畢業(yè)論文（設計）計算機一級課程中介紹的不同進制數(shù)轉換方法之數(shù)學原理

1、<p>　　本 科 生 畢 業(yè) 論 文（設 計）</p><p>　　( 2011 屆)</p><p>　　論文（設計）題目: 計算機一級課程中介紹的不同進制數(shù)轉換方法之數(shù)學原理</p><p>　　學 院：數(shù)學科學學院</p><p>　　專 業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學</p><p>

2、;　　學 號：200710700098</p><p><b>　　姓 名： </b></p><p>　　指導教師姓名及職稱： 副教授</p><p><b>　　2011年4月</b></p><p><b>　　目 錄</b></p>

3、;<p>　　一、摘要·································

4、3;····························2</p><p>　　二、關鍵字···

5、83;····································&

6、#183;···················2</p><p>　　三、正文············&

7、#183;····································

8、;·············2</p><p>　　1、二進制、八進制、十六進制轉化為十進制················&

9、#183;············2</p><p>　　1.1、二進制轉化為十進制的一般方法·················

10、;··················2</p><p>　　1.2、按基值重復相加法············

11、83;··································3</p>

12、<p>　　1.3、八進制、十六進制轉化為十進制································

13、;···3</p><p>　　2、十進制轉化為二進制、八進制、十六進制··························&

14、#183;··3</p><p>　　2.1、十進制轉化為二進制的方法···························&

15、#183;···········3</p><p>　　2.2、十進制轉化為八進制、十六進制··················

16、;·················6</p><p>　　3、二進制、八進制、十六進制之間的轉換············&#

17、183;··················6</p><p>　　3.1、二進制與八進制之間的轉換···········&#

18、183;···························7</p><p>　　3.2、二進制與十六進制之間的轉換··&

19、#183;··································8</p>

20、<p>　　3.3、八進制與十六進制之間的轉換·······························

21、3;·····8</p><p>　　四、參考文獻··························&#

22、183;······························10</p><p>　　五、英文說明·

23、;····································

24、83;···················10</p><p>　　計算機一級課程中介紹的不同進制數(shù)轉換方法之數(shù)學原理</p><p>　　專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學</p><p>

25、;<b>　　內容摘要</b></p><p>　　本文介紹了各種進制之間的各種轉換方法，并通過不同進制之間轉換的計算逐步推導，逐步揭示其數(shù)學原理。本文旨在研究數(shù)制轉換的數(shù)學原理，但又能從基本原理中找到新的思路，新的方法，使數(shù)制轉換更加快捷方便，簡潔易懂。</p><p><b>　　關鍵字</b></p><p>　　方

26、冪和；進制轉換；取余法；按權展開法；減權定位法</p><p>　　Computer level course introduces different disables digital conversion of the methods of mathematical principle</p><p>　　Abstract This paper introduces various

27、disables the various conversion between different methods, and through the transformation between into system is calculated, and gradually reveal its gradual mathematical principle. This paper aims to study the mathemati

28、cal principles, notation conversion but can find from the basic principle of new ideas and new methods, make notation conversion more convenient, simple to grasp.</p><p>　　Key words Square power and; Disabl

29、es conversion; Take more than law; Press rights expansion method; Minus right positioning method </p><p><b>　　正文</b></p><p>　　眾所周知，在這個科技發(fā)展日新月異的時代，計算機已經(jīng)成為一個人們大眾化的必不可少的工具，而計算機工作原理是建立在二

30、進制數(shù)計算的基礎之上，而人們日常計數(shù)是采用十進制計算，這就帶來了一些問題，二進制與十進制之間如何轉換？后來又發(fā)展出了8進制，16進制數(shù)，各類進制數(shù)之間的轉換也有相應的方法，筆者就進制轉換的問題展開，探究進制轉換原理，并在此基礎上開拓新的思路，將進制轉換的問題作進一步闡釋。</p><p>　　在介紹進制轉換方法前，首先要介紹一個概念。方冪和,第一個概念是冪，冪：（power）指乘方運算的結果。指將n自乘m次的結果

31、。叫做n的m次冪。方冪和即由n的不同次冪相加，例如：表示為n的一個方冪和，其中為小于n的常數(shù)。在后面的文中會常用到此概念，故在此引入。</p><p>　　1.二進制，八進制，十六進制轉換為十進制的一般方法。</p><p>　　1.1二進制轉換為十進制的一般方法。我們知道任意十進制數(shù)我們可以將其表示成10的一個方冪和，例如：。反過來我們將此方冪和按十進制相加就得到976。對于一個二進制數(shù)

32、，例如：，我們將其表示成2的方冪和，即</p><p>　　，如果按二進制相加，其結果仍舊為，如果按十進制相加，就得到一個十進制數(shù)16+4+2=22.此種方法又被稱為“按權展開法”[2]。類似的，二進制的小數(shù)也可以按照此方法進行轉換，例：</p><p><b>　　=27.5.</b></p><p>　　1.2按基值重復相加法[1]:整數(shù)部

33、分采用基值重復相乘法，例：</p><p>　　，小數(shù)部分采用基值重復相除：</p><p>　　，我們來分析基值重復相乘法的原理，最高位乘2后加第二位，再乘2后加第三位，以此類推。我們將其展開得到</p><p>　　=，而基值重復相除我們也類似展開得到：，即無論是基值相乘還是基值相除，其原理依舊是按權展開法。</p><p>　　1.3八

34、進制，十六進制轉換為十進制。其方法與二進制轉化為十進制方法一樣，分別將其表示成8或16的方冪和，然后按十進制相加。各舉一個例子：</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　總結，將任意n進制數(shù)（）轉換成十進制數(shù)。其方法是將該數(shù)表示成n的方冪和，然后按十進制相加就得到

35、所要轉換的十進制數(shù)。</p><p>　　2.十進制數(shù)轉化為二進制、八進制、十六進制的方法</p><p>　　2.1.十進制轉化為二進制的方法。通常采用取余法[1]，即將十進制數(shù)連續(xù)除以2取其余數(shù)，直至余數(shù)小于2為止。例如將123轉換為二進制數(shù)。</p><p>　　重復除以2 得商 取余數(shù)</p>

36、<p>　　123÷2 61 1 最低位</p><p>　　61÷2 30 1</p><p>　　30÷2 15 0</p&

37、gt;<p>　　15÷2 7 1</p><p>　　7÷2 3 1</p><p>　　3÷2 1 1</p><

38、p>　　1÷2 0 1 最高位</p><p>　　由此，，我們還原一下重復相除的過程即：</p><p>　　。顯而易見，取余法實質就是按權展開法的逆運算。而為什么第一次除得的余數(shù)為最低位，而最后一次除得的位數(shù)為最高位呢？我們來分析這一過程：</p><p>　　，我們

39、將此冪的形式變換，我們提出公因子2，最后一項保留即：，由此我們看出第一次將123除以2余數(shù)為1商為，就是上式中括號里的部分，而余數(shù)1恰好是最后一位，同理我們再提出公因子2，即：</p><p>　　。第二次除2得到的余數(shù)還是1，這就是倒數(shù)第二位，商。以此類推，最后一次余數(shù)為1是最高位。對于一個二進制數(shù)，設其為：，即。根據(jù)前面的推導，我們得出取余法實質是將其表示成如下形式：。而對應其二進制數(shù)的最高位，對應其二進制數(shù)

40、的最低位。以此類推，余數(shù)從最低位開始，直至得出所轉換的二進制數(shù)。</p><p>　　然而，當所要轉換的十進制數(shù)較大時，取余法就變的很繁瑣，計算起來非常的麻煩，對于較大的十進制數(shù)有無快速轉換的計算方法呢？就是下面要提到的“減權定位法”[2]。例如將十進制數(shù)5148轉換為二進制數(shù)。</p><p>　　十進制數(shù) 位權 轉換后的結果&l

41、t;/p><p>　　5148 </p><p>　　-4096 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0</p><p><b>　　1052</b></p><p>　　-1024 </

42、p><p><b>　　28</b></p><p>　　-16 </p><p><b>　　12</b></p><p><b>　　-8 </b></p><p><b>　　4</b></p>

43、<p><b>　　-4 </b></p><p><b>　　0</b></p><p>　　于是有，減權定位法大大減少了重復相除的次數(shù)，不難看出，首先減去一個能夠減去的最大2的冪，那么轉換后二進制數(shù)的位數(shù)也同時確定，為12+1=13位。同時最高位上商1.由于為二進制數(shù)，每位只有0、1兩種可能。以后依次減去能減去的最大

44、的2的冪，同時上商1，其余沒有減去的位權均上商0，就得到所有轉換的二進制數(shù)。減權定位法縮短了計算步驟，在重復相除的過程中將余數(shù)為0的位數(shù)除法略去，從而一步到位，另外通過觀察我們可以發(fā)現(xiàn)減權定位法其實是將十進制數(shù)5148表示成了2的方冪和。即：</p><p>　　，我們略去2的冪系數(shù)為0的項，再轉換為二進制數(shù)時從最高位起取其系數(shù)就得到所要轉換的二進制數(shù)。對比發(fā)現(xiàn)這個過程就是按權展開法運算過程的逆。對比取余法和減權

45、定位法，前者是逆運算，后者是運算過程的逆，顯然減權定位法要比取余法更方便。</p><p>　　在二進制轉換為十進制數(shù)時，我們討論過小數(shù)的轉換，那么十進制轉換為二進制時，小數(shù)又該如何轉換呢？看下面一個例子：</p><p>　　將0.6875轉換為二進制。采取重復相乘法。</p><p>　　重復乘以2 得小數(shù)部分 取

46、整數(shù)</p><p>　　0.6875×2 0.3750 1 最高位</p><p>　　0.3750×2 0.7500 0</p><p>　　0.7500×2 0.5

47、000 1</p><p>　　0.5000×2 0.0000 1 最低位</p><p>　　所以，在二進制轉換為十進制時，小數(shù)部分采用的是基值重復相除法，那么小數(shù)的十進制轉換為二進制時就必然是重復相乘。這樣就符合了轉換為基值重復相乘的逆運算。同樣我們也可以用減權定位法來

48、計算，我們直接將其表示成2的方冪和的形式即：</p><p>　　，同樣取2的冪的系數(shù)。我們觀察剛剛給的小數(shù)0.6875，在經(jīng)過有限次重復相乘后剛好得到整數(shù)1，那么0.6875轉換成的二進制數(shù)剛好是有限小數(shù)，那么是否任何一個十進制的小數(shù)都能轉化為一個有限的二進制小數(shù)呢？顯然不能，我們任取一個十進制小數(shù)0.53，按減權定位法，得到：，我們無法將其表示成有限個2的冪相加，即0.53轉化為二進制數(shù)為無限小數(shù)。在二進制轉

49、化為十進制數(shù)時我們并未遇到此類問題，那么什么樣的十進制小數(shù)才能轉化為有限位的二進制小數(shù)呢？我們來分析0.6875這個小數(shù)，我們將其表示成分數(shù)的形式。即，觀察分母為，分子為11,11轉化為二進制數(shù)為，而0.6875轉化為二進制數(shù)恰好為，這是不是某種巧合呢？進一步分析，我們在表示十進制小數(shù)時同時可以將其表示成相應的分數(shù)，例如，由于分母為10的4次冪，那么小數(shù)必定有四位，即6875，所以小數(shù)為0.6875。我們再來看約去公因數(shù)后的最簡分式：，

50、分母為2的4次冪，同樣，轉化為二進制小數(shù)時小數(shù)也為四位，而分母11同時轉化為二進制數(shù)，于是轉化為的小數(shù)就為。16相比10000正好約去了5的4次冪，所以分母變成了2的4次冪，所轉化為的小數(shù)就為有限位。而不可約，</p><p>　　2.2.十進制數(shù)轉化為八進制數(shù)，十六進制數(shù)。類似的，轉換原理一樣，可采取取余法，除以8或16直至余數(shù)小于8或16為止。同樣，也可采用減權定位法，但相對于二進制數(shù)而言，十進制數(shù)轉化為八進

51、制數(shù)或十六進制數(shù)時取余法需要重復相除的次數(shù)大大減少。取余法我們不再介紹，下面就減權定位法可能出現(xiàn)的問題做一個介紹。例如將22036轉換為八進制數(shù)，，所以最高權值為4即，在二進制數(shù)里，每位只可能是0或1，而在八進制數(shù)中，每位可以是0至7中的任何數(shù)，所以要確定首位數(shù)，要看22036中能減去多少個4096，經(jīng)計算最多可減去5個即22036-5×4096=1556，再看能減去多少個，經(jīng)計算可以減去3個，還剩20。20里還能減去2個8，

52、剩下4為個位，于是。同樣，十進制小數(shù)轉化為八進制小數(shù)時分母約去所有因子5后還必須能表示成8的冪才能使轉化成的小數(shù)為有限小數(shù)。而十進制轉化為十六進制時，原理一樣。</p><p>　　總結，十進制數(shù)轉化為二進制、八進制、十六進制數(shù)時，常用取余法或減權定位法，其原理為按權展開法的逆運算或運算過程的逆。</p><p>　　3.二進制，八進制，十六進制數(shù)之間的轉換。</p><

53、;p>　　由于，所以三位二進制數(shù)正好對應一位八進制數(shù)，四位二進制數(shù)正好對應一位十六進制數(shù)。我們先來看二進制數(shù)與八進制數(shù)之間的轉換。</p><p>　　3.1.二進制數(shù)與八進制數(shù)之間的互轉。我們知道，二進制數(shù)與八進制數(shù)有如下關系：</p><p>　　如上表所示，八進制與二進制數(shù)的關系，我們不難發(fā)現(xiàn)該表中二進制所對應的八進制數(shù)恰好也是其對應的十進制數(shù)。我們不妨這樣理解，八進制逢8進1

54、,十進制逢10進1，在8以前，八進制數(shù)與十進制數(shù)對應的二進制數(shù)相同，而八進制數(shù)，即十進制數(shù)的8。而二進制數(shù)轉換為八進制數(shù)時，則由上表所對照的數(shù)制采用分組法。例如將轉換為八進制數(shù)。</p><p>　　以小數(shù)點為分組起點：</p><p>　　1001011110.11101</p><p><b>　　分組起點</b></p>&

55、lt;p>　　高位補0 ，湊足3位 低位補0，湊足三位</p><p>　　001 001 011 110 . 111 010</p><p>　　1 1 3 6 . 7 2</p><p><b>　　所以。</b></p><p>　　反之

56、，將八進制轉換為二進制時則直接按位數(shù)寫，例如將轉化為二進制數(shù)。</p><p>　　7 6 4 2 . 1 5</p><p>　　111 110 100 010 . 001 101</p><p><b>　　即：</b></p><p>　　然而為什么一位八進制數(shù)對應3位二進制數(shù)呢

57、？我們來看個例子。例如將轉換為二進制數(shù)。先將其表示成8的方冪和即：。我們還可以將其表示成：</p><p>　　，我們知道在十進制數(shù)中，任意一個數(shù)乘以10只需將其小數(shù)點向右移動一位，乘以10的平方則向右移動兩位，以此類推，那么二進制中任何一個數(shù)乘以2則小數(shù)點同樣向右移動一位。上式中的，即1的小數(shù)點向右移動6位得到。而的小數(shù)點向右移動三位即。。所以有：。按分組法驗證剛好一位八進制數(shù)對應三位二進制數(shù)。這是因為，每多一

58、位八進制數(shù)就多出3位二進制數(shù)，八進制數(shù)小數(shù)點向右移動一位，其對應的二進制數(shù)小數(shù)點就向右移動三位，對應高位上的八進制數(shù)轉化為2進制數(shù)即可，所以總是一位八進制數(shù)對應三位二進制數(shù)。</p><p>　　3.2.二進制與十六進制之間的互轉。類似于二進制與八進制之間的互轉，四位二進制數(shù)正好對應一位十六進制數(shù)，其對應關系如下表：</p><p>　　同樣，十六進制數(shù)在F之前對應的二進制數(shù)與其相對應的十

59、進制數(shù)對應的二進制數(shù)相同。在此就不再舉例，其計算過程類似于二進制與八進制之間的互轉。</p><p>　　3.3.八進制與十六進制間的互轉。八進制與十六進制之間的互轉通常不能一步完成，需要借助二進制與其對應關系進行兩次轉換，而且需要熟記對應表，這樣計算不免麻煩一點，那么八進制與十六進制之間能否實現(xiàn)一步轉換？我們再回到最初的方冪和的概念，任意十進制數(shù)可以表示成10的方冪和，同樣二進制數(shù)，八進制數(shù)，十六進制數(shù)都可以表

60、示成相應的2的方冪和，8的方冪和，16的方冪和。我們知道，又8×2=16.我們任選一個十六進制數(shù)，例如，我們將其表示成16的方冪和即：</p><p>　　，現(xiàn)在我們對其進行冪轉換。步驟如下：</p><p>　　我們先將16的冪化成8的冪，并將相應的因子2提出與其原來的系數(shù)相乘，若此系數(shù)不大于8，則保留此為作為冪的系數(shù)，若系數(shù)大于8，則將其進行8的取余除法，直至系數(shù)小于8，而多

61、出的部分則進冪，即將冪的次數(shù)加一，同時與其相應的系數(shù)對應。上例中我們將最高位10分成了8+2,最高位進冪，即，余下的2作為8的4次冪的系數(shù)，同理，30乘以8的一次冪系數(shù)30大于8，變成3×8+6，進冪變成，6作為8的一次冪系數(shù)，如此，我們將該十六進制數(shù)表示成了8的方冪和，即馬上得出所轉化的八進制數(shù)，即。</p><p>　　十六進制轉換位八進制時，分解16的冪將其降低為8的冪，此計算相對簡單，不容易出錯

62、，而且過程相對容易，比起借助于與二進制數(shù)的轉換不容易出錯，特別是數(shù)較大時，需要轉換為的二進制數(shù)位數(shù)較長時容易出錯，而此法只需要分解降冪就能很快得出結果。反過來，如果我們將八進制數(shù)轉換為16進制數(shù)時需要將8的冪升為16的冪，此時需要將8分解為，并根據(jù)8的冪來湊16的冪，相對于16的冪降為8的冪而言，計算過程稍微復雜一點，我們舉例說明。例如將轉換為十六進制數(shù)。我們將其表示成8的方冪和并對其進行冪的轉換。計算過程如下：</p>

63、<p>　　由此，我們將該數(shù)表示成了16的方冪和，即馬上得出所要轉換的十六進制數(shù)。即：</p><p>　　。八進制與十六進制之間的轉換，如果借助二進制采取分組法，當所轉換的數(shù)較長時，數(shù)位較長，計算繁瑣，容易出錯，例如上面的例子，7位八進制數(shù)，如果先轉換為二進制數(shù)則長達21位，所以這里進行冪的轉換要容易的多。關于八進制與十六進制小數(shù)之間的轉換，同樣采取冪轉換法，具體計算就不再舉例，補充一點，任何有限位八

64、進制小數(shù)都能轉換為有限位十六進制小數(shù)，反之則不然，因為對于十六進制小數(shù)，將其表示成分數(shù)的形式時，分子分母需要約去所有的因子2或者在約去部分因子2后分母所剩余的2的個數(shù)需為3的倍數(shù)，此時分母才能完全表示為8的冪，這樣轉換為的八進制小數(shù)才能為有限位。</p><p>　　總結，二進制與八進制，十六進制之間的互轉，通常采用分組法，直接轉換得到結果，但有時位數(shù)較長時，計算比較麻煩，容易出錯。八進制與十六進制之間的轉換，如

65、果借助二進制進行分組轉換，步驟較多，容易出錯。如果直接進行冪的轉換，計算較為簡單，不容易出錯。</p><p>　　小結.進制轉換的原理。以往我們在進行進制轉換時，不同進制之間的轉換方法不同，如果不熟記各進制之間的轉換方法，往往會無從下手。然而在我們逐步剖析了各進制之間轉換的計算過程后會發(fā)現(xiàn)，進制轉換無非是圍繞著冪的轉換進行的。文章一開始筆者就提到了方冪和的概念，并說明對任意的n進制數(shù)，都可以將其表示成n的方冪和

66、，要將其轉換為一個m進制數(shù)（m≠n），其目的就是將其表示成m的方冪和，原理就是進行冪的轉換。當我們理解了進制轉換的原理時就可以很快明確計算目的，找到計算方法。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]林士敏，夏定元，劉曉燕《大學計算機基礎教程》[M].廣西師范大學出版社,2006.7-11 </p><p>