàn)?TnTk，所以=Tn+1Tk，</p><p>　　所以a2，a3，a

9、4是公比為q的等比數(shù)列，所以{an}（n≥2）是公比為q的等比數(shù)列．</p><p>　　因?yàn)楫?dāng)n=4，k=3時(shí)，T7T1=T42T32；</p><p>　　當(dāng)n=5，k=4時(shí)，T9T1=T52T42，</p><p>　　所以（）7=2a24，且（）10=2a26，所以=2，a2=2．</p><p>　　又a1=，所以{an}（n∈N*

10、）是公比為的等比數(shù)列．</p><p>　　故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=2n﹣1?．</p><p>　　8．已知數(shù)列滿(mǎn)足…．</p><p>　?。?）求， ， 的值；</p><p>　?。?）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明．</p><p>　　【答案】(1) (2)見(jiàn)解析</p><p&

11、gt;<b>　　，</b></p><p><b>　　于是．</b></p><p>　　所以， 故時(shí)結(jié)論也成立．</p><p><b>　　由①②得， ．</b></p><p>　　9．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于任意的，.</p><p><

12、;b>　　【答案】見(jiàn)解析</b></p><p>　　10．（1）已知，比較和的大小并給出解答過(guò)程；</p><p>　?。?）證明：對(duì)任意的，不等式成立.</p><p>　　【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.</p><p><b>　　【解析】 </b></p><p>

13、　　11．已知數(shù)列是等差數(shù)列，. </p><p>　　(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；</p><p>　　(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng) (其中且)記是數(shù)列的前項(xiàng)和，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.</p><p>　　【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，證明見(jiàn)解析.</p><p><b>　　,</b></p>&l

14、t;p>　　即當(dāng)n=k+1時(shí)，(*)式成立</p><p>　　由①②知，(*)式對(duì)任意正整數(shù)n都成立 于是，當(dāng)a＞1時(shí)，Sn＞logabn+1 ,當(dāng) 0＜a＜1時(shí)，Sn＜logabn+1 .</p><p>　　12．已知數(shù)列滿(mǎn)足，.</p><p>　　（1）計(jì)算，，，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想的表達(dá)式；</p><p>　?。?）用

15、數(shù)學(xué)歸納法證明你猜想的結(jié)論.</p><p>　　【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.</p><p>　　由題意得，∴當(dāng)時(shí)猜想也成立；</p><p>　　由①和②，可知猜想成立，即.</p><p>　　13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，.</p><p>　?。?）計(jì)算，，，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想的表達(dá)式；&

16、lt;/p><p>　　（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你猜想的結(jié)論.</p><p>　　【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.</p><p><b>　　∴，</b></p><p><b>　　∴，</b></p><p><b>　　∴當(dāng)時(shí)猜想也成立，</b

17、></p><p>　　由①和②，可知猜想成立，即.</p><p>　　14．已知數(shù)列滿(mǎn)足且.</p><p>　　（1）計(jì)算、、的值，由此猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；</p><p>　　（2）用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)你的結(jié)論進(jìn)行證明．</p><p>　　【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析.</p><p

18、>　　15．是否存在常數(shù)，使得等式</p><p>　　對(duì)一切正整數(shù)都成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．</p><p><b>　　【答案】見(jiàn)解析.</b></p><p>　　【解析】假設(shè)存在，使得所給等式成立．</p><p>　　16．是否存在正整數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)都能被36整除？若存在，求出的

19、最小值，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.</p><p><b>　　【答案】見(jiàn)解析</b></p><p>　　17．已知正項(xiàng)數(shù)列中，且</p><p>　?。?）分別計(jì)算出的值，然后猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；</p><p>　?。?）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.</p><p>　

20、　【答案】（1）；；（2）見(jiàn)解析.</p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　?。?） 令得化簡(jiǎn)得，</p><p><b>　　解得或 . </b></p><p>　　18．?dāng)?shù)列中，，前項(xiàng)的和記為．</p><p>　?。?）求的值，并猜想的表達(dá)式

21、；</p><p>　?。?）請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．</p><p>　　【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析</p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　（1）∵，∴，，∴猜想．</p><p>　　（2）證明：①當(dāng)時(shí)， ，猜想成立；</p><p&

22、gt;　　②假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想成立，即：；</p><p><b>　　∴當(dāng)時(shí)，</b></p><p>　　∴時(shí)猜想成立∴由①、②得猜想得證．</p><p><b>　　19．</b></p><p><b>　　(1)證明： ；</b></p><p>

23、;<b>　　(2)證明：()；</b></p><p><b>　　(3)證明：.</b></p><p>　　【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.</p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　?。?lt;/b></

24、p><p><b>　?。?）由題意得，</b></p><p>　　20．設(shè),對(duì)于，有.</p><p><b>　?。?）證明：</b></p><p><b>　?。?）令,</b></p><p>　　證明 ：（I）當(dāng)時(shí)，</p>&l

25、t;p><b>　　（II）當(dāng)時(shí)，</b></p><p>　　【答案】（1）見(jiàn)解析;（2）（I）見(jiàn)解析;（II）見(jiàn)解析.</p><p>　　21．用數(shù)學(xué)歸納法證明：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)時(shí)，從“n＝k到n＝k＋1”時(shí)，左邊應(yīng)增加的代數(shù)式為_(kāi)_______．</

26、p><p>　　【答案】2(2k＋1)</p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　首先寫(xiě)出當(dāng)n＝k時(shí)和n＝k＋1時(shí)等式左邊的式子．</p><p>　　當(dāng)n＝k時(shí)，左邊等于(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝(k＋1)(k＋2)…(2k)，①</p><p>　　當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

27、左邊等于(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，②</p><p>　　∴從n＝k到n＝k＋1的證明，左邊需增加的代數(shù)式是由兩式相除得到</p><p><b>　?。?(2k＋1)．</b></p><p>　　22．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”從到左端需增乘的代數(shù)式為_(kāi)___________．</p><p&g

28、t;<b>　　【答案】</b></p><p>　　23．設(shè)，那么 ______．</p><p><b>　　【答案】</b></p><p>　　【解析】 ，， ，</p><p><b>　　故答案為.</b></p><p>　　24．用數(shù)學(xué)