數(shù)學(xué)規(guī)劃論文-馬科維茲模型及其改進

1、<p>　　馬科維茲模型及其改進</p><p><b>　　摘要：</b></p><p>　　證券投資者通過把資金投資一種或幾種收益較高的證券以獲得最大限度的收益，但是收益與風(fēng)險是相輔相成的，高收益必然包含高風(fēng)險.因此投資者需要選擇若干證券加以組合，以分散其投資風(fēng)險，盡可能的實現(xiàn)低風(fēng)險和高收益.1952年馬科維茲理論的提出開創(chuàng)了金融理論的先河，改變了人們

2、經(jīng)驗投資的傳統(tǒng)，使投資組合更加科學(xué)性和廣泛性.</p><p>　　馬科維茲模型實質(zhì)是在不損失收益率的條件下最大限度地分散投資風(fēng)險，能夠指導(dǎo)人們科學(xué)地選擇證券投資組合以實現(xiàn)效益最大化.本文主要介紹馬科維茲理論及模型的建立以及最新的研究進展，并在此基礎(chǔ)上提出了三種模型目標函數(shù)的改進方案：引進決策系數(shù)、引進厭惡偏好程度及目標規(guī)劃，并對此進行了對比分析.</p><p>　　三種改進方案都能使原

3、本的多目標規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標規(guī)劃，并且都有其適用的范圍：決策系數(shù)適用于比較兩種不同投資組合的優(yōu)劣；引進偏好程度能夠在未給定預(yù)期收益及預(yù)期風(fēng)險下定制個人的最優(yōu)投資組合；利用目標規(guī)劃能夠使個人選擇盡可能的達到自己預(yù)期的最優(yōu)投資組合.</p><p>　　關(guān)鍵字：馬科維茲模型；投資組合；數(shù)學(xué)規(guī)劃</p><p>　　Markowitz model and its improvement</p

4、><p><b>　　Abstract:</b></p><p>　　Securities investors get Investment income by investing one or more higher-yielding securities.But benefits and risks are complementary to each other, h

5、igh-yield inevitably contains high risk.So investors need to choose a number of securities portfolio to diversify risk and get low risk and high yield. Markowitz, who created Markowitz's Portfolio Theo

6、ry, changed the convention of investment and make portfolio theory more scientific and comprehensive.</p><p>　　Markowitz model essential is under the condition of no loss of yield maximum disperse inve

7、stment risk,which can direct people to choose science portfolio to achieve the benefit maximization.This paper introduces Markowitz's Portfolio Theory and  puts forward three models on the basis of the

8、 objective function:decision coefficient,disgusting appetite and objective programming.</p><p>　　Three kinds of improve models can make the multi-objective programming transformed into single objective progr

9、amming and they have different applicable scopes. First,decision coefficient can compare the merits of the two different portfolios.Second,disgusting appetite is able to customize the individual optimal portfolio without

10、 expected profit and expected risk.Last,objective programming can make people get the optimal portfolio.</p><p>　　Key words: Markowitz model; Investment portfolio; Mathematical programming</p><p&g

11、t;<b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘要1</b></p><p><b>　　引言4</b></p><p><b>　　1.證券投資5</b></p><p>　　2.馬科維茲模型6</p><p&

12、gt;　　2.1馬科維茲投資組合理論基礎(chǔ)6</p><p>　　2.1.1模型的假設(shè)6</p><p>　　2.1.2預(yù)期收益7</p><p>　　2.1.3預(yù)期風(fēng)險7</p><p>　　2.2證券投資的有效組合9</p><p>　　2.2.1無差異曲線10</p><p>　

13、　2.2.2有效市場邊界11</p><p>　　2.2.3最優(yōu)投資組合的選擇12</p><p>　　2.3馬科維茲投資決策模型的建立12</p><p>　　2.4用Lagrange方法解馬柯維茨模型14</p><p>　　3.模型的改進15</p><p>　　3.1改進一：引入決策變量16<

14、/p><p>　　3.2改進二：引入偏好程度17</p><p>　　3.3改進三：目標規(guī)劃18</p><p><b>　　3.4總結(jié)20</b></p><p>　　4.對馬科維茲模型的評價21</p><p><b>　　4.1優(yōu)越性21</b></p>

15、;<p><b>　　4.2局限性21</b></p><p><b>　　參考文獻23</b></p><p><b>　　引言</b></p><p>　　隨著經(jīng)濟發(fā)展，證券投資[4]越來越融入人們的日常生活，而在1952年前人們都是根據(jù)經(jīng)驗來進行金融資產(chǎn)投資，得出了例如“不要把

16、所以雞蛋放在一個籃子里”等投資理念.直到美國經(jīng)濟學(xué)家馬科維茲在美國《金融雜志》上發(fā)表了題為“投資組合選擇”[9]一文，開創(chuàng)了現(xiàn)代資產(chǎn)組合理論，使得投資上升到理論的高度，更加科學(xué)化、實用化.</p><p>　　馬科維茲模型提出后，很多的專家學(xué)者對此進行了研究，如戴玉林在《馬科維茲模型的分析與評價》一文中對該模型進行了詳細的分析指出了該模型存在的很多缺陷與不足[10]；朱書尚等探討了投資組合與金融優(yōu)化，從理論研究和

17、時間上進行了分析與反思[3].而對于投資組合模型的研究，大致可分為三個方向：1.投資組合模型的改進；2.投資組合模型的實證分析；3.模型求解及方法的研究.</p><p>　　由于馬科維茲模型是建立在對實際情況理想化、簡單化地基礎(chǔ)上，必然存在很多不足可以改進，如馬科維茲本人也在建立模型后提出用半方差代替方差以解決離中趨勢非對稱的問題[11]；而針對原模型不宜求解等問題，夏普進行了改進提出了單指數(shù)模型[12]，而郁

18、維對這兩種模型對中國資本市場進行了可行性分析[13]；有學(xué)者借助物理、經(jīng)濟等學(xué)科知識對模型進行改進，如鄭丕諤等借助熵理論對其進行了改進，并通過構(gòu)造性實例進行了驗證[14]；還有學(xué)者從不同的角度切入對模型進行改進，如金秀等從投資者的心理特征出發(fā)，建立了加權(quán)極大-極小隨機模糊投資組合模型，并用實證方法進行了驗證[15].</p><p>　　對比于模型的改進，對于投資組合模型的實證分析主要是用于驗證模型的改進以及模型

19、求解方法的優(yōu)化，如李伯德在最優(yōu)投資組合的數(shù)學(xué)模型中結(jié)合了案例分析[6]，謝軍等實證檢驗了投資者情緒與風(fēng)險資產(chǎn)投資負相關(guān)這一結(jié)論[16].</p><p>　　從馬科維茲模型提出后對于標準模型的求解就是很多學(xué)者研究的對象，而馬科維茲模型的簡單求解以及理論基礎(chǔ)在數(shù)學(xué)規(guī)劃以及相關(guān)優(yōu)化書籍中都有提[5,7,8].求解方法有臨界線算法、利用因子模型或線性變化構(gòu)造一個稀疏的協(xié)方差矩陣進行計算、修改風(fēng)險從而使用線性規(guī)劃模型來求

20、解等，而近年張忠楨等提出的旋轉(zhuǎn)算法不僅較為簡便，而且可以快速計算出馬科維茲意義下的有效組合[1,2].</p><p>　　本文主要是對馬科維茲理論進行了詳細的介紹以及相關(guān)的研究進展，并在馬科維茲標準模型之上對三種改進模型進行了對比分析，并對標準模型進行了詳細的優(yōu)缺點整理.</p><p><b>　　1.證券投資</b></p><p>　　

21、證券投資，就是將資金用于購買股票、債券等金融資產(chǎn)，它與實業(yè)投資不同，它不需要對資產(chǎn)的具體生產(chǎn)經(jīng)營活動進行組織和管理，只需投入資金來分享利潤或從買賣證券的差價中獲取利潤.一般來說，證券投資是指投資者通過購買有價證券，在一段時間內(nèi)獲取利潤的過程.當然，帶來收益的同時，也必然伴隨著一定的風(fēng)險.所謂風(fēng)險，是指在決策過程中，由于各種不確定因素的作用，決策方案在一定時間內(nèi)出現(xiàn)不利結(jié)果的可能性以及可能損失的程度.</p><p&g

22、t;　　人們進行證券投資的最直接的動機是獲得收益，因而投資決策的目標是使收益最大化，但由于收益與投資之間在時間上的滯后，這種滯后導(dǎo)致收益受許多未來不確定因素的影響，從而使得收益成為一個未知量.投資者在進行決策時只能根據(jù)經(jīng)驗和所掌握的資料對未來形式進行判斷和預(yù)測，形成對收益的預(yù)期.受不確定因素的影響，證券投資的未來收益可能偏離其預(yù)期，這種偏離將導(dǎo)致投資者可能面臨得不到預(yù)期的收益甚至虧損的危險，這種危險就是證券投資風(fēng)險.</p>

23、<p>　　投資者在進行投資決策時，不僅要考慮投資的收益，還要考慮投資的風(fēng)險，而收益與風(fēng)險是相輔相成的，通常風(fēng)險小的金融資產(chǎn)收益小，收益大的資產(chǎn)其風(fēng)險也大.投資決策的目標應(yīng)該是追求收益的最大化和風(fēng)險的最小化.如何在收益和風(fēng)險這一對相互關(guān)聯(lián)、相互作用的矛盾中尋求某種平衡，有效地實現(xiàn)預(yù)期的投資目標，關(guān)鍵還在于有效地控制和規(guī)避風(fēng)險.那么選擇哪幾種證券進行投資，投資的比例多大就顯得尤為重要，只有最優(yōu)的投資組合才能在風(fēng)險最小的情況下

24、獲得利益的最大化，這是個困擾無數(shù)投資者的難題.</p><p>　　在1952年之前，人們通過經(jīng)驗判斷來進行金融資產(chǎn)投資，總結(jié)出很多投資格言如“不要把所有雞蛋放在一個籃子里”、“何時買賣比何種買賣更為重要”等.從格言中進而發(fā)展出所謂的金融投資理論，如公式投資計劃、等級投資計劃等，而這些理論實際是指導(dǎo)人們進行投資活動的具體投資操作，更進一步發(fā)現(xiàn)這些操作并不能指導(dǎo)人們獲得平均收益.在1952年，美國經(jīng)濟學(xué)家馬科維茲在

25、美國《金融雜志》上發(fā)表了題為“投資組合選擇”一文，開創(chuàng)了現(xiàn)代資產(chǎn)組合理論，使得投資上升到理論的高度，更加科學(xué)化和實用化.本文主要介紹馬科維茲投資決策模型理論及其改進.</p><p><b>　　2.馬科維茲模型</b></p><p>　　2.1馬科維茲投資組合理論基礎(chǔ)</p><p>　　2.1.1模型的假設(shè)</p><

26、p>　　馬柯維茨的投資組合理論認為，投資者是風(fēng)險回避的，他們的投資愿望是追求高的預(yù)期收益，他們不愿承擔沒有相應(yīng)的預(yù)期收益加以補償?shù)念~外風(fēng)險.同時馬柯維茨認為，投資組合的風(fēng)險不僅與構(gòu)成組合的各種證券的個別風(fēng)險有關(guān)，而且受各證券之間的相互關(guān)系的影響.基于上訴考慮，提出了下面六點假設(shè)：</p><p>　　呈現(xiàn)在投資者面前的每一項投資是在一段時期上的預(yù)期收益的概率分布，即投資者用預(yù)期收益的概率分布來描述一項投資；

27、</p><p>　　投資者為理性的個體，服從不滿足和風(fēng)險厭惡假設(shè)，投資者的目標是單期效用最大化，而且他們的效用函數(shù)呈現(xiàn)邊際效用遞減的特點；</p><p>　　投資者以投資的預(yù)期收益的波動性來估計投資的風(fēng)險；</p><p>　　投資者僅依靠預(yù)期的投資風(fēng)險和收益來做出投資決定，所以他們的效用函數(shù)只是預(yù)期風(fēng)險和收益的函數(shù)；</p><p>　

28、　在給定預(yù)期風(fēng)險后，投資者偏好更高的預(yù)期收益，另一方面，在給定預(yù)期收益后，投資者偏好更低的風(fēng)險；</p><p>　　市場是完全的，即市場不存在交易費用和稅收，不存在進入或者退出市場的限制，所有的市場參與者都是價格的接受者，市場信息是有效的，資產(chǎn)是完全可以分割的.</p><p>　　從上訴假設(shè)中可知：投資者進行投資組合時僅考慮投資的預(yù)期收益和預(yù)期風(fēng)險.</p><p&

29、gt;<b>　　2.1.2預(yù)期收益</b></p><p>　　預(yù)期收益率是指未來可能收益率的期望值，也稱期望收益率.對于單一證券而言未來的狀態(tài)是不定的，而在每種狀態(tài)下的收益也不同，用期望收益率來表示預(yù)期收益.同理對于多種證券的收益也用相同的表示方法.</p><p><b>　　單一證券的預(yù)期收益</b></p><p&g

30、t;　　單一證券的預(yù)期收益，這種證券在未來有種狀態(tài)，那么證券的預(yù)期收益為：</p><p><b>　　，，</b></p><p>　　其中為期望收益率；為狀態(tài)出現(xiàn)的概率；</p><p>　　為針對狀況出現(xiàn)時證券的收益率；為各種可能狀況的總數(shù).</p><p><b>　　證券組合的預(yù)期收益</b&g

31、t;</p><p>　　在得到單一證券的預(yù)期收益后可以得到證券組合的預(yù)期收益，表示包含在組合中各種資產(chǎn)的預(yù)期收益的加權(quán)平均數(shù)，其表達式為：</p><p><b>　　，，</b></p><p>　　其中，為證券組合的期望收益率；為組合中證券的預(yù)期收益；</p><p>　　為組合中證券所占的比例，即權(quán)數(shù)；為組合中證

32、券的種類.</p><p><b>　　2.1.3預(yù)期風(fēng)險</b></p><p>　　風(fēng)險本身有多種含義，并隨著時間的推移，風(fēng)險的含義也在不斷地發(fā)展變化.在馬柯維茨理論中，把風(fēng)險定義為投資收益率的波動性.收益率的波動性越大，投資的風(fēng)險就越高.收益率的波動性，通常用標準差或方差表示.</p><p>　　標準差是各種可能的收益率偏離期望收益率的

33、綜合差異，是用來衡量證券收益的風(fēng)險程度的重要指標，標準差越大，證券的風(fēng)險也就越大.</p><p>　　單一證券的預(yù)期風(fēng)險，即方差和標準差的計算公式如下：</p><p><b>　　方差：,</b></p><p><b>　　標準差：,</b></p><p>　　其中，、分別表示證券的方差和標

34、準差；其余符號的含義與前述預(yù)期收益的計算公式相同.</p><p><b>　　證券組合的預(yù)期風(fēng)險</b></p><p><b>　　1）協(xié)方差</b></p><p>　　證券組合的風(fēng)險不僅于每種證券的風(fēng)險有關(guān)，而且證券之間的相互關(guān)系也會對組合的風(fēng)險產(chǎn)生影響.證券之間相互影響產(chǎn)生的收益的不確定性可以用協(xié)方差來表示.協(xié)方

35、差是衡量兩個隨機變量例如證券的收益率和證券的收益率之間的互動性的統(tǒng)計量.如果用表示證券和之間的協(xié)方差，那么：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　如果兩種證券之間的協(xié)方差為正值，表明兩種證券的收益率傾向于同一方向變動，即一種證券的實際收益率高于期望收益率的情形可能伴隨著另一種證券相同的情形發(fā)生.如果兩種證券之間的協(xié)方差為負值，則表明兩種證券之間

36、存在著一種反向的變動關(guān)系，一種證券的收益率上升可能伴隨著另一種證券收益率的下降.一個相對較小或者為零的協(xié)方差則表明兩種證券的收益率之間只有很小的互動關(guān)系或者沒有人和互動關(guān)系即相互獨立.證券之間的協(xié)方差越大，那么由它們構(gòu)成的證券組合的風(fēng)險也就越大.</p><p><b>　　2）相關(guān)系數(shù)</b></p><p>　　兩種證券之間的收益互動性還可以用另外一個統(tǒng)計量來表示

37、，即兩者之間的相關(guān)系數(shù).假設(shè)和分別為證券和的收益標準差，是兩種證券之間的協(xié)方差，則其相關(guān)系數(shù)的計算公式為：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　相關(guān)系數(shù)的范圍是，表示兩種證券收益結(jié)果的變化方向完全不相同，稱為完全負相關(guān)；表示兩種證券收益結(jié)果的變化方向完全相同，稱為完全正相關(guān)；表示兩種證券收益結(jié)果的變動之間不存在任何關(guān)系；相關(guān)系數(shù)在區(qū)間內(nèi)，表示兩

38、種證券收益結(jié)果的變化方向相反，但不是百分之百地完全相反，只存在一般性的負相關(guān)關(guān)系；相關(guān)系數(shù)在區(qū)間內(nèi)，表示兩種證券收益結(jié)果的變化方向相同，但不是百分之百地完全相同，只存在一般性的正相關(guān)關(guān)系.必須注意，相關(guān)系數(shù)＝0時，即證券和證券不相關(guān)只表明證券和證券不存在線性相關(guān)關(guān)系，但并不排除證券和證券有其它形式（非線性的）相依關(guān)系.</p><p>　　一般來講，如果兩種證券之間的相關(guān)系數(shù)，則可能會降低組合后的投資風(fēng)險，而如果

39、它們之間的相關(guān)系數(shù)，則可能會加大組合后的投資風(fēng)險.</p><p>　　3）證券組合的方差和標準差</p><p>　　投資組合的預(yù)期風(fēng)險為：</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　標準差就為：</b></p><p><b>　　.&

40、lt;/b></p><p>　　其中，當時，表示證券和證券收益的協(xié)方差，反映了兩種證券的收益在一個共同周期中變動的相關(guān)程度，、表示組合中證券，所占的比例；當時，表示證券i收益的方差.</p><p>　　2.2證券投資的有效組合</p><p>　　從上面可知，有了證券組合的收益和風(fēng)險以及它們的衡量方法，那么什么樣的證券組合才是最有效的組合呢？換句話說，投資

41、者面臨眾多可以選擇的證券時，如何進行組合，改變不同證券的投資比例，才能實現(xiàn)既定期望收益率下風(fēng)險最小或者既定風(fēng)險下期望收益最大的目標？馬柯維茨采用“期望收益率－方差投資組合模型”來解決證券的確定和選擇問題.</p><p>　　2.2.1無差異曲線</p><p>　　投資者在進行投資決策之前都會衡量自己對風(fēng)險收益的偏好程度，這就需要利用無差異曲線了.一條無差異曲線代表能提供給投資者相同效用

42、量的一系列風(fēng)險和預(yù)期收益的組合.在同一條無差異曲線上的組合對于投資者來說是無差異的.無差異曲線可以在預(yù)期收益率－標準差平面上表示出來，其中橫軸表示用標準差所測度的風(fēng)險，縱軸表示用預(yù)期收益率測度的收益，如圖1所示.</p><p>　　無差異曲線表現(xiàn)出以下幾個特點：</p><p>　　1）每一個投資者都有無數(shù)條無差異曲線，位于上方的無差異曲線所代表的效用水平比下方的無差異曲線所代表的效用水

43、平高，這是因為在同一風(fēng)險水平下，上方的無差異曲線提供更高的預(yù)期收益，從另一個角度來看，在同一預(yù)期收益率水平下，上方的無差異曲線能提供更小的風(fēng)險；</p><p>　　2）每一條無差異曲線都是上升的，因為投資者是風(fēng)險厭惡的，所以如果要讓他承擔更大的風(fēng)險就必須支付更高的收益；</p><p>　　3）無差異曲線上升的速度是遞增的，也就是說無差異曲線是下凸的，這說明隨著風(fēng)險的增加投資者對它的厭惡

44、程度是上升的，為彌補增加的一單位風(fēng)險必須支付更多的收益；</p><p>　　4）無差異曲線是不相交的，因為如果兩條無差異曲線相交，而又由于不同的兩條無差異曲線代表不同效用水平，顯然，這就會出現(xiàn)矛盾；</p><p>　　每一投資者都擁有一組無差異曲線圖形來表示他對預(yù)期收益率和標準差的偏好.這意味著投資者將對每一可能的組合確定預(yù)期收益率和標準差.從無差異曲線還可以看出一個投資者的風(fēng)險厭惡程

45、度，高度風(fēng)險厭惡者的無差異曲線更陡峭一些，輕微風(fēng)險厭惡者的無差異曲線就比較平緩一些，如圖2所示.這是因為要讓高度風(fēng)險厭惡者再多承擔一單位的風(fēng)險時，他要求收益的增加要大于輕微風(fēng)險厭惡者的要求.</p><p>　　2.2.2有效市場邊界</p><p>　　無差異曲線可以算是投資者對自己風(fēng)險收益的主觀偏好，用來評價各種資產(chǎn)組合的收益和風(fēng)險，而有效市場邊界就是投資者評價的客體.</p&g

46、t;<p>　　圖3中的陰影部分就是所有可能的證券組合，就是可行集.這無窮多的組合我們是不是都要考慮呢？答案是否定的，投資者僅僅只需要考慮可行集中的一個子集即可.一個投資者選擇他的最優(yōu)組合時將從下列組合中進行：</p><p>　　1）對每一水平的風(fēng)險，該組合提供最大的預(yù)期收益；</p><p>　　2）對每一水平的預(yù)期收益，該組合能提供最小的風(fēng)險.</p>&

47、lt;p>　　滿足這兩個條件的組合被稱為有效集，也叫有效市場邊界.從圖中可以看出A點具有最小的標準差，也就是在可行集中A點的風(fēng)險最小，B點的預(yù)期收益最高，夾在A、B兩點中間的邊界部分就是有效市場邊界，也就是說投資者僅僅考慮這個子集就可以了，而不必考慮其它組合，因為只有在有效市場邊界上才滿足以上兩個條件.</p><p>　　2.2.3最優(yōu)投資組合的選擇</p><p>　　我們已經(jīng)知

48、道，投資者將在有效市場邊界中選擇他的最優(yōu)投資組合，至于選擇哪一個點進行投資，則是由他對預(yù)期收益和風(fēng)險的偏好決定的.投資者可以借助有效市場邊界和無差異曲線來進行最優(yōu)投資組合的選擇.如圖4，在同一坐標系上畫出投資者的無差異曲線和有效市場邊界，最優(yōu)投資組合就是無差異曲線與有效市場邊界的切點.</p><p>　　根據(jù)無差異曲線與有效市場邊界的切點，我們找到了最佳組合點.雖然投資者更希望能達到的水平，但是這條無差異曲線上

49、的組合已經(jīng)落在可行集外，是不可能實現(xiàn)的.無差異曲線雖然也與有效市場邊界有交點、，但是，因為，所以點的效用最高，且落在有效市場邊界上，也就是說，點構(gòu)成了多元證券組合的最佳組合點，而且我們知道無差異曲線是下凸的，而有效市場邊界是下凹的，所以這也保證了切點的唯一性.</p><p>　　2.3馬科維茲投資決策模型的建立</p><p>　　按照馬柯維茨的想法，投資者需要找到一個最佳的證券組合.這

50、個最佳組合最能滿足投資者在收益和風(fēng)險之間的平衡.</p><p>　　在一系列嚴格的假設(shè)條件下，馬柯維茨提出了均值－方差模型.</p><p>　　設(shè)某個投資組合具有種不同的風(fēng)險證券，其中，第種證券的收益序列為，其預(yù)期收益率為，方差為，，它在投資組合中的權(quán)重為.則該投資組合中的所有權(quán)重必須滿足約束條件：</p><p>　　.

51、 （1）</p><p>　　投資組合的期望收益和方差分別為：</p><p>　　, （2）</p><p>　　. （3）</p><p>　　在（3）式中，當時，表示證券和的協(xié)方差，當時，為證券的方差.故可把（3）式改為：</p><p>　

52、　. （3′）</p><p>　　根據(jù)投資者均為理性經(jīng)濟人的假設(shè)，馬柯維茨理論認為投資者在證券投資過程中總是力求在收益一定的條件下，將風(fēng)險降到最?。换蛘咴陲L(fēng)險一定的條件下，獲得最大的收益.為此，他提出了以下兩種單目標的投資組合模型：</p><p>　　（Ⅰ）給定組合收益：</p><p>　?。á颍┙o定組合風(fēng)險：</p><

53、;p>　　模型（Ⅰ）的意義是：在既定期望收益的情況下，使投資風(fēng)險最小.模型（Ⅱ）的意義是：在愿意承擔風(fēng)險的條件下，使期望收益最大.事實上，模型（Ⅰ）與模型（Ⅱ）是等價的，即無論是使用模型（Ⅰ）還是使用模型（Ⅱ）確定的最優(yōu)證券組合投資策略的期望收益和風(fēng)險一定滿足期望收益率（）－風(fēng)險（）平面上的同一條曲線方程.獲得了足夠的數(shù)據(jù)，投資者就可以根據(jù)自己的投資風(fēng)格和對風(fēng)險的偏好程度，來選擇模型（Ⅰ）或（Ⅱ）建立自己的投資組合，以達到滿意的投

54、資效果.</p><p>　　2.4用Lagrange方法解馬柯維茨模型</p><p>　　模型（Ⅰ）和（Ⅱ）求解時，都可以采用Lagrange乘數(shù)法，通過構(gòu)造Lagrange函數(shù)求解.現(xiàn)以模型（Ⅰ）為例：</p><p>　　利用Lagrange乘數(shù)法，作Lagrange函數(shù)：</p><p><b>　　.</b>

55、</p><p>　　其中，，為Lagrange乘數(shù).函數(shù)對，，，，，的偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零，可得：</p><p>　　上述方程組共有個未知數(shù)和個方程，因此可以求出，，，的解，用通式表示如下：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　其中，和為解方程組所求得的常數(shù).</p><p&

56、gt;　　利用Lagrange乘數(shù)法，可以求出函數(shù)的穩(wěn)定點.在許多情況下，由問題的實際意義，而穩(wěn)定點又唯一，因此，唯一的穩(wěn)定點就是極值點.</p><p>　　對于給定的期望收益率，可以計算出的值，從而得到該期望收益率水平下方差最小的證券組合.改變的值，能夠得到相應(yīng)的期望收益率水平下方差最小的證券組合.這樣，由根據(jù)不同的確定的證券組合形成的集合即為有效市場邊界.</p><p><b

57、>　　3.模型的改進</b></p><p>　　上訴經(jīng)典馬科維茲投資模型是在預(yù)期收益或則預(yù)期風(fēng)險給定的情況下給出的，但在實際生活中人們往往不能確定給定的或則能得出最佳的投資組合，即沒有其它的或則使投資組合更優(yōu).在沒有給定或則的情況下，該模型也可等價寫為：</p><p>　　這是一個多目標線性規(guī)劃（MLP）問題，為了能夠解決這一問題需要將多目標規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標規(guī)劃問題，

58、下面利用不同的轉(zhuǎn)化方式對模型進行改進，以達到更好的優(yōu)化效果.</p><p>　　3.1改進一：引入決策變量</p><p>　　為了能夠使多目標規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標規(guī)劃，需要有一個變量來描述預(yù)期收益與預(yù)期風(fēng)險之間的關(guān)系，定義為：</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中</b

59、></p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　則模型可寫為：</b></p><p>　　決策變量所表示的意義是承擔單

60、位風(fēng)險的情況下投資所能獲得的收益.因為實際數(shù)值差距較大，往往，這樣就可能導(dǎo)致風(fēng)險稍微減小一點對于的影響也是巨大的，在實際投資中就是人們盡量減小風(fēng)險以獲得更大的收益，但是這往往是片面的.因此需要對進行歸一化處理，以使得兩者的數(shù)值具有可比性.</p><p>　　引入的好處在于能夠使多目標規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為單目標規(guī)劃，而且有其實際的含義即單位風(fēng)險回報率，人們應(yīng)該選擇的投資組合，因為得到的收益如果不能大于風(fēng)險這是不合理的.

61、而且能夠很好的衡量不同投資組合的優(yōu)劣，人們也往往選擇風(fēng)險小收益大的投資組合，即較大的投資組合.</p><p>　　但是引入決策變量使得原本線性規(guī)劃問題變?yōu)榱朔蔷€性規(guī)劃問題，大大增加了模型求解的難度.我們很難求解出問題的最優(yōu)解，甚至我們很難判斷問題是否有唯一的最優(yōu)解.但是如果我們已經(jīng)知道了投資組合的比例，即的值，那么可以用決策變量來進行比較進而確定最優(yōu)的組合.</p><p>　　3.2改

62、進二：引入偏好程度</p><p>　　在改進一中是通過引入一個變量使得預(yù)期收益與預(yù)期風(fēng)險有關(guān)聯(lián)，雖然使多目標規(guī)劃問題得以轉(zhuǎn)化為單目標規(guī)劃問題，但是并沒有降低難度，難度反而有所增加.在多目標規(guī)劃中，是極小化預(yù)期風(fēng)險，極大化預(yù)期收益，為了能夠使兩者統(tǒng)一，將目標函數(shù)化為極小化風(fēng)險以及極小化預(yù)期收益的相反數(shù)即：</p><p>　　其中與上訴定義相同.</p><p>　

63、　目標函數(shù)值Z越小，就說明預(yù)期收益越大，風(fēng)險越小，這正是我們所期望的.但是上訴目標函數(shù)并沒有考慮的人的偏好程度，因為每個人對風(fēng)險及收益的偏好不同，正如第2部分馬科維茲模型理論中所介紹的大體上分為：高度風(fēng)險厭惡、中等風(fēng)險厭惡以及輕微風(fēng)險厭惡.因此引入風(fēng)險偏好程度，則模型改進為：</p><p>　　其中與模型改進一中定義相同.</p><p>　　的大小體現(xiàn)了人們對風(fēng)險的偏好程度，越大說明人

64、們能承受的風(fēng)險越大，即對風(fēng)險的厭惡小.人們可以通過調(diào)整的大小來選擇最適合自己的投資組合.</p><p>　　該模型的改進巧妙的將多個目標統(tǒng)一化，并且依舊為線性規(guī)劃問題，而我們知道線性規(guī)劃問題是可以通過單純形法解決的.更加貼近實際的是考慮到了人對風(fēng)險的偏好程度，在模型中引入，使模型具有更好的科學(xué)性和適用性.</p><p>　　3.3改進三：目標規(guī)劃</p><p>

65、;　　上訴兩種改進方案都是在未給定預(yù)期收益和預(yù)期風(fēng)險的情況下進行的改進，但是人們也可能在預(yù)定的預(yù)期收益和預(yù)期風(fēng)險下進行投資組合，即給定，那么我們也可以通過目標規(guī)劃來解決.</p><p>　　引入的正負偏差量，的正負偏差量，優(yōu)先因子或則權(quán)系數(shù)，則目標規(guī)劃模型如下：</p><p>　　其中，，與上訴定義相同.</p><p>　　對上訴模型有如下幾點說明：</

66、p><p>　　當時，稱為優(yōu)先因子，表示優(yōu)先考慮預(yù)期收益或則優(yōu)先考慮預(yù)期風(fēng)險.這時，人們往往只看到了收益或則風(fēng)險一面，對于另一面考慮甚少；</p><p>　　當在同一數(shù)量級時，稱為權(quán)系數(shù)，類似于改進二中偏好程度，不同的人對于預(yù)期收益和預(yù)期風(fēng)險的重視程度不同，因此對于兩者的全系數(shù)也不同，一般情況下取；</p><p>　　表示的偏差，表示實際收益比預(yù)期收益的減少量，表示

67、實際收益比預(yù)期收益的增加量，為了能夠盡可能的達到預(yù)期收益，即使沒有達到預(yù)期收益偏差也應(yīng)該盡可能的小，因此在目標中是極小化；</p><p>　　表示的偏差，表示實際風(fēng)險比預(yù)期風(fēng)險的減少量，表示實際風(fēng)險比預(yù)期風(fēng)險的增加量，為了能夠盡可能減少風(fēng)險，即使超過預(yù)期風(fēng)險，也應(yīng)該使超過預(yù)期風(fēng)險的偏差量盡可能的小，因此在目標中是極小化.</p><p>　　使用目標規(guī)劃改進馬科維茲投資模型具有模型改進二

68、的所有優(yōu)點，能夠個性化的“定制”最優(yōu)投資組合，并且引入偏差變量能夠使目標盡可能的優(yōu)化，也使模型更具實際意義和應(yīng)用的廣泛性.</p><p><b>　　3.4總結(jié)</b></p><p>　　每一個模型的改進方案都有其優(yōu)缺點和其適用的地方，不過統(tǒng)一的一點是都他通過構(gòu)造使預(yù)期收益與預(yù)期風(fēng)險能夠同時考慮，而不再是靜態(tài)的只考慮一個因素，通過下表1來比較各個方案.</p

69、><p>　　表1：各種模型改進方案對比表</p><p>　　4.對馬科維茲模型的評價</p><p>　　馬科維茲模型的創(chuàng)立被譽為金融理論的一場科學(xué)革命.馬科維茲本人也在模型創(chuàng)立的38年后獲得了諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎的殊榮.但是任何理論都有其優(yōu)越性和局限性，我們需要全面的看待馬科維茲模型.</p><p><b>　　4.1優(yōu)越性</

70、b></p><p>　　馬科維茲模型利用均值－方差建立模型，簡單易懂，改變了傳統(tǒng)投資者的基本信念，人們開始擺脫經(jīng)驗投資，而是通過科學(xué)理論分析來進行投資；</p><p>　　馬科維茲模型從理論上否定了持有證券越多，分散風(fēng)險效果約好的錯誤觀點.利用協(xié)方差很好的體現(xiàn)了證券間風(fēng)險和收益的互補性，一般來說，證券組合中各證券之間的相關(guān)程度越低，該組合的風(fēng)險也就越低；</p>&

71、lt;p>　　馬科維茲利用數(shù)學(xué)圖解法科學(xué)地確定了最優(yōu)投資比例關(guān)系，而不再是盲目地進行投資.</p><p><b>　　4.2局限性</b></p><p>　　馬科維茲模型的建立進行了苛刻的理論假設(shè)，往往在實際生活中很難滿足；</p><p>　　在模型中利用了預(yù)期收益和預(yù)期風(fēng)險對實際的收益和風(fēng)險進行考量，以及用以往數(shù)據(jù)進行協(xié)方差估計以

72、此來衡量證券間的相關(guān)性是不符合實際的，因為歷史的數(shù)字資料并不能準確反映未來的收益和風(fēng)險的狀況，一種證券的各種變量也會隨時間的推移不停地變化；</p><p>　　即使得到了某一時刻的各種證券的收益和風(fēng)險，由于證券種類繁多，導(dǎo)致計算量太大而無法給出最優(yōu)的投資建議；</p><p>　　該模型用證券未來預(yù)期收益率變動的方差或標準差來度量風(fēng)險的大小.這樣盡管風(fēng)險的大小明確且易于度量，但是由于方差

73、和標準差在計算中的雙向性，就會將預(yù)期收益率有益于投資者的變動劃入風(fēng)險的范疇，這是有待商榷的；</p><p>　　用方差作為資產(chǎn)風(fēng)險的度量這只適用于對稱分布的資產(chǎn)收益，不具備一般性.而馬科維茲也認識到了原模型的缺陷，提出了運用半方差作為測定風(fēng)險的參數(shù)；</p><p>　　均值方差理論不能確定具體投資者的最優(yōu)組合，投資者還需根據(jù)風(fēng)險偏好從有效集中選擇最優(yōu)組合；</p><

74、;p>　　馬科維茲最優(yōu)投資組合只是在一個暫時的資產(chǎn)組合，即要求所有投資者有一個共同的單一投資期，所有的證券組合有一個特有的持有期，但是這在實際生活是做不到的.金融環(huán)境瞬息萬變，模型得出的投資組合有可能不是最優(yōu)的，而且還可能是無效的.</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]張忠楨，張鵬.馬科維茲資產(chǎn)組合選擇模型的選擇算法[J].武

75、漢大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版），2003（01）.</p><p>　　[2]張忠楨.馬科維茲資產(chǎn)組合選擇模型旋轉(zhuǎn)算法的特點[J].《科學(xué)技術(shù)與工程》, 2002(5):62-64.</p><p>　　[3]朱書尚，李端，周迅宇，汪壽陽.論投資組合與金融優(yōu)化—對理論研究和時間的分析與反思.管理科學(xué)學(xué)報，2004，7（6）.</p><p>　　[4]赫伯特.B.梅奧.金融學(xué)

76、基礎(chǔ)[M].錢煒青,譯.北京：清華大學(xué)出版社，2007：141-213.</p><p>　　[5]胡運權(quán).運籌學(xué)教程[M].北京：清華大學(xué)出版社，2012，11：106-119.</p><p>　　[6]李伯德.最優(yōu)投資組合的數(shù)學(xué)模型與案例分析[J].蘭州商學(xué)院學(xué)報，2006，22（2）.</p><p>　　[7]黃紅選，韓繼業(yè).數(shù)學(xué)規(guī)劃[M].北京：清華大學(xué)

77、出版社，2006.</p><p>　　[8]劉紅英，夏勇，周水生.數(shù)學(xué)規(guī)劃基礎(chǔ)[M].北京：北京航天航空大學(xué)出版社，2012：153-182.</p><p>　　[9]Markowitz HM.Portfolio selection[J]. Journal of Finance, The . 1952.</p><p>　　[10]戴玉林.馬科維茲模型的分析與評

78、價[J].金融學(xué)報，1991，09，57-63.</p><p>　　[11]馬科維茲.資產(chǎn)選擇組合[M].紐約：約翰·威尼和桑斯公司，1959.</p><p>　　[12]W·F·夏普.資產(chǎn)組合分析的簡化模型[J].管理科學(xué)，1963，1，277-293.</p><p>　　[13]郁維.資產(chǎn)組合選擇馬科維茲模型與單指數(shù)模型的研究

79、分析[J].科技信息，2009，(18).</p><p>　　[14]鄭丕諤，楊燦.馬科維茲投資組合的改進及其應(yīng)用[J].遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報（社會科學(xué)版），2006，1，（8）.</p><p>　　[15]金秀，劉家和，苑瑩.加權(quán)極大-極小隨機模糊投資組合模型及實證研究[J].系統(tǒng)管理學(xué)報，2015，1，（1）：78-84.</p><p>　　[16]謝軍，