b 知識講解 直線與雙曲線地位置關(guān)系(理)

1、<p>　　直線與雙曲線的位置關(guān)系</p><p><b>　　【學(xué)習(xí)目標(biāo)】</b></p><p>　　1.能正熟練使用直接法、待定系數(shù)法、定義法求雙曲線的方程；</p><p>　　2.能熟練運用幾何性質(zhì)（如范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線）解決相關(guān)問題；</p><p>　　3.能夠把直線與雙曲線的位置

2、關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為方程組解的問題，判斷位置關(guān)系及解決相關(guān)問題.</p><p><b>　　【知識網(wǎng)絡(luò)】</b></p><p><b>　　【要點梳理】</b></p><p>　　要點一、雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程</p><p><b>　　雙曲線的定義</b></p&

3、gt;<p>　　在平面內(nèi)，到兩個定點、的距離之差的絕對值等于常數(shù)（大于0且）的動點的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點、叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距.</p><p><b>　　雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：</b></p><p>　　焦點在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程</p><p>　　說明：焦點是F1(-c，0)、F2(c，0

4、)，其中c2=a2-b2</p><p>　　焦點在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程</p><p>　　說明：焦點是F1(0，-c)、F2(0，c)，其中c2=a2-b2</p><p>　　要點詮釋：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)從“定形”、“定式”和“定值”三個方面去思考.“定形”是指對稱中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸的情況下，焦點在哪條坐標(biāo)軸上；“定式”根據(jù)“形”設(shè)雙曲線方程的

5、具體形式；“定量”是指用定義法或待定系數(shù)法確定a,b的值.</p><p>　　要點二、雙曲線的幾何性質(zhì)</p><p>　　要點三、直線與雙曲線的位置關(guān)系</p><p>　　直線與雙曲線的位置關(guān)系</p><p>　　將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.</p><

6、p>　　若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；</p><p><b>　　若即，</b></p><p>　　①Δ＞0直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交，有兩個交點；</p><p>　?、讦ぃ?直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切，有一個公共點；</p><p>　?、郐ぃ?直線和雙曲線相離直線和雙曲

7、線相離，無公共點．</p><p>　　直線與雙曲線的相交弦</p><p>　　設(shè)直線交雙曲線于點兩點，則</p><p><b>　　==</b></p><p><b>　　同理可得</b></p><p>　　這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：</p&g

8、t;<p><b>　　雙曲線的中點弦問題</b></p><p>　　遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解.</p><p>　　在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率；</p><p>　　涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標(biāo)聯(lián)系起來相互轉(zhuǎn)化，同時還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋

9、找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.</p><p>　　解題的主要規(guī)律可以概括為“聯(lián)立方程求交點，韋達定理求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”.</p><p>　　要點四、雙曲線的實際應(yīng)用與最值問題</p><p>　　對于雙曲線的實際應(yīng)用問題，我們要抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，即建立數(shù)學(xué)模型，一般要先建立直角坐標(biāo)系，然后利用雙曲線定義，構(gòu)建參數(shù)a,b,c

10、之間的關(guān)系，得到雙曲線方程，利用方程求解</p><p>　　雙曲線中的最值問題，按照轉(zhuǎn)化途徑主要有以下三種：</p><p><b>　　利用定義轉(zhuǎn)化</b></p><p>　　利用雙曲線的幾何性質(zhì)</p><p><b>　　轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值</b></p><p>&

11、lt;b>　　【典型例題】</b></p><p>　　類型一：雙曲線的方程與性質(zhì)</p><p>　　例1.設(shè)F1、F2是雙曲線1(a>0，b>0)的兩個焦點，點P在雙曲線上，若，且，其中，求雙曲線的離心率．</p><p>　　【解析】由雙曲線定義知，||PF1|－|PF2||＝2a，</p><p>　　∴

12、|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2，</p><p>　　又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，∴|PF1|·|PF2|＝2b2，</p><p>　　又，∴2ac＝2b2，</p><p>　　∴b2＝c2－a2＝ac，∴e2－e－1＝0，∴e＝，</p><p>　　即雙曲線的離心率為.<

13、;/p><p>　　【總結(jié)升華】根據(jù)雙曲線的定義，幾何性質(zhì)，找到幾何量的關(guān)系是解決這類問題的關(guān)鍵。</p><p><b>　　舉一反三：</b></p><p>　　【變式1】求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．</p><p>　　(1)與橢圓共焦點，且過點(－2，)的雙曲線；</p><p>　　(2)與雙

14、曲線有公共焦點，且過點(3，2)的雙曲線．</p><p>　　【答案】(1)∵橢圓的焦點為(0，±3)，</p><p>　　∴所求雙曲線方程設(shè)為：，</p><p>　　又點(－2，)在雙曲線上，</p><p>　　∴，解得a2＝5或a2＝18(舍去)．</p><p>　　∴所求雙曲線方程為.<

15、/p><p>　　(2)∵雙曲線的焦點為(±2，0)，</p><p>　　∴設(shè)所求雙曲線方程為：，</p><p>　　又點(3，2)在雙曲線上，</p><p>　　∴，解得a2＝12或30(舍去)，</p><p>　　∴所求雙曲線方程為.</p><p>　　【變式2】設(shè)雙曲線焦點

16、在x軸上，兩條漸近線為y＝±x，則該雙曲線的離心率為(　　)</p><p>　　A．5 B. </p><p>　　C. D. </p><p><b>　　【答案】C</b></p><p>　　類型二：直線與雙曲線的位置關(guān)系</p><p>　　例2．

17、已知雙曲線x2－y2=4，直線l：y=k(x－1)，討論直線與雙曲線公共點個數(shù).</p><p><b>　　【思路點撥】</b></p><p>　　直線與曲線恰有一個交點，即由直線方程與曲線方程聯(lián)立的方程組只有一組解.</p><p>　　【解析】聯(lián)立方程組消去y，并依x聚項整理得：</p><p>　　(1－k2)

18、·x2+2k2x－k2－4=0 ①</p><p>　　(1)當(dāng)1－k2=0即k=±1時，方程①可化為2x=5，x=，方程組只有一組解，故直線與雙曲線只有一個公共點(實質(zhì)上是直線與漸近線平行時的兩種情況，相交但不相切).</p><p>　　(2)當(dāng)1－k2≠0時，即k≠±1，此時有Δ=4·(4－3

19、k2)若4－3k2>0(k2≠1)，</p><p>　　則k∈，方程組有兩解，故直線與雙曲線有兩交點.</p><p>　　(3)若4－3k2=0(k2≠1)，則k=±，方程組有解，故直線與雙曲線有一個公共點(相切的情況).</p><p>　　(4)若4－3k2<0且k2≠1則k∈，方程組無解，故直線與雙曲線無交點.</p>

20、<p>　　綜上所述，當(dāng)k=±1或k=±時，直線與雙曲線有一個公共點；</p><p>　　當(dāng)k∈時，直線與雙曲線有兩個公共點；</p><p>　　當(dāng)k∈時，直線與雙曲線無公共點.</p><p>　　【總結(jié)升華】本題通過方程組解的個數(shù)來判斷直線與雙曲線交點的個數(shù)，具體操作時，運用了重要的數(shù)學(xué)方法——分類討論，而且是“雙向討論”，既要

21、討論首項系數(shù)1——k2是否為0，又要討論Δ的三種情況，為理清討論的思路，可畫“樹枝圖”如圖：</p><p><b>　　舉一反三：</b></p><p>　　【變式1】過原點的直線l與雙曲線=－1交于兩點，則直線l的斜率取值范圍是 ( )</p><p>　　A. B.</p>&l

22、t;p>　　C. D.</p><p><b>　　【答案】B</b></p><p>　　【變式2】直線y=x+3與曲線－x·|x|+y2=1的交點個數(shù)是 ( )</p><p>　　A.0 B.1

23、 C.2 D.3</p><p><b>　　【答案】D</b></p><p>　　例3.過點與雙曲線有且只有一個公共點的直線有幾條，分別求出它們的方程。</p><p><b>　　【思路點撥】</b></p><p>　　顯然采用過P點的

24、直線方程與雙曲線方程聯(lián)立的方法，但要注意直線斜率不存在的情況要先判斷。</p><p>　　【解析】若直線的斜率不存在時，則，此時僅有一個交點，滿足條件；</p><p>　　若直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為則，</p><p><b>　　， ∴，</b></p><p><b>　　，</b>

25、;</p><p>　　當(dāng)時，方程無解，不滿足條件；</p><p>　　當(dāng)時，方程有一解，滿足條件；</p><p>　　當(dāng)時，令，化簡得：無解，所以不滿足條件；</p><p>　　所以滿足條件的直線有兩條和。</p><p>　　【總結(jié)升華】直線與雙曲線有一個公共點時可能相切也可能相交，注意直線的特殊位置和所過的

26、特殊點.</p><p><b>　　舉一反三：</b></p><p>　　【變式】雙曲線的右焦點到直線x-y-1=0的距離為,且.</p><p>　　(1)求此雙曲線的方程；</p><p>　　(2)設(shè)直線y=kx+m(m≠0)與雙曲線交于不同兩點C、D，若點A坐標(biāo)為(0，-b)，且|AC|=|AD|，求實數(shù)k取

27、值范圍。</p><p><b>　　【答案】（1）</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　類型三：雙曲線的弦</b></p><p>　　例4.（1）求直線被雙曲線截得的弦長；</p><p>　?。?）求過定

28、點的直線被雙曲線截得的弦中點軌跡方程.</p><p><b>　　【思路點撥】</b></p><p>　?。?）題為直線與雙曲線的弦長問題，可以考慮弦長公式，結(jié)合韋達定理進行求解。</p><p>　?。?）題涉及到直線被雙曲線截得弦的中點問題，可采用點差法或中點坐標(biāo)公式，運算會更為簡便.</p><p><b

29、>　　解：由得得（*）</b></p><p>　　設(shè)方程（*）的解為，則有 得，</p><p><b>　　.</b></p><p>　　（2）方法一：若該直線的斜率不存在時與雙曲線無交點，則設(shè)直線的方程為，它被雙曲線截得的弦為對應(yīng)的中點為， </p><p><b>　　由得（*）

30、</b></p><p>　　設(shè)方程（*）的解為，則 ∴，</p><p><b>　　且，</b></p><p><b>　　∴，</b></p><p><b>　　得或.</b></p><p>　　方法二：設(shè)弦的兩個端點坐標(biāo)為，

31、弦中點為，則</p><p><b>　　得：，</b></p><p>　　∴， 即， </p><p><b>　　即（圖象的一部分）</b></p><p>　　【總結(jié)升華】（1）弦長公式；</p><p>　　（2）注意上例中有關(guān)中點弦問題的兩種處理方法.&

32、lt;/p><p><b>　　舉一反三：</b></p><p>　　【變式1】垂直于直線的直線被雙曲線截得的弦長為，求直線的方程</p><p><b>　　【答案】</b></p><p>　　【變式2】雙曲線的一弦中點為（2，1），則此弦所在的直線方程為 （ ）</p>

33、;<p>　　A. B. C. D. </p><p><b>　　【答案】C</b></p><p>　　類型四：雙曲線的綜合問題</p><p>　　例5.已知點M(－2,0),N(2,0),動點P滿足條件</p><p>　　|PM|－|PN|=2.記動點P

34、的軌跡為W.</p><p>　　(Ⅰ)求W的方程; </p><p>　　(Ⅱ)若A,B是W上的不同兩點,O是坐標(biāo)原點,求的最小值.</p><p>　　【思路點撥】(Ⅱ)中，選好控制變量----直線的斜率k, 建立目標(biāo)的函數(shù)是關(guān)鍵。</p><p>　　【解析】(Ⅰ) 根據(jù)雙曲線的定義可得</p><p&g

35、t;<b>　　W的方程為.</b></p><p>　　(Ⅱ)設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(),(),當(dāng)AB與x軸不垂直時,設(shè)直線AB的方程為,與W的方程聯(lián)立,消去y得</p><p><b>　　故, 所以……</b></p><p><b>　　又因為所以從而</b></p><p

36、><b>　　當(dāng)軸時,從而</b></p><p>　　綜上,當(dāng)AB⊥x軸時, 取得最小值2.</p><p>　　【總結(jié)升華】雙曲線中的有關(guān)最值問題多考慮雙曲線的定義、幾何性質(zhì)及函數(shù)表示，轉(zhuǎn)化為圖形問題和函數(shù)的最值問題解決.</p><p><b>　　舉一反三：</b></p><p>　

37、　【高清課堂：雙曲線的性質(zhì)371712例3】</p><p>　　【變式1】一條斜率為1的直線與離心率為的雙曲線交于P、Q兩點，直線與y軸交于R點，且，求直線和雙曲線方程.</p><p><b>　　【答案】直線方程；</b></p><p><b>　　雙曲線方程</b></p><p>　　【