《計算方法》課程設計--用列主元高斯消去法求線性代數(shù)方程組的解

1、<p><b>　　計算方法課程設計</b></p><p>　　題 目: 利用列主元高斯消去法求解正弦穩(wěn)態(tài)電路問題</p><p>　　學 院： 理學院 </p><p>　　班 級： </p><p>　　學 生 姓 名：

2、 </p><p>　　學 生 學 號： </p><p>　　指 導 教 師： </p><p>　　2017年 06 月 19 日</p><p><b>　　課程設計任務書</b></p><p><b>　　目錄</b>

3、</p><p><b>　　摘要I</b></p><p><b>　　第1章前言1</b></p><p>　　1.1列主元高斯消去算法在計算方法課程中地位1</p><p>　　1.2本文主要研究思路與結構安排1</p><p>　　第2章列主元高斯消去算法基本

4、原理及Matlab程序2</p><p>　　2.1列主元高斯消去算法的基本原理2</p><p>　　2.2列主元高斯消去算法的構造方法2</p><p>　　2.3列主元高斯消去算法的誤差分析4</p><p>　　2.4 列主元高斯消去算法的Matlab程序5</p><p>　　第3章利用列主元高斯消

5、去算法解決正弦穩(wěn)態(tài)電路問題6</p><p>　　3.1 問題來源6</p><p>　　3.2 數(shù)學模型6</p><p>　　3.3 方法選擇8</p><p>　　3.4 解答過程8</p><p><b>　　結論9</b></p><p><b&

6、gt;　　參考文獻10</b></p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　眾所周知，應用科學與工程中的許多計算問題最后都是轉(zhuǎn)化為求線性代數(shù)方程組的解。求解線性代數(shù)方程的方法有很多的，其中高斯消去法是常用方法之一。在工程領域里，在進行系統(tǒng)分析和設計時，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學模型，不同的領域建立的數(shù)學模型不同，也就是數(shù)學方程式的形式不同，自

7、然求解方法（或算法）也不同。</p><p>　　本文采用了高斯列主元消去法求解正弦穩(wěn)態(tài)電路的問題，先仔細了解了高斯消元法，接著根據(jù)諸多文獻著作重新整理出高斯列主元消去法的具體步驟并解決了一個線性方程組的實例，然后根據(jù)步驟流程圖重寫出MATLAB程序，緊接著從眾多實際問題中選取了一個我們生活中常見的卻不為人注意的穩(wěn)態(tài)電路的問題，對電路進行了一個物理上面的分析，列出了一個線性方程組，繼而修改之前的MATLAB程序解

8、答出該問題。</p><p>　　關鍵詞：列主元高斯消去法，線性方程組，正弦穩(wěn)態(tài)電路</p><p><b>　　第1章 前言</b></p><p>　　1.1 列主元高斯消去算法在計算方法課程中的重要地位</p><p>　　《計算方法》是一門介紹科學與工程計算中各種數(shù)學問題求解方法的基礎課程，具有突出的多學科交叉特

9、征，是所有從事與科學計算有關的科技人員都必須掌握的重要數(shù)學工具。目前，計算方法中介紹的各種方法，尤其是高斯列主元消去法與計算機技術相結合已深入到計算物理、計算力學、計算化學、計算生物學、計算經(jīng)濟學等各個領域，正是由于其廣泛的應用性和背景領域。因此數(shù)值分析已成為數(shù)學、計算機、軟件工程專業(yè)本科生以及物理、力學、地質(zhì)、材料冶金等很多理工科專業(yè)研究生的必修課程。</p><p>　　1.2本文主要研究思路與結構安排<

10、;/p><p>　　本文首先從高斯消去法入手進行整理分析，進而研究列主元高斯消去法，得到高斯列主元消去法的基本思想，通過思想進一步總結出解線性方程組的方法。</p><p>　　對于求解一個n個變元的上三角形線性方程組來說，注意到計算量大體等于非零元素的個數(shù)，所以計算量為，相對于化為上三角形的計算量而言由于低一個數(shù)量級，因而可以忽略不計所以用高斯消去法求解n個變元的線性方程組的方法中，列主元高

11、斯消去法無疑是最為適合而且計算量也是最小的，不過在計算機的速度越來越快的今天，高斯消去法的這種優(yōu)勢地位會逐步下降。</p><p>　　第2章 列主元高斯消去算法的基本原理及Matlab程序</p><p>　　2.1 列主元高斯消去算法的基本原理</p><p>　　如果一個線性方程組的系數(shù)矩陣是上三角矩陣時，即這種方程組我們稱之為上三角方程組，它是很容易求解的。

12、我們只要把方程組的最下面的一個方程求解出來，在把求得的解帶入倒數(shù)第二個方程，求出第二個解，依次往上回代求解。然而，現(xiàn)實中大多數(shù)線性方程組都不是上面所說的上三角方程組，所以我們有可以把不是上三角的方程通過一定的算法化成上三角方程組，由此我們可以很方便地求出方程組的解。高斯消元法的目的就是把一般線性方程組簡化成上三角方程組。于是高斯消元法的基本思想是：通過逐次消元將所給的線性方程組化為上三角形方程組，繼而通過回代過程求解線性方程組。<

13、/p><p>　　在這里，著重說明一下列主元的選取方法，通過有選擇的互換方程組中兩個方程的位置而把中絕對值最大的元素移到主對角線上來，從而改進高斯消去法的性能。</p><p>　　2.2 高斯列主元消去算法的構造方法</p><p>　　高斯列主元消去法的算法步驟如下：</p><p><b>　　設有n元線性方程組</b>

14、;</p><p><b>　　=</b></p><p>　　第一步：對方程組（2-1）確定，使得，選取作為第一個主元，然后交換第1、第個方程。</p><p>　　第二步：令用乘第一個方程加到第個方程上，得同解方程組：</p><p><b>　　其中</b></p><p&

15、gt;　　第三步：對方程組（2-2）確定，使得，選取作為第二個主元，然后交換第2，第個方程。</p><p>　　第四步：令，用乘第二個方程加到第個方程上得同解方程組</p><p><b>　　其中</b></p><p>　　第五步：設已完成第步消元，得到同解方程組</p><p>　　反復進行上述過程，那么，經(jīng)過步

16、消元，最后便得到如下的與原方程組同解的上三角方程組：</p><p>　　由此可以看出，經(jīng)過了步逐步消元后，矩陣已經(jīng)化成上三角形式，此時由（2-4）的最后一個方程就可以求出，然后將代入倒數(shù)的第二個方程，求出，以此類推，可順序解出最后，由第一個方程求出。從而可得方程組的解為：</p><p>　　總之，高斯列主元消去法大概可分為四個步驟：找主元、換行、消元、回代，這四個步驟的每個循環(huán)順序必須

17、依次進行，這樣才能得到正確的方程組的解。</p><p>　　根據(jù)算法所編的程序流程圖如下：</p><p>　　圖2-1高斯列主元消去算法流程圖</p><p>　　2.3列主元高斯消去算法的誤差分析</p><p>　　高斯列主元消去法很巧妙地克服了高斯順序消去法和高斯全主元消去法所存在的嚴重問題，但是其在消元過程中仍然隱含著一些不足之處

18、。當系數(shù)相除所產(chǎn)生的舍入誤差累積代入了未知量的直接求解時，會導致線性方程組解的誤差，即求解線性方程組的誤差——誤差來源于除法。</p><p>　　由高斯消去法知道，在消元過程中可能出現(xiàn)的情況，這時消去將無法進行；即使主元素但很小時，用其做除數(shù)，還是會導致其他元素數(shù)量級的嚴重增長和舍入誤差的擴散，最后也使得計算解不可靠。</p><p>　　2.4列主元高斯消去算法的程序</p>

19、;<p><b>　　%dx.m</b></p><p>　　function dx = x(k)</p><p><b>　　clc;</b></p><p>　　disp(‘MATLAB編的列主元高斯消去法程序’)</p><p>　　disp(‘黑龍江科技大學理學院數(shù)學15-1邱

20、順生’)</p><p>　　a = input(‘請輸入系數(shù)增廣矩陣a=’)%輸入系數(shù)增廣陣</p><p>　　[m,n] = size(a);%求系數(shù)陣的維數(shù)</p><p>　　if rank(a(:1,1:m))～ = m;</p><p>　　Disp(‘不符合高斯列主元消元法的條件’)</p><p>&

21、lt;b>　　break</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　%以下為消元過程</b></p><p>　　for ii = 1:m-1;</p><p>　　a0 = a;%保留原值</p><p>　　[h,g

22、] = find(a(:,ii) == max(abs(a(ii:m,ii)))|a(:,ii) == -max(abs(a(ii:m,ii))));%求絕對值最大元素所在列的行數(shù)</p><p>　　h = min(h);%取最小行</p><p>　　a(ii,:) = a(h,:)%將h行換到ii行</p><p>　　a(h,:) = a0(ii,:)%將原

23、ii行換到現(xiàn)h行</p><p>　　jj=1:m-ii;</p><p>　　A((ii+jj),:) = -a((ii+jj),ii)/a(ii,ii)*a(ii,:)+a((ii+jj),:)%將最大元素所在行乘系數(shù)加到后每行</p><p>　　A1 = a%列主消元后的最后矩陣</p><p><b>　　%以下為回代過程

24、</b></p><p>　　b=a1(:,n);</p><p>　　x = zeros(m,1);%創(chuàng)建0矩陣</p><p>　　x(m) = b(m)/a1(m,m);%求出x(m)的值</p><p>　　for k = m-1:-1:1;</p><p>　　J = k+1:m;</p&g

25、t;<p>　　D = sum(A1(k,j)*x(j));%求和</p><p>　　X(k) = (b(k)-d)/A1(k,k);%求其他x的值</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　x%顯示方程解</b></p><p>　　第3章 利用高斯列

26、主元消去算法解決正弦穩(wěn)態(tài)電路問題</p><p><b>　　3.1問題來源</b></p><p>　　正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析方法很多 ,對集總參數(shù)的電路來說 ,主要有等效分析法與系統(tǒng)分析法及圖論分析法 ,在電源比較多 ,電路比較復雜及有些非平面電路的分析與設計時 ,特別當用計算機來進行輔助設計與分析時 ,系統(tǒng)分析法與圖論分析法顯現(xiàn)出了其較突出的優(yōu)點。本文介紹系統(tǒng)分析法

27、。系統(tǒng)分析法是以基爾霍夫電流定律 ( Kirchhoff 's current law 簡稱 KCL) 、基爾霍夫電壓定律 ( Kirchhoff 's voltage law簡稱 KVL)以及支路元件電壓、電流約束關系 ( voltage- current relation簡稱 VCR)為理論基礎 ,以所選的電路分析變量為方程變量 ,列寫電路方程的一種電路分析方法;根據(jù)所選的電路變量的不同 ,系統(tǒng)分析法包括: 支路分析

28、法 (分支路電流分析法與支路電壓分析法 ) ,回路電流分析法 (當所選的獨立回路為網(wǎng)孔時 ,也稱網(wǎng)孔分析法 ) ,節(jié)點電壓分析法 , 2b法。在電路理論中 ,正弦穩(wěn)態(tài)電路的各個電壓與電流的計算是采用相量 (對應與正弦量的復數(shù) )形式來表示的 ,因此正弦穩(wěn)態(tài)電路的系統(tǒng)方程就是數(shù)學中的復系數(shù)代數(shù)方程 ,線性電路對應</p><p><b>　　3.2 數(shù)學模型</b></p>&l

29、t;p><b>　　實例：</b></p><p>　　圖示電路中, R1 =R2=10, R3 =4, R4 =R5 =8, R6 =2,US 3 =20V , US6 =40V 。用支路電流法求解各支路電流。</p><p>　　圖3-2線性電阻電路圖</p><p><b>　　3.3 方法選擇</b><

30、/p><p>　　在分析線性電阻電路時,一般可采用支路電流法、回路電流法、結點電壓法等方法來求電路中各支路中的電流及電壓。其中用支路電流法較其他幾種方法簡單且易于理解,因為它直接源于基爾霍夫電壓定律和基爾霍夫電流定律,每個支路的電流均作為變量出現(xiàn)在方程組中,因此通過解方程組即可直接求出各個支路的電流。但支路電流方程變量較多,求解方程組較復雜。例如:一個b條支路, n個結點的電路,支路電流法以各支路電流為變量,且利用歐

31、姆定律用電流表示電壓,這樣就得到了以b個支路電流為變量的b個基爾霍夫電壓方程、基爾霍夫電流方程。對于這樣一個方程組,往往變量較多且含有較多的零元, 因此可應用高斯列主元消去法求解方程組,這樣可避免產(chǎn)生數(shù)值的不穩(wěn)定和出現(xiàn)零主元。</p><p><b>　　3.4 解答過程</b></p><p>　　解:假設各支路電流方向如圖所示,選三個網(wǎng)孔作為回路,回路繞行方向均為

32、順時針方向。列支路電流方程如下:</p><p><b>　　據(jù)KCL得:</b></p><p><b>　　據(jù)KVL得：</b></p><p>　　上面的線性方程組可表示為下列矩陣形式：</p><p>　　則使用上述MATLAB程序解得各支路電流：</p><p>　

33、　其中負號表示實際電流方向與圖中假設的參考方向相反。至此, 通過高斯列主元消去法求得了本題中的線性方程組的解 ,即各個支路上的電流, 并可通過 i的符號判斷支路電流的實際方向。</p><p><b>　　結論</b></p><p>　　通過此次課程設計，使我更加扎實的掌握了有關高斯消去法及列主元高斯消去法方面的知識，在設計過程中雖然遇到了一些問題，但經(jīng)過一次又一次

34、的思考，一遍又一遍的檢查終于找出了原因所在，也暴露出了前期我在這方面的知識欠缺和經(jīng)驗不足。實踐出真知，通過親自動手制作，使我們掌握的知識不再是紙上談兵。</p><p>　　課程設計誠然是一門專業(yè)課，給我很多專業(yè)知識以及專業(yè)技能上的提升，同時又是一門講道課，一門辯思課，給了我許多道，給了我很多思，給了我莫大的空間。同時，設計讓我感觸很深。使我對抽象的理論有了具體的認識。通過這次課程設計，我熟悉了如何使用Matla

35、b求解列主元高斯消去法問題，掌握了Matlab 程序的編寫與測試，通過結合實際問題，求出問題的解，并做誤差分析。</p><p>　　我認為，在這學期的實驗中，不僅培養(yǎng)了獨立思考、動手操作的能力，在各種其它能力上也都有了提高。更重要的是，我們學會了很多學習的方法。而這是日后最實用的，真的是受益匪淺。這對于我們的將來也有很大的幫助。以后，不管有多苦，我想我們都能變苦為樂，找尋有趣的事情，發(fā)現(xiàn)其中珍貴的事情。<

36、/p><p>　　回顧起此課程設計，至今我仍感慨頗多，從理論到實踐，在這段日子里，可以說得是苦多于甜，但是可以學到很多很多的東西，同時鞏固了以前所學過的知識。通過這次課程設計使我懂得了理論與實際相結合是很重要的，只有理論知識是遠遠不夠的，只有把所學的理論知識與實踐相結合起來，從理論中得出結論，才能真正為社會服務，從而提高自己的實際動手能力和獨立思考的能力。在設計的過程中遇到問題，可以說得是困難重重，但可喜的是最終都得

37、到了解決。</p><p>　　此次設計也讓我明白了思路即出路，有什么不懂不明白的地方要及時請教或上網(wǎng)查詢，只要認真鉆研，動腦思考，動手實踐，就沒有弄不懂的知識，收獲頗豐。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　1 施妙根，顧麗珍.科學和工程計算基礎[M].北京：清華大學出版社，2002，111-114.</p

38、><p>　　2 邱關源.電路[M].北京：高等教育出版社，2003，131-133.</p><p>　　3 宋國鄉(xiāng)，馮有前.數(shù)值分析[M].西安：西安電子科技大學出版社，2002，304-309.</p><p>　　4 陳寶林.最優(yōu)化理論與算法[M].北京：清華大學出版社，2005，58-60.</p><p>　　5 胡堯，羅文俊.改進G