2.71 直線與雙曲線的位置關(guān)系(理)

1、2.71直線與雙曲線的位置關(guān)系直線與雙曲線的位置關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能正熟練使用直接法、待定系數(shù)法、定義法求雙曲線的方程；2.能熟練運(yùn)用幾何性質(zhì)（如范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線）解決相關(guān)問(wèn)題；3.能夠把直線與雙曲線的位置關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程組解的問(wèn)題，判斷位置關(guān)系及解決相關(guān)問(wèn)題.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程要點(diǎn)一、雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的定義雙曲線的定義在平面內(nèi)，到兩個(gè)定

2、點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于0且）的動(dòng)點(diǎn)的1F2F2aa122aFF?P軌跡叫作雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)、叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距.1F2F雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程說(shuō)明：焦點(diǎn)是F1(c，0)、F2(c，0)，其中c2=a2b2焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程說(shuō)明：焦點(diǎn)是F1(0，c)、F2(0，c)，其中c2=a2b2要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)從“定形”、“定式

3、”和“定值”三個(gè)方面去思考.“定形”是指對(duì)稱中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的情況下，焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上；“定式”根據(jù)“形”設(shè)雙曲線方程的具體形式；“定量”是指用定義法或待定系數(shù)法確定ab的值.要點(diǎn)二、雙曲線的幾何性質(zhì)要點(diǎn)二、雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程22221xyab??(00)ab??22221yxab??(00)ab??圖形焦點(diǎn)，1(0)Fc?2(0)Fc，1(0)Fc?2(0)Fc焦距2212||2()FFccab???2212||2

4、()FFccab???范圍，xxaxa???或yR?，yyaya???或xR?對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)(0)a?(0)a?軸實(shí)軸長(zhǎng)=，虛軸長(zhǎng)=a22b離心率(1)ceea??性質(zhì)漸近線方程xaby??ayxb??要點(diǎn)三、直線與雙曲線的位置關(guān)系要點(diǎn)三、直線與雙曲線的位置關(guān)系直線與雙曲線的位置關(guān)系直線與雙曲線的位置關(guān)系將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或ykxm??22221xyab??(00)ab??y的一

5、元二次方程，其判別式為Δ.222222222()20bakxamkxamab?????若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；2220bak??bka??22221(00)xyabab????22221(00)yxabab????故選C.類型二：類型二：直線與雙曲線的位置關(guān)系直線與雙曲線的位置關(guān)系例2已知雙曲線x2－y2=4，直線l：y=k(x－1)，討論直線與雙曲線公共點(diǎn)個(gè)數(shù).【思路點(diǎn)撥】直線與曲線恰有一個(gè)交點(diǎn)，即由直線

6、方程與曲線方程聯(lián)立的方程組只有一組解.【解析】聯(lián)立方程組消去y，并依x項(xiàng)整理得：???????4)1(22yxxky(1－k2)x22k2x－k2－4=0①(1)當(dāng)1－k2=0即k=1時(shí)，方程①可化為2x=5，x=，方程組只有一組解，故直線與雙曲線只有一個(gè)公共25點(diǎn)(實(shí)質(zhì)上是直線與漸近線平行時(shí)的兩種情況，相交但不相切).(2)當(dāng)1－k2≠0時(shí)，即k≠1，此時(shí)有Δ=4(4－3k2)若4－3k20(k2≠1)，則k∈，方程組有兩解，故直線與

7、雙曲線有兩交點(diǎn).?????????????????????3321)11(1332(3)若4－3k2=0(k2≠1)，則k=，方程組有解，故直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)(相切的情況).332(4)若4－3k20且k2≠1則k∈，方程組無(wú)解，故直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn).??????????????????????332432綜上所述，當(dāng)k=1或k=時(shí)，直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；332當(dāng)k∈時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；???????????????

8、??????3321)11(1332當(dāng)k∈時(shí)，直線與雙曲線無(wú)公共點(diǎn).??????????????????????332332【總結(jié)升華】本題通過(guò)方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷直線與雙曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，具體操作時(shí)，運(yùn)用了重要的數(shù)學(xué)方法——分類討論，而且是“雙向討論”，既要討論首項(xiàng)系數(shù)1——k2是否為0，又要討論Δ的三種情況，為理清討論的思路，可畫(huà)“樹(shù)枝圖”如圖：舉一反三：舉一反三：【變式1】(2014天津)已知雙曲線(a＞0，b＞0)的一條漸近線平行

9、于直線l：y＝2x＋10，雙12222??byax曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，則雙曲線的方程為()AB120522??yx152022??yxCD1100325322??yx1253100322??yx【答案】A【解析】令y＝0，可得x＝－5，即焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－5，0)，∴c＝5，∵雙曲線(a＞0，b＞0)的一條漸近線平行于直線l：y＝2x＋10，12222??byax∴＝2，ab∵c2＝a2＋b2，∴a2＝5，b2＝20，∴雙曲線的方程為

10、120522??yx故選：A【答案】B【變式2】直線y=x3與曲線－x|x|y2=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()x191A.0B.1C.2D.3【答案】D例3.過(guò)點(diǎn)與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條，分別求出它們的方程。(75)P221725xy??【思路點(diǎn)撥】顯然采用過(guò)P點(diǎn)的直線方程與雙曲線方程聯(lián)立的方法，但要注意直線斜率不存在的情況要先221725xy??判斷。【解析】若直線的斜率不存在時(shí)，則，此時(shí)僅有一個(gè)交點(diǎn)，滿足條件；7x?(70)若