基于保單進入過程的保險風險理論及其應用.pdf

1、風險理論是應用概率論的重要分支之一，是保險數(shù)學的主要研究方向.本文針對我們近年提出的基于進入過程的保險風險模型(我們稱為LIG模型)，在概率極限理論、保險風險理論、重尾分布理論以及可靠性理論的基礎上，從風險過程的極限性質(zhì)、凈支付過程的精細大偏差到破產(chǎn)概率的上界、破產(chǎn)概率的漸近估計等方面對這一模型進行了研究，得到了一系列有意義的結果。作為一個應用，我們還將LIG模型與可靠性系統(tǒng)對應起來，導出了一類推廣的累積沖擊模型，得到了沖擊過程的極限性

2、質(zhì)、系統(tǒng)壽命的分布等結果。本文的結論不僅豐富了保險風險理論，而且對隨機和的理論及應用研究進行了有價值的探索。
　　 本文內(nèi)容分為七章。第一章首先綜述了經(jīng)典風險理論研究的發(fā)展歷程，列出了一些重要的結論，并對經(jīng)典風險模型的各種推廣形式進行了總結。在此基礎上，通過對保險公司運營過程的分析，我們認識到保單進入過程和賠付過程之間具有密切的關系，并據(jù)此建立LIG模型。與經(jīng)典模型不同，該模型從保單開始進入起即進行跟蹤記錄，直至保期結束。這樣的

3、記錄沒有任何信息損失，能夠忠實地反映保險公司的運營過程.本文的結論表明，LIG模型是對經(jīng)典保險風險模型的推廣和發(fā)展，具有更為現(xiàn)實的背景。
　　 第二章將盈余過程置于現(xiàn)實的市場環(huán)境中考慮，構造了帶利息力的模型，研究風險過程的極限性質(zhì)。在進入過程為非齊次Poisson過程的假設下，風險過程自然具有無窮可分性；利用無窮可分理論，我們可以得到關于風險過程弱極限性質(zhì)的三個主要結果。首先，依據(jù)Feller的canonical測度理論，我們得

4、到了正則化風險過程依分布收斂到stable分布的條件：H(x；t，s)∈DA(Gα)，0＜α＜2.即當每張保單的凈利潤屬于某一stable分布的吸引域時，正則化風險過程弱收斂到指標相同的stable分布。其次，為使這一結論更加具體，我們針對一個特殊的模型,進一步討論當索賠額Y是正則尾變化的隨機變量時風險過程的弱收斂性質(zhì)。最后，我們應用這個結果，發(fā)現(xiàn)當不同保期保單的賠付額Yj服從不同正則指數(shù)的重尾分布時，風險過程的極限性質(zhì)將由諸正則指數(shù)中

5、的最小者決定.這是一個非常有意義的結果。
　　 在第三章，我們建立了重尾索賠條件下風險過程的精細大偏差結果.精細大偏差是保險數(shù)學的理論主題之一，近年來許多學者把研究焦點集中于重尾賠付下總索賠額過程的大偏差性質(zhì)。對于經(jīng)典模型，其本質(zhì)是研究隨機變量的隨機和的精細大偏差.本章則針對LIG模型，首先在進入過程為非齊次Poisson過程的假設下，當索賠額的分布屬于C族時，得到了單一險種保單條件下風險過程的精細大偏差結果.以此為基礎，當保險

6、公司提供k類不同險種的保單時，同樣在C族中，我們可以得到風險過程的精細大偏差結果.值得注意的是，由于LIG模型的結構，本章研究的問題是關于隨機過程的隨機和的精細大偏差。
　　 破產(chǎn)概率是保險風險理論最為關注的內(nèi)容之一.第四章主要在輕尾索賠條件下，通過適當定義安全負載，討論LIG模型的有限時間破產(chǎn)概率和最終破產(chǎn)概率?！?.1回顧了經(jīng)典的Lundberg-Cramér風險理論，使本章的討論具有適當?shù)哪繕??！?.2針對一類特殊的風險模

7、型，通過鞅構造方法得到了最終破產(chǎn)概率的指數(shù)上界。將這個模型推廣到更一般的情況，通過它與一個平穩(wěn)獨立增量過程的關系，我們再次利用鞅方法在§4.3、§4.4建立了LIG模型的最終破產(chǎn)概率的指數(shù)上界，并通過計算各階矩和數(shù)值模擬對該上界進行了分析?！?.5討論了有限時間破產(chǎn)概率，分別得到兩類上界.本章關于破產(chǎn)概率的結果與經(jīng)典風險模型的相應結果是類似的。
　　 第五章的研究對象是重尾索賠條件下的破產(chǎn)概率，這是經(jīng)典風險理論的重要研究內(nèi)容，也

8、是近年來保險數(shù)學的研究熱點。首先，當索賠額屬于次指數(shù)分布族時，針對一次和多次索賠模型，我們得到了當進入過程是非齊次Poisson過程下，LIG模型的有限時間破產(chǎn)概率的漸近表達.其次，我們將進入過程推廣到更新過程，并考慮帶有常數(shù)利息力的情形，在索賠額具有正則尾分布的條件下也得到了最終破產(chǎn)概率的漸近表達。作為推論，還得到了齊次Poisson進入過程條件下最終破產(chǎn)概率的一個簡潔表達.本章結果表明，對于LIG模型，我們不僅可以得到與經(jīng)典模型類似

9、的破產(chǎn)概率漸近性質(zhì)，而且可以將進入過程推廣到更新過程。
　　 第六章討論LIG模型的應用。通過與沖擊模型的基本結構的比較，我們發(fā)現(xiàn)LIG模型恰好對應著一類具有發(fā)射噪聲結構的累積沖擊模型，這是對經(jīng)典的累積沖擊模型的一個推廣.基于這一發(fā)現(xiàn)，我們的LIG模型以及前幾章的結論將不僅在理論上、而且在現(xiàn)實方面具有了更廣泛的背景。在本章，我們將依據(jù)前文有關方法和結果獲得推廣的累積沖擊過程的弱極限定理，并得到不同沖擊(輕尾及重尾分布)條件下系統(tǒng)