利用導(dǎo)數(shù)證明不等式-高中數(shù)學(xué)（理）黃金100題---精校解析 word版

1、第 27 題 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式I．題源探究·黃金母題 ．題源探究·黃金母題【例 1】利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式：（1） ， ； sin x x ? ? ? 0 , x? ?（2） ， ； 2 0 x x ? ? (0,1) x?（3） ， ； 1 x e x ? ? 0 x ?（4） ， ． ln x x x e ? ? 0 x ?【解析】 （1）證明：設(shè) ， ．因?yàn)?( ) sin

2、 f x x x ? ? ? ? 0 , x? ?， ，所以 在 內(nèi)單 ( ) cos 1 0 f x x ? ? ? ? ? ? 0 , x? ? ( ) sin f x x x ? ? ? ? 0 , ?調(diào)遞減，因此 ， ，即 ， ( ) sin (0) 0 f x x x f ? ? ? ? ? ? 0 , x? ? sin x x ?． ? ? 0 , x? ?（2）證明：設(shè) ， ．因?yàn)?， 2 ( ) f x x x ? ?

3、(0,1) x? ( ) 1 2 f x x ? ? ?(0,1) x?所以當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞增， 1 (0, ) 2 x? ( ) 1 2 0 f x x ? ? ? ? ( ) f x；當(dāng) 時(shí)， ， 2 ( ) (0) 0 f x x x f ? ? ? ? 1 ( ,1) 2 x? ( ) 1 2 0 f x x ? ? ? ? ( ) f x單調(diào)遞減， ；又 ．因此， 2 ( ) (1) 0 f x x x f ? ? ? ?

4、 1 1 ( ) 0 2 4 f ? ?， ． 2 0 x x ? ? (0,1) x?（3）證明：設(shè) ， ． ( ) 1 x f x e x ? ? ? 0 x ?因?yàn)?， ，所以，當(dāng) 時(shí)， ， ( ) 1 x f x e ? ? ? 0 x ? 0 x ? ( ) 1 0 x f x e ? ? ? ?單調(diào)遞增， ； ( ) f x ( ) 1 (0) 0 x f x e x f ? ? ? ? ?精彩解讀 精彩解讀【試題來源】人教

5、版 人教版 A 版選修 版選修 2-2P31 習(xí)題 習(xí)題 1．3B 組第 組第 1 題【母題評(píng)析】不等式證明是高中 不等式證明是高中數(shù)中常見的一類典型問題，本題 數(shù)中常見的一類典型問題，本題考查了如何通過構(gòu)造函數(shù)結(jié)合函 考查了如何通過構(gòu)造函數(shù)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性去證明不等式． 數(shù)的單調(diào)性去證明不等式．【思路方法】不等式證明常用的 不等式證明常用的基本方法有：綜合法、比較法 基本方法有：綜合法、比較法（作差法、作商法） （作差法、作商法） 、

6、分析法，本 、分析法，本題之后又添一法 題之后又添一法——構(gòu)造函數(shù) 構(gòu)造函數(shù)法，要注意所構(gòu)造函數(shù)的定義 法，要注意所構(gòu)造函數(shù)的定義域． 域．單調(diào)遞減． （II）證明 ，即證) , 21 ( ?? ? a3 ( ) 2 4 f x a ? ? ?，而 ，所以目標(biāo)函數(shù)為max3 ( ) 2 4 f x a ? ? ? ) 21 ( ) ( max a f x f ? ?，即（1 21 ) 21 ln( ) 2 43 ( ) 21 ( ? ?

7、 ? ? ? ? ? ? a a a a f t t y ? ? ? 1 ln） ，利用導(dǎo)數(shù)易得 ，即得證．0 21 ? ? ? a t 0 ) 1 ( max ? ? y y試題解析：（I） ， ) 0 ( ) 1 )( 1 2 ( 1 ) 1 2 ( 2 ) ( '2? ? ? ? ? ? ? ? x xx axxx a ax x f當(dāng) 時(shí)， ，則 在 單調(diào)遞增， 0 ? a 0 ) ( ' ? x f ) (x f

8、 ) , 0 ( ??當(dāng) 時(shí)，則 在 單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減． 0 ? a ) (x f ) 21 , 0 ( a ? ) , 21 ( ?? ? a（II）由（I）知，當(dāng) 時(shí)， ， 0 ? a ) 21 ( ) ( max a f x f ? ?，令（1 21 ) 21 ln( ) 2 43 ( ) 21 ( ? ? ? ? ? ? ? ? a a a a f t t y ? ? ? 1 ln 021 ? ? ?at） ，則 ，解得

9、，∴ 在 單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞0 1 1 ' ? ? ?ty 1 ? t y ) 1 , 0 ( ) , 1 ( ??減，∴ ，∴ ，即 ，∴ 0 ) 1 ( max ? ? y y 0 ? y ) 2 43 ( ) ( max ? ? ? a x f．2 43 ) ( ? ? ? a x f【例 2】 【2017 全國(guó) II 理】已知函數(shù) ，且 ? ?2 ln f x ax ax x x ? ? ?． ? ? 0 f x ?（

10、I）求 ； a（II）證明： 存在唯一的極大值點(diǎn) ，且 ． ? ? f x 0 x ? ?2 20 2 e f x ? ? ? ?【答案】 （I） ；（II）證明略． 1 a ?數(shù)試題是高考考查函數(shù)方程思 試題是高考考查函數(shù)方程思想、分類討論思想的主要題型之 想、分類討論思想的主要題型之一． 一．【難點(diǎn)中心】利用 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 明不等式常見類 見類型及解 型及解題策略： 策略：（1）構(gòu)造差函數(shù) ）構(gòu)造差函數(shù) ． ? ? ? ? ?

11、 ? h x f x g x ? ?根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差 根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等 函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式； 量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式；（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函 ）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù)．一般思路為利用條件將求和 數(shù)．一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān) 問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多 系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函