直接證明與間接證明-2019年領軍高考數(shù)學（理）---精校解析word版

1、<p>　　考點38 直接證明與間接證明</p><p>　　1．用反證法證明數(shù)學命題時，首先應該做出與命題結論相反的假設，否定“自然數(shù)中恰有一個偶數(shù)”時正確的反設為 ( )</p><p>　　A． 自然數(shù)都是奇數(shù) B． 自然數(shù)都是偶數(shù)</p><p>　　C． 自然數(shù)至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù) D． 自然數(shù)

2、至少有兩個偶數(shù)</p><p><b>　　【答案】C</b></p><p>　　【解析】命題的否定是命題本題反面的所有情況，所以“自然數(shù)中恰有一個偶數(shù)”的否定是“自然數(shù)至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)”，選C.</p><p>　　2．用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程有有理根，那么，，中至少有一個是偶數(shù)”時，下列假設中正確的是（ ）．

3、</p><p>　　A． 假設，，都是偶數(shù)</p><p>　　B． 假設，，都不是偶數(shù)</p><p>　　C． 假設，，至多有一個是偶數(shù)</p><p>　　D． 假設，，至多有兩個是偶數(shù)</p><p><b>　　【答案】B</b></p><p>　　3．用反證

4、法證明命題“等腰三角形的底角必是銳角”,下列假設正確的是（ ）</p><p>　　A． 等腰三角形的頂角不是銳角 B． 等腰三角形的底角為直角</p><p>　　C． 等腰三角形的底角為鈍角 D． 等腰三角形的底角為直角或鈍角</p><p><b>　　【答案】D</b></p><p>　　【解析】

5、分析：反證法的假設需要寫出命題的反面，結合題意寫出所給命題的反面即可.</p><p>　　詳解：反證法的假設需要寫出命題的反面.</p><p>　　“底角必是銳角”的反面是“底角不是銳角”，即底角為直角或鈍角.</p><p><b>　　本題選擇D選項.</b></p><p>　　4．用反證法證明命題“若都是正數(shù)

6、，則三數(shù)中至少有一個不小于2”，提出的假設是（ ）</p><p>　　A． 不全是正數(shù) B． 至少有一個小于2</p><p>　　C． 都是負數(shù) D． 都小于2</p><p><b>　　【答案】D</b></p><p>　　5．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于”時，假設正確的是

7、（ ）</p><p>　　A． 假設三內(nèi)角都不大于 B． 假設三內(nèi)角都大于</p><p>　　C． 假設三內(nèi)角至多有一個大于 D． 假設三內(nèi)角至多有兩個大于</p><p><b>　　【答案】B</b></p><p>　　【解析】根據(jù)反證法的步驟，假設是對原命題結論的否定，“至少有一個”的否定：“

8、一個也沒有”；即“三內(nèi)角都大于60度”.</p><p><b>　　故選B.</b></p><p>　　6．①已知，是實數(shù)，若，則且，用反證法證明時，可假設且；②設為實數(shù)，，求證與中至少有一個不小于，用反證法證明時，可假設，且.則</p><p>　　A． ①的假設正確，②的假設錯誤 B． ①的假設錯誤，②的假設正確</p>

9、;<p>　　C． ①與②的假設都錯誤 D． ①與②的假設都正確</p><p><b>　　【答案】B</b></p><p>　　7．用反證法證明“三角形中至少有兩個銳角”，下列假設正確的是（ ）</p><p>　　A． 三角形中至多有兩個銳角 B． 三角形中至多只有一個銳角</p&

10、gt;<p>　　C． 三角形中三個角都是銳角 D． 三角形中沒有一個角是銳角</p><p><b>　　【答案】B</b></p><p>　　【解析】用反證法證明“一個三角形中至少有兩個銳角”時，應先假設“一個三角形中最多有一個銳角”.</p><p><b>　　故選：B.</b></p&

11、gt;<p>　　8．用反證法證明命題“已知為整數(shù)，若不是偶數(shù)，則都不是偶數(shù)”時，下列假設中正確的是（ ）</p><p>　　A． 假設都是偶數(shù) B． 假設中至多有一個偶數(shù)</p><p>　　C． 假設都不是奇數(shù) D． 假設中至少有一個偶數(shù)</p><p><b>　　【答案】D</b></p>&

12、lt;p>　　【解析】由于“都不是”的否定是“不都是”，即“至少有一個”，所以應該假設中至少有一個偶數(shù)，故選D.</p><p>　　9．已知實數(shù)滿足，，用反證法證明：</p><p>　　中至少有一個小于0．下列假設正確的是 （ ）</p><p>　　A． 假設至多有一個小于0</p><p>　　B． 假設中至多有兩個大于0

13、</p><p><b>　　C． 假設都大于0</b></p><p>　　D． 假設都是非負數(shù)</p><p><b>　　【答案】D</b></p><p>　　【解析】由于命題“若a，b，c，d中至少有一個小于0”的反面是“a，b，c，d都是非負數(shù)”，故用反證法證明時假設應為“a，b，c，d

14、都是非負數(shù)”．</p><p><b>　　故選D．</b></p><p>　　10．對于命題：，若用反證法證明該命題，下列假設正確的是（ ）．</p><p>　　A． 假設，都不為0 B． 假設，至少有一個不為0</p><p>　　C． 假設，都為0 D． 假設，中至多有一個為0</p>

15、<p><b>　　【答案】A</b></p><p>　　11．用反證法證明“已知，求證：.”時，應假設( )</p><p>　　A． B． C． 且 D． 或 </p><p><b>　　【答案】D</b></p><p>　　【解析】根據(jù)反證法證明

16、數(shù)學命題的方法，</p><p>　　應先假設要證命題的否定成立，</p><p>　　而的否定為“不都為零”，故選D.</p><p>　　12．用反證法證明命題“已知為非零實數(shù)，且，，求證中至少有兩個為正數(shù)”時，要做的假設是（ ）</p><p>　　A． 中至少有兩個為負數(shù) B． 中至多有一個為負數(shù)</p>&

17、lt;p>　　C． 中至多有兩個為正數(shù) D． 中至多有兩個為負數(shù)</p><p><b>　　【答案】A</b></p><p>　　【解析】用反證法證明某命題時，應先假設命題的否定成立，</p><p>　　而：“中至少有二個為正數(shù)”的否定為：“中至少有二個為負數(shù)”．</p><p><b>　　

18、故選A．</b></p><p><b>　　13．設函數(shù)，.</b></p><p>　　(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性；</p><p>　　(Ⅱ)當時，函數(shù)恰有兩個零點，證明：</p><p>　　【答案】(1) 當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.</p><

19、;p><b>　　(2)證明見解析.</b></p><p>　　14．若無窮數(shù)列滿足：是正實數(shù)，當時，，則稱是“-數(shù)列”.已知數(shù)列是“-數(shù)列”.</p><p>　?。á瘢┤?，寫出的所有可能值；</p><p>　?。á颍┳C明：是等差數(shù)列當且僅當單調(diào)遞減；</p><p>　?。á螅┤舸嬖谡麛?shù)，對任意正整數(shù)，都

20、有，證明：是數(shù)列的最大項.</p><p>　　【答案】（1）-2，0，2，8.（2）見解析（3）見解析</p><p>　　15．已知集合是集合 的一個含有個元素的子集.</p><p><b>　?。á瘢┊敃r,</b></p><p><b>　　設</b></p><p&g

21、t;　?。╥）寫出方程的解；</p><p>　?。╥i）若方程至少有三組不同的解,寫出的所有可能取值.</p><p>　　（Ⅱ）證明:對任意一個,存在正整數(shù)使得方程 至少有三組不同的解.</p><p>　　【答案】（Ⅰ）（）,（）；（Ⅱ）證明見解析.</p><p>　　假設不存在滿足條件的,則這個數(shù)中至多兩個、兩個、兩個、兩個、兩個、

22、兩個,從而</p><p><b>　　又</b></p><p>　　這與矛盾,所以結論成立.</p><p>　　16．（1）（用綜合法證明）</p><p>　　已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且A、B、C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，證明：△ABC為等邊三角形。</p>&

23、lt;p>　?。?）（用分析法證明）</p><p>　　設a，b，c為一個三角形的三邊，s＝(a＋b＋c)，且s2＝2ab，試證：s<2a.</p><p>　　【答案】(1)見解析;(2)見解析.</p><p>　?。?）要證s<2a，由于s2＝2ab，所以只需證s<，即證b<s. </p><p>　　因

24、為s＝ (a＋b＋c)，所以只需證2b<a＋b＋c，即證b<a＋c. </p><p>　　由于a，b，c為一個三角形的三條邊，所以上式成立．于是原命題成立．</p><p><b>　　【點睛】</b></p><p>　　所謂綜合法，是指“由因?qū)Ч钡乃季S方法，即從已知條件出發(fā)，不斷地展開思考，去探索結論的方法．</p&

25、gt;<p>　　所謂分析法，是指“執(zhí)果索因”的思維方法，即從結論出發(fā)，不斷地去尋找需知，直至達到已知事實為止的方法．</p><p>　　應用分析法證題時，語氣總是假定的，通常的語氣有：“若要證明A，則先證明B；若要證明B，則先證明C，……”或“若要A成立，必先B成立；若要B成立，必先C成立，……”。</p><p>　　17．已知△ABC的三邊長為a，b，c，三邊互不相等

26、且滿足b2＜ac</p><p>　　(1)比較與的大小，并證明你的結論；</p><p>　　(2)求證：B不可能是鈍角．</p><p>　　【答案】(1)見解析;(2)見解析.</p><p>　　學們的解題能力大有裨益．</p><p>　　一、反證法的基本內(nèi)容</p><p>　　1．

27、步驟：①假設命題結論不成立，即假設結論的反面成立（反設）；②從這個假設出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾（歸謬）；③由矛盾判斷假設不成立，從而肯定命題的結論成立（結論）．</p><p>　　其中推出矛盾主要有下列情形：①與已知條件矛盾；②與公理、定理、定義及性質(zhì)矛盾；③與假設矛盾；④推出自相矛盾的結論．</p><p>　　2．宜用反證法證明的題型：①易導出與已知矛盾的命題；②否定性命題；③惟

28、一性命題；④至少至多型命題；⑤一些基本定理；⑥必然性命題等．</p><p>　　18．在各項均為正數(shù)的數(shù)列中， 且. </p><p>　?。á瘢┊敃r，求的值；</p><p>　　（Ⅱ）求證：當時，.</p><p>　　【答案】(Ⅰ)見解析；（Ⅱ）見解析.</p><p>　　只需證 ，只需證 .</p&

29、gt;<p><b>　　只需證 ， </b></p><p><b>　　只需證 ， </b></p><p><b>　　根據(jù)均值定理，</b></p><p><b>　　所以原命題成立. </b></p><p>　　19．（1）證

30、明：當時，；</p><p>　?。?）已知，且，求證：與中至少有一個小于2．</p><p>　　【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.</p><p><b>　　20．（Ⅰ）求證：</b></p><p>　　（Ⅱ）已知，且，求證：和中至少有一個小于2.</p><p>　　【答案】（

31、Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析.</p><p>　　21．若均為實數(shù)，且，， ， </p><p>　　，求證：中至少有一個大于.</p><p>　　【答案】證明見解析.</p><p>　　【解析】證明：設都不大于，即</p><p><b>　　又</b></p><p&g

32、t;<b>　　,,,</b></p><p><b>　　與矛盾.</b></p><p>　　假設錯誤，原命題正確，即中至少有一個大于.</p><p>　　22．設實數(shù)成等差數(shù)列，實數(shù)成等比數(shù)列，非零實數(shù)是與的等差中項.</p><p><b>　　求證：.</b><

33、;/p><p><b>　　【答案】見解析</b></p><p>　　點睛：所謂綜合法，是指“由因?qū)Ч钡乃季S方法，即從已知條件出發(fā)，不斷地展開思考，去探索結論的方法．</p><p>　　所謂分析法，是指“執(zhí)果索因”的思維方法，即從結論出發(fā)，不斷地去尋找需知，直至達到已知事實為止的方法．</p><p>　　應用分析法證

34、題時，語氣總是假定的，通常的語氣有：“若要證明A，則先證明B；</p><p>　　若要證明B，則先證明C，……”或“若要A成立，必先B成立；若要B成立，</p><p>　　必先C成立，……”。</p><p>　　23．（1）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且證明： ；</p><p>　　（2）已知結論：在直角三角形中，若兩直角邊長分別為，斜邊

35、長為 ，則斜邊上的高 .若把</p><p>　　該結論推廣到空間：在側(cè)棱互相垂直的四面體中，若三個側(cè)面的面積分別為，底面面積為，則該四面體的高與之間的關系是什么？（用表示）</p><p>　　【答案】(1)證明見解析.</p><p><b>　　(2).</b></p><p><b>　　面，顯然成立，

36、故</b></p><p>　?。?）解：記該四面體的三條側(cè)棱長分別為，</p><p><b>　　不妨設，</b></p><p><b>　　由，</b></p><p><b>　　得，</b></p><p><b>　　

37、于是</b></p><p><b>　　即.</b></p><p><b>　　24．求證：</b></p><p><b>　?。?）；</b></p><p><b>　?。?）．</b></p><p>　　【

38、答案】(1)見解析.</p><p><b>　　(2)見解析.</b></p><p><b>　　只要證，</b></p><p><b>　　只要證，</b></p><p><b>　　顯然成立，</b></p><p>&