數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的若干思考

1、<p>　　2007年第46卷第5期數(shù)學(xué)通報</p><p>　　《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的若干思考</p><p><b>　　史寧中</b></p><p>　　(東北師范大學(xué)長春130024)</p><p>　　編者按史寧中教授是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)家．自1998年擔(dān)任東北師范大學(xué)校長后，他對中小學(xué)教育做過深入</

2、p><p>　　的思考，并于2005年開始主持教育部《九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的修訂工作．史校長將學(xué)校的主要培養(yǎng)</p><p>　　目標(biāo)定位于教師的職前教育，主張數(shù)學(xué)教師的培養(yǎng)要注重專業(yè)課的學(xué)習(xí)，將教育理念滲透到課程當(dāng)中．目前</p><p>　　東北師大數(shù)學(xué)系的畢業(yè)生遍布于全國各地的中學(xué)，包括各大城市的許多重點中學(xué)，這件事情成為他的驕傲．</p>&

3、lt;p>　　本文根據(jù)史校長4月14日在寧波數(shù)學(xué)教育高級研修班上的報告記錄和4月26日訪問北京師范大學(xué)的座談</p><p><b>　　記錄整理而成．</b></p><p>　　1 制定《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的目的</p><p>　　為什么要制定課程標(biāo)準(zhǔn)呢?為什么要進(jìn)行如此</p><p>　　大規(guī)模的課程與教學(xué)改

4、革呢?有的人說是要解決應(yīng)</p><p>　　試教育的問題，有人說要減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，還有人</p><p>　　說要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣等等，有各種各樣的理</p><p>　　由．但是我想這些都不是根本．教育的好壞取決于</p><p>　　兩條：第一，是不是有利予學(xué)生的發(fā)展；第二，是不</p><p>　　是有利于國

5、家的發(fā)展．如果教育既有利于學(xué)生的發(fā)</p><p>　　展又有利于國家的發(fā)展，即便辛苦一點也沒什么了</p><p><b>　　不起的．</b></p><p>　　我之所以說這些，是因為在討論問題時應(yīng)當(dāng)遵</p><p>　　循一個原則，也就是在考慮任何問題時應(yīng)該有個很</p><p>　　好

6、的出發(fā)點，這個出發(fā)點應(yīng)當(dāng)是大家公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)．</p><p>　　關(guān)于學(xué)生發(fā)展的需要我不想談的更多，過去的</p><p>　　教育是一種專業(yè)人才的培養(yǎng)，專業(yè)人才的培養(yǎng)適應(yīng)</p><p>　　于計劃經(jīng)濟．但是對市場經(jīng)濟來說，學(xué)生畢業(yè)之后</p><p>　　的工作、求職往往是會變化的，而且要更多地尊重</p><p>

7、　　本人專業(yè)的志向，因此要采用自主發(fā)展的人才培養(yǎng)</p><p><b>　　模式．</b></p><p>　　第二就是國家發(fā)展的需要．現(xiàn)在國家最需要的</p><p>　　是創(chuàng)新人才，為什么呢?因為中國的經(jīng)濟已經(jīng)得到</p><p>　　了快速的發(fā)展，要保持這個速度發(fā)展，創(chuàng)新是很重</p><p&

8、gt;　　要的．新的思想、新的工藝、新的技術(shù)很重要，所以</p><p>　　創(chuàng)新人才的培養(yǎng)是國家重要的發(fā)展戰(zhàn)略．</p><p>　　創(chuàng)新人才應(yīng)該在基礎(chǔ)教育階段開始培養(yǎng)，這個</p><p>　　想法已經(jīng)被國家采用了．過去大家誤認(rèn)為創(chuàng)新型人</p><p>　　才都是在大學(xué)或者是工作之后才培養(yǎng)的，其實不</p><p&g

9、t;　　然．為什么呢?創(chuàng)新最起碼依賴于三個條件，創(chuàng)新意</p><p>　　識、創(chuàng)新能力和創(chuàng)新機遇．事實上創(chuàng)新意識、甚至創(chuàng)</p><p>　　新能力都是在基礎(chǔ)教育階段培養(yǎng)．一個在18歲之前</p><p>　　一個問題都沒有認(rèn)真思考過的孩子是不可能成為</p><p>　　創(chuàng)新型人才的．所以在基礎(chǔ)教育階段應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生</p>

10、<p>　　的創(chuàng)新意識和劊新能力，這是我們研制課程標(biāo)準(zhǔn)和</p><p>　　未來教學(xué)的最基本的出發(fā)點．</p><p><b>　　2 創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)</b></p><p>　　創(chuàng)新能力依賴于三方面：知識的掌握、思維的</p><p>　　訓(xùn)練、經(jīng)驗的積累，三方面同等重要．關(guān)于“知識的</p>

11、<p>　　掌握”，我國的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育是沒有問題的；關(guān)于</p><p>　　“經(jīng)驗的積累”，大概還差得很多；關(guān)于“思維的訓(xùn)</p><p>　　練”，我們做得也不夠，只能打五十分．那么為了創(chuàng)</p><p>　　新型國家的建立我們現(xiàn)在的教育只做了一半的工</p><p>　　作．我們沒有更多地在基礎(chǔ)教育階段教孩子如何去<

12、/p><p>　　創(chuàng)新，幫他們從小的事情、小的發(fā)現(xiàn)開始積累經(jīng)驗，</p><p><b>　　沒有這樣的意識．</b></p><p>　　我今天主要談一談思維訓(xùn)練．思維訓(xùn)練主要靠</p><p>　　兩個能力，一個是演繹能力，一個是歸納能力。愛因</p><p>　　斯坦說過：“西方科學(xué)的發(fā)展是以兩

13、個偉大成就為</p><p>　　基礎(chǔ)，希臘哲學(xué)家發(fā)明的形式邏輯體系(在歐幾里</p><p>　　德幾何中)，以及通過系統(tǒng)的實驗發(fā)現(xiàn)有可能找出</p><p>　　因果關(guān)系(在文藝復(fù)興時代，特別是工業(yè)革命以</p><p>　　后)．”前者指的是演繹能力，后者指的是歸納的能</p><p><b>　　力．

14、</b></p><p><b>　　萬方數(shù)據(jù)</b></p><p>　　2 數(shù)學(xué)通報2007年第46卷第5期</p><p><b>　　3 我國教育的現(xiàn)狀</b></p><p>　　回憶我們的數(shù)學(xué)教育，特別是50年代的數(shù)學(xué)教</p><p>　　育，我們強

15、調(diào)數(shù)學(xué)的雙基．雙基主要是基礎(chǔ)知識和</p><p>　　基本技能．基礎(chǔ)知識本質(zhì)上是概念的記憶和命題的</p><p>　　理解，要求基礎(chǔ)知識扎實；還要求基本技能，主要是</p><p>　　證明的技能和運算的技能；要求熟練．這是我們當(dāng)</p><p>　　時整個教育的狀況，也就是說我國的數(shù)學(xué)教育主要</p><p>　

16、　關(guān)注的是演繹能力的培養(yǎng)．關(guān)于這一點，楊振寧先</p><p>　　生深有體會．他在《我的生平》中說：“我很有幸能夠</p><p>　　在兩個具有不同文化背景的國度里學(xué)習(xí)和工作，我</p><p>　　在中國學(xué)到了演繹能力，在美國學(xué)到了歸納能力．”</p><p>　　不僅僅是楊振寧先生，許多留學(xué)生都有同感，不管</p>&l

17、t;p>　　他們是否作出了卓越的成績，他們的感受是一樣</p><p>　　的．事實上，我國古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是歸納推理，</p><p>　　因為在古代中國根本就沒有演繹推理，一直是歸</p><p>　　納、計算．但是現(xiàn)在歸納少了，演繹反而多了．演繹</p><p>　　從康熙時代翻譯《幾何原本》開始到現(xiàn)在也不過幾</p>

18、;<p>　　百年歷史，但是現(xiàn)在卻占了主導(dǎo)．為什么會出現(xiàn)這</p><p>　　種情況?我想大概演繹和中國上千年的科舉考試關(guān)</p><p>　　系密切．因為科舉要求的是基本功扎實，知識記憶</p><p>　　的牢靠和八股文的寫作．演繹方法與此有相似之</p><p><b>　　處．</b></p

19、><p>　　現(xiàn)在，很多中學(xué)提出來，數(shù)學(xué)問題應(yīng)該“一看就</p><p>　　會、一做就對”．怎么能這樣呢?不經(jīng)過思考的不是</p><p>　　數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)不是技能訓(xùn)練．一定程度的熟練是必要</p><p>　　的，但是過分強調(diào)就走向反面．所以我這次跟教育</p><p>　　部很認(rèn)真地提出來，要不然增加考試時間，要不然&

20、lt;/p><p>　　減少考試題目．只要學(xué)生經(jīng)過思考能夠答出就是好</p><p><b>　　樣的．</b></p><p>　　演繹能力是能夠熟練使用演繹推理的能力．演</p><p>　　繹推理來源于什么呢?來源于亞里士多德．當(dāng)時的</p><p>　　古希臘非常盛行辯論，在辯論過程中，亞里士

21、多德</p><p>　　發(fā)現(xiàn)兩個事情需要清楚，第一，大家討論問題得有</p><p>　　一個脫離邏輯背景的公認(rèn)前提；第二，在討論過程</p><p>　　中必須有一個大家都認(rèn)為可行的推理的辦法，然后</p><p>　　再來推理．亞里士多德對這個進(jìn)行了總結(jié)，并將其</p><p>　　寫入《工具論》這本書里．他提出

22、了著名的三段論，</p><p>　　即大前提、小前提和結(jié)論．這個方面他有一個非常</p><p>　　重要的推理的模式，這個模式之一就是：</p><p>　　凡人都會死，蘇格拉底是人，蘇格拉底會死．</p><p>　　凡人都會死是大前提，蘇格拉底是人是小前</p><p>　　提，蘇格拉底會死是結(jié)論．這是一種標(biāo)準(zhǔn)

23、的三段論</p><p>　　模式．這是一種前提和結(jié)論之間有必然性聯(lián)系的推</p><p>　　理，是基于概念、按照規(guī)則進(jìn)行的一種推理，是由一</p><p>　　般到特殊的推理．歐幾里德把這個思想成功地用到</p><p>　　了幾何學(xué)的研究上，創(chuàng)立了幾何公理化體系，即歐</p><p><b>　　氏幾何

24、．</b></p><p>　　歐幾里德幾何是現(xiàn)代數(shù)學(xué)推理的典范，甚至是</p><p>　　開源．它的演繹推理是基于公理、定義和符號的，按</p><p>　　照規(guī)定的法則進(jìn)行命題的證明或者公式的推導(dǎo)．從</p><p>　　這個意義上來說，計算也是一種演繹的推理，因為</p><p>　　計算也是對符號

25、在規(guī)定的法則下進(jìn)行的一種推理．</p><p>　　其基本推理模式是這樣的：已知A求證B，A和B都</p><p>　　是確定的命題，是由確定的命題到確定的命題的一</p><p>　　種推理．我們往往認(rèn)為幾何證明是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，這</p><p>　　是不正確的．克萊因說，推理本身是個工具．邏輯可</p><p>　　

26、以是數(shù)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)和約定，但不是它的本質(zhì)．演繹推</p><p>　　理的主要功能在于驗證結(jié)論而不在于發(fā)現(xiàn)結(jié)論，由</p><p>　　一般到特殊的推理本質(zhì)上在于驗證結(jié)論．</p><p>　　前些年我寫了篇文章，提出個問題：數(shù)學(xué)到底</p><p>　　是發(fā)明的還是發(fā)現(xiàn)的?事實上，在一個體系之下作</p><p>　　出

27、任何結(jié)果都是顯然的．為什么呢?因為這個結(jié)果</p><p>　　在體系中必然存在的，只是你發(fā)現(xiàn)它而已．所以體</p><p>　　系建立有好處也有壞處．它的好處在于講課可以很</p><p>　　規(guī)范，壞處在于任何東西都是顯然的．所以忙于建</p><p>　　立一個體系不是什么好的事情．</p><p><b&

28、gt;　　4還缺少什么</b></p><p>　　那么我們還缺少什么呢?缺少的是根據(jù)情況預(yù)</p><p>　　測結(jié)果的能力和根據(jù)結(jié)果探究成因的能力．這兩個</p><p>　　能力很重要，是創(chuàng)新的基礎(chǔ)．前者有利于創(chuàng)造新產(chǎn)</p><p>　　品，形成新工藝；后者有利于發(fā)現(xiàn)新理論．</p><p>　　拉

29、普拉斯說，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類</p><p>　　比．龐加萊說，數(shù)學(xué)推理的性質(zhì)是什么?真是我們通</p><p>　　常所認(rèn)為的演繹嗎?歸納能力是能夠熟練使用歸納</p><p>　　推理的能力．現(xiàn)代歸納推理來源于培根，他在《新工</p><p>　　具論》中談到，就“幫助人們尋求真理”而言，三段論</p><p

30、>　　的“壞作用多于好作用”。黑格爾也有類似的說法．</p><p>　　數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是關(guān)系(各種關(guān)系)，最難研究</p><p>　　的是因果關(guān)系．?dāng)?shù)學(xué)這些年來最核心的研究也是因</p><p>　　果關(guān)系，因果關(guān)系幾乎無法用式子表達(dá)，但可以研</p><p>　　究其內(nèi)涵．休謨利用歸納和類比思想研究了因果關(guān)</p>

31、<p>　　系，雖沒完全搞清楚因果關(guān)系，但是對因果關(guān)系研</p><p>　　究做出了很大的貢獻(xiàn)，而這已經(jīng)成為現(xiàn)代科學(xué)的動</p><p>　　力．穆爾在他的著作《論自由》中認(rèn)真地總結(jié)了歸納</p><p><b>　　萬方數(shù)據(jù)</b></p><p>　　2007年第46卷第5期數(shù)學(xué)通報3</p&g

32、t;<p>　　推理．歸納推理十分龐雜，就方法而言，包括枚舉</p><p>　　法、歸納法、類比法、統(tǒng)計推斷、因果分析，以及觀察</p><p>　　實驗、比較分類、綜合分析．與演繹推理相反，歸納</p><p>　　推理是一種從特殊到一般的推理．穆爾說過，“這句</p><p>　　話不是很確實的，歸納推理是一種從特殊到范圍

33、更</p><p>　　廣的推理．”歸納推理主要包括兩種方法，歸納法和</p><p>　　類比法．借助歸納推理可以幫助學(xué)生培養(yǎng)預(yù)測結(jié)果</p><p>　　和探究的能力，這是演繹推理不可比擬的，因此從</p><p>　　方法、思維角度來說，過去雙基教育缺少了對歸納</p><p>　　能力的培養(yǎng)，對學(xué)生未來走向社會

34、不利，對培養(yǎng)創(chuàng)</p><p><b>　　新人才不利．</b></p><p>　　5 如何培養(yǎng)歸納能力</p><p>　　現(xiàn)在的教育本質(zhì)上是知識的教育，考察的是該</p><p>　　教的內(nèi)容是否教了，教了的知識學(xué)生是否掌握了．</p><p>　　這樣的教育是不夠的．我們必須知道教育應(yīng)該是

35、以</p><p>　　人為本的教育，要考慮學(xué)生的全面發(fā)展．不僅考慮</p><p>　　學(xué)生知識的掌握，還要考慮身心的發(fā)展，要考慮能</p><p>　　力、思維的教育．所以新課標(biāo)提出的三維目標(biāo)很重</p><p>　　要，除了知識能力的考察外，還要考察過程的目標(biāo)、</p><p><b>　　情感態(tài)度的目

36、標(biāo)．</b></p><p>　　演繹推理表現(xiàn)為一種知識，歸納推理則表現(xiàn)為</p><p>　　一種智慧．知識和智慧有什么不同呢?我在一篇文</p><p>　　章①中談到，“知識在本質(zhì)上是一種結(jié)果，可能是經(jīng)</p><p>　　驗的結(jié)果，也可能是思考的結(jié)果．”單純追求知識的</p><p>　　教育是一種

37、結(jié)果的教育，這種教育要走在時代的前</p><p>　　面是不可能的．“智慧并不表現(xiàn)在經(jīng)驗的結(jié)果上，也</p><p>　　不表現(xiàn)在思考的結(jié)果上，而表現(xiàn)在經(jīng)驗的過程，表</p><p>　　現(xiàn)在思考的過程中．?‘智慧表現(xiàn)于對問題的處理，</p><p>　　對危難的應(yīng)付，對實質(zhì)的思考以及實驗的技巧等</p><p>　

38、　等．”歸納能力是建立在實踐的基礎(chǔ)上的，更多地依</p><p>　　賴于過程，依賴于經(jīng)驗的積累．</p><p>　　要培養(yǎng)一個人的創(chuàng)新能力，必須注重過程，啟</p><p>　　發(fā)思考，總結(jié)經(jīng)驗，教會反思．“過程的教育”不是指</p><p>　　在授課時要講解、或者讓學(xué)生經(jīng)歷知識產(chǎn)生的過</p><p>　　程，

39、甚至不是指知識的呈現(xiàn)方式．而是學(xué)生探究的</p><p>　　過程、思考的過程、抽象的過程、預(yù)測的過程、推理</p><p>　　的過程、反思的過程等等．討論知識產(chǎn)生的過程是</p><p>　　必要的，但是不可能把知識產(chǎn)生過程都重復(fù)一遍，</p><p>　　因此，重要的是加深對問題本身的理解，并且能夠</p><p&g

40、t;　　抓住問題的本質(zhì)，啟發(fā)新的思考．比如函數(shù)，現(xiàn)在函</p><p>　　數(shù)的定義非常好，但是當(dāng)初并不是這樣定義的．當(dāng)</p><p>　　初“function”是萊布尼茲給出的，他當(dāng)時定義的只</p><p>　　是圖形與數(shù)量的對應(yīng)．雖然他的定義是有問題的，</p><p>　　但是他抓住了函數(shù)最本質(zhì)的東西．雖然以后定義改</p&g

41、t;<p>　　的非常好了，本質(zhì)卻看不見了．一個學(xué)者或發(fā)明家</p><p>　　得到的最后結(jié)論可能是非常完美，但頭腦中思考的</p><p>　　是非常簡潔的東西．我在教研究生時，總是讓學(xué)生</p><p>　　先讀懂華麗文章的背后思考的東西是什么、思考的</p><p>　　主線是什么、思考的核心是什么，這個讀出來才能<

42、;/p><p>　　發(fā)明創(chuàng)造，把根本的東西吃透了才能得到新的東</p><p>　　西．現(xiàn)在，數(shù)學(xué)課堂上討論的很熱鬧，討論時是一鍋</p><p>　　粥，討論完了還是一鍋粥．為什么呢?老師必須幫學(xué)</p><p>　　生總結(jié)，不是總結(jié)結(jié)論對還是錯，而是討論過程中</p><p>　　孩子的思考對還是不對，思考的是符合常理

43、還是不</p><p>　　符合常理．老師幫助孩子反思總結(jié)，積累經(jīng)驗，這是</p><p>　　我們的目的．我們必須清楚，世界有很多東西是不</p><p>　　可傳遞的，只能靠親身經(jīng)歷，比如智慧．智慧并不完</p><p>　　全依賴知識的多少，而依賴知識的運用、依賴經(jīng)驗，</p><p>　　你只能讓學(xué)生在實際操作

44、中磨練，自己去感悟，去</p><p><b>　　積累去反思．</b></p><p><b>　　下面我舉例說明．</b></p><p>　　先講分類．分類是很重要的．可以給小學(xué)三年</p><p>　　級以下的學(xué)生出這樣的題目：自己選擇某一個標(biāo)準(zhǔn)</p><p>　　

45、將全班同學(xué)分成兩類，并與同學(xué)交流分類的標(biāo)準(zhǔn)和</p><p>　　分類的結(jié)果．分類有個基本的原則，能把類分出來，</p><p>　　分類之后得到的結(jié)果和標(biāo)準(zhǔn)符合就行，無所謂對</p><p>　　錯．分類在數(shù)學(xué)中是很重要的，一個好的分類必須</p><p>　　抓住事物的本質(zhì)特征．對于這樣的問題，答案是無</p><p&

46、gt;　　所謂對錯的，只要分類的結(jié)果與分類的標(biāo)準(zhǔn)一致就</p><p>　　可以．這種問題可以讓學(xué)生體會到，標(biāo)準(zhǔn)是可以自</p><p>　　己定的，這種思維是創(chuàng)新的根本．如果所有的發(fā)明</p><p>　　創(chuàng)造都是在別人的標(biāo)準(zhǔn)下的發(fā)明創(chuàng)造，這是要吃虧</p><p>　　的，我們要突破這些．所以從小要教給孩子們：數(shù)據(jù)</p>

47、<p>　　可以自己獲取，標(biāo)準(zhǔn)可以自己定，結(jié)論也可以自己</p><p><b>　　給．</b></p><p>　　下面是北大附中張思明老師給出的例子：</p><p>　　如圖所示，桌子上散落著各式各樣的扣子，請</p><p>　　同學(xué)們想一想能把這些扣子分成幾類?分類的標(biāo)準(zhǔn)</p>&l

48、t;p><b>　　是什么?</b></p><p>　?、堋蛾P(guān)于教育的哲學(xué)》，發(fā)表于1998年的《教育研究》第10期</p><p><b>　　萬方數(shù)據(jù)</b></p><p>　　4 數(shù)學(xué)通報2007年第46卷第5期</p><p>　　這個問題難一些，可以按照扣子的顏色分類，</

49、p><p>　　也可以按照扣子的眼數(shù)或形狀分類，讓孩子們來</p><p>　　分．不管開始是怎么分的，這樣分下去，分到一定程</p><p>　　度后，結(jié)果是一樣的．讓學(xué)生知道，可以從不同角度</p><p>　　思考問題，這都是歸納．分類基本思想：從一個大前</p><p>　　提出發(fā)分出兩類，再細(xì)分，標(biāo)準(zhǔn)逐漸加細(xì)，但

50、最后結(jié)</p><p><b>　　果一樣．</b></p><p>　　到了初中階段，問題就可以更復(fù)雜了：</p><p>　　某電視臺希望了解本地區(qū)居民喜歡的電視節(jié)</p><p>　　目的類型，請同學(xué)幫助設(shè)計一個調(diào)查方案．</p><p>　　這個問題就十分復(fù)雜了，不同年齡段的人喜歡<

51、/p><p>　　的節(jié)目不同，光知道這個還不行，還得知道不同年</p><p>　　齡段的人數(shù)占總?cè)丝诘谋壤?；涉及到不同文化背?lt;/p><p>　　及其所占比例；涉及到不同類型的人看電視的時</p><p>　　問；涉及到需要調(diào)查的人數(shù)等等．在做這個調(diào)查之</p><p>　　前要把方案設(shè)計得很周密，分類分得很仔細(xì)，把這

52、</p><p>　　個特性抓?。?，這個問題的核心還是在于標(biāo)準(zhǔn)</p><p>　　和結(jié)果的關(guān)系．學(xué)生通過類似這樣的貫穿始終的訓(xùn)</p><p>　　練，是能夠逐漸領(lǐng)悟歸納的思想的．</p><p>　　下面說歸納．歸納這種思想方法與分類有關(guān)，</p><p>　　歸納的基本思路是：在一類事物中，如果我們考察<

53、;/p><p>　　的所有事物都有性質(zhì)A，則認(rèn)為這類事物都具有性</p><p><b>　　質(zhì)A</b></p><p>　　歸納思想在代數(shù)的研究中體現(xiàn)得非常多．比如</p><p>　　高斯曾說，在數(shù)論中由于意外的幸運頗為經(jīng)常，所</p><p>　　以用歸納法可萌發(fā)出極漂亮的新的真理．歐拉則認(rèn)&

54、lt;/p><p>　　為，今天人們所知道的數(shù)的性質(zhì)，幾乎都是由觀察</p><p>　　所發(fā)現(xiàn)的??這類知識是通常所說的用歸納所獲</p><p>　　得的．包括哥德巴赫猜想、費爾馬大定理．下面舉一</p><p><b>　　個代數(shù)的例子：</b></p><p>　　在一個房間里有四條腿的椅子和

55、三條腿的凳</p><p>　　子共16個，如果椅子腿與凳子腿加起來共有60個，</p><p>　　有幾個椅子和幾個凳子?</p><p>　　這是“雞兔同籠”的問題的變形，但是椅子和</p><p>　　凳子相差一條腿，問題相對簡單了一些．老師在教</p><p>　　的時候要靈活一些，不要顯得太聰明，要讓學(xué)生思&

56、lt;/p><p>　　考．對于低年級學(xué)生，可以讓學(xué)生列表嘗試：</p><p>　　椅子數(shù)凳子數(shù)腿的總數(shù)</p><p>　　16 O 4×16=64</p><p>　　15 1 4×15+3×1—63</p><p>　　14 2 4×14+3×2—62</p&

57、gt;<p>　　這個方法看起來很笨拙，實際上很好，因為這</p><p>　　是歸納．只要掌握了這種方法，孩子們碰到新問題</p><p>　　就會這樣來思考了．不要一開始就講道理，孩子就</p><p><b>　　沒有時間思考了．</b></p><p>　　到了高年級，可以仍然用嘗試的方法列出方程&

58、lt;/p><p>　　椅子數(shù)凳子數(shù)腿的總數(shù)</p><p>　　a=16 16一a=0 4×a+3×(16一口)一64</p><p>　　n一15 16一a=1 4×a+3×(16一口)=63</p><p>　　a一14 16一a=2 4×a+3×(16一口)一62</p&g

59、t;<p>　　再比如，級數(shù)求和(數(shù)學(xué)歸納法)</p><p>　　A(咒)：1+2+?+咒=n(n+1)／2</p><p>　　B(咒)：12+22+?+艫一n(n+1)(2n+1)／6</p><p>　　C(咒)：13+23+?+礦一?</p><p>　　雖然可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，但得事先知道結(jié)</p>

60、<p>　　論，必須先拿數(shù)試一試，然后再用數(shù)學(xué)歸納法．</p><p>　　挖1 2 3 4 5</p><p>　　A(靠) 1 3 6 10 15</p><p>　　B(，1) 1 5 14 30 35</p><p>　　B(，2)／A(挖) 3／3 5／3 7／3 9／3 11／3</p><p>

61、　　B(咒)／A(咒)一(2n+1)／3</p><p>　　B(咒)=A(以)(2n+1)／3一n(n+1)(2n+1)／6</p><p>　　對于平方和的情況，我們用B(竹)除以A(n)試</p><p>　　一試，就會發(fā)現(xiàn)一組比較有規(guī)律的數(shù)，我們可以猜</p><p>　　測一般的結(jié)果，然后用數(shù)學(xué)歸納法驗證．</p>&

62、lt;p>　　竹1 2 3 4 5</p><p>　　A(砣) 1 3 6 10 15</p><p>　　C(，1) 1 9 36 100 225</p><p>　　C(竹)／A(，1) 1 3 6 10 15</p><p>　　C(咒)一A(，1)·A(他)=矛(，z+1)2／4</p><p&g

63、t;<b>　　萬方數(shù)據(jù)</b></p><p>　　2007年第46卷第5期數(shù)學(xué)通報5</p><p>　　對于立方和的情況，試一下，發(fā)現(xiàn)更簡單．事實</p><p>　　上通過這種方法可以得到更一般的結(jié)果．</p><p>　　1‘+2‘+3‘+?∥=O(礦H)</p><p>　　對于k次方

64、和的情形，我們猜測是一個∥+1的</p><p>　　式子，再通過代入咒個數(shù)求出系數(shù)，從而確定這個方</p><p><b>　　程．</b></p><p>　　看看幾何中的例子，觀察三棱錐、四棱錐、三棱</p><p>　　柱、五棱錐，我們發(fā)現(xiàn)</p><p><b>　　回念<

65、;/b></p><p><b>　　多面體的歐拉公式：</b></p><p>　　F(面)+V(頂)一E(棱)+2．</p><p>　　再談類比．類比是指，一個事物具有性質(zhì)A、B、</p><p>　　C，就有結(jié)論D；還有一個事物也具有性質(zhì)A、B、C，</p><p>　　也有結(jié)論D．

66、又有一個事物也具有性質(zhì)A、_：B、C，它</p><p>　　是否也有結(jié)論D呢?這與歸納有所不同．類比主要</p><p>　　用在幾何里．開普勒說過：“我珍視類比勝于任何別</p><p>　　的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界</p><p>　　的秘密，在幾何中它應(yīng)該是最不容忽視的．”</p><p>

67、　　比如，平面上三條直線可以形成一個封閉圖</p><p>　　形；空間上四個面可以形成一個封閉圖形．還有龐</p><p><b>　　加萊猜想．</b></p><p>　　這些也許就是“過程的教育”，讓學(xué)生自己探索</p><p>　　答案，而不一定是通過講道理分析出答案．通過“道</p><p

68、>　　理”直接給出公式固然是好的，但是通過有規(guī)律的</p><p>　　計算尋求這個規(guī)律是得到一般結(jié)果的有效手段，特</p><p>　　別是能夠幫助學(xué)生更直觀地理解“道理”．教師在講</p><p>　　課的時候不能太聰明，教師可以與學(xué)生一起探索嘗</p><p>　　試，這是歸納推理的手法，也是我們過去的數(shù)學(xué)教</p>

69、<p><b>　　育忽視的地方．</b></p><p><b>　　6如何改變標(biāo)準(zhǔn)</b></p><p>　　我想基礎(chǔ)知識、基本技能還是必要的，在此前</p><p>　　提下還要加上基本思想和基本活動經(jīng)驗．希望能夠</p><p>　　繼續(xù)保持促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的基本知識，訓(xùn)練學(xué)生

70、</p><p>　　掌握數(shù)學(xué)的基本技能之外，要啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)的</p><p>　　基本思想，積累數(shù)學(xué)活動的基本經(jīng)驗．教學(xué)時間是</p><p>　　有限的，如果加上新的東西就必須對老的東西進(jìn)行</p><p>　　改造，要節(jié)省出時間和空間．首先，我們要去掉一些</p><p>　　形式化的東西，應(yīng)當(dāng)清楚：形式不等

71、于邏輯．過分強</p><p>　　調(diào)形式化不利于學(xué)生思考，這種方法會把數(shù)學(xué)搞歪</p><p>　　了，就會走向八股．形式化適用于判卷，對判斷學(xué)生</p><p>　　是不是清楚地理解了知識是有利的，但不適于學(xué)生</p><p>　　思考．過分地強調(diào)形式就把邏輯的本身掩蓋了．其</p><p>　　次，我們還應(yīng)當(dāng)清楚

72、技巧不等于技能，現(xiàn)在反復(fù)訓(xùn)</p><p>　　練的是技巧而不是技能．技巧是對一個具體例子或</p><p>　　很窄的范圍才適用的方法．技能是能舉一反三的，</p><p>　　而技巧是個案的．我們現(xiàn)在訓(xùn)練過多的是技巧，學(xué)</p><p>　　生因此很累．比如絕對值中出現(xiàn)字母的情況，我們</p><p>　　的老師往

73、往會把問題出的很難，最后不知道是在考</p><p>　　察絕對值還是考察方程的解．還有韋達(dá)定理．我們</p><p>　　需要考的是技能而不是技巧．</p><p><b>　　7關(guān)于基本思想</b></p><p>　　“基本思想”主要是指演繹和歸納，這應(yīng)當(dāng)是整</p><p>　　個數(shù)學(xué)教學(xué)

74、的主線，是最上位的思想．演繹和歸納</p><p>　　不是矛盾的，其教學(xué)也不是矛盾的，通過歸納來預(yù)</p><p>　　測結(jié)果，然后通過演繹來驗證結(jié)果．在具體的問題</p><p>　　中，會涉及到數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)模型、等量替換、數(shù)形</p><p>　　結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，但最上位的思想還是演繹和歸</p><p>　　

75、納．之所以用“基本思想”而不用基本思想方法，就</p><p>　　是要與換元法、遞歸法、配方法等具體的數(shù)學(xué)方法</p><p>　　區(qū)別．每一個具體的方法可能是重要的，但它們是</p><p>　　個案，不具有一般性．作為一種思想來掌握是不必</p><p>　　要的，經(jīng)過一段時間，學(xué)生很可能就忘卻了．這里所</p><

76、p>　　說的思想，是大的思想，是希望學(xué)生領(lǐng)會之后能夠</p><p>　　終生受益的那種思想方法．</p><p><b>　　結(jié)束語</b></p><p>　　如果在我國中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中，一方面保持</p><p>　　“數(shù)學(xué)雙基教學(xué)”這個合理的內(nèi)核，一方面添加“基</p><p>　　

77、本思想”和“基本活動經(jīng)驗”，出現(xiàn)既有“演繹能力”</p><p>　　又有“歸納能力”的培養(yǎng)模式，就必將會出現(xiàn)“外國</p><p>　　沒有的我們有、外國有的我們也有”的局面，到了那</p><p>　　一天，我們就能自豪地說，我國的基礎(chǔ)教育領(lǐng)先于</p><p>　　世界．(根據(jù)錄音整理，已經(jīng)本人核對)</p><p&

78、gt;<b>　　萬方數(shù)據(jù)</b></p><p>　　《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的若干思考</p><p><b>　　作者： 史寧中</b></p><p>　　作者單位： 東北師范大學(xué),長春,130024</p><p><b>　　刊名：</b></p><p

79、><b>　　數(shù)學(xué)通報</b></p><p>　　英文刊名： BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATICS</p><p>　　年，卷(期)： 2007，46(5)</p><p>　　被引用次數(shù)： 17次</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)(1條)</b></

80、p><p>　　1.關(guān)于教育的哲學(xué) 1998(10)</p><p><b>　　引證文獻(xiàn)(16條)</b></p><p>　　1.周新蓮淺談數(shù)學(xué)題解法的"趣味"[期刊論文]-新課程學(xué)習(xí)（社會綜合） 2010(2)</p><p>　　2.黃加衛(wèi)芻議"拓展型知識"欄目中的數(shù)學(xué)基本活動

81、經(jīng)驗——以"魔術(shù)師的地毯"為例[期刊論文]-中國數(shù)學(xué)教育（高</p><p>　　中版） 2010(1)</p><p>　　3.黃加衛(wèi).姚云翔"數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗"研究綜述[期刊論文]-中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2010(3)</p><p>　　4.王新民.王富英學(xué)案的特點及其教學(xué)價值[期刊論文]-內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報 2009(12)&l

82、t;/p><p>　　5.李正銀數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的切入點[期刊論文]-教育實踐與研究 2009(24)</p><p>　　6.李東民淺談中學(xué)數(shù)學(xué)探究式教學(xué)[期刊論文]-中國市場 2009(27)</p><p>　　7.鄒施凱走進(jìn)數(shù)學(xué)教育觀的"中間地帶"[期刊論文]-數(shù)學(xué)教育學(xué)報 2009(4)</p><p>　　

83、8.沈文選.吳仁芳走進(jìn)教育數(shù)學(xué)——四議數(shù)學(xué)教育與教育數(shù)學(xué)[期刊論文]-數(shù)學(xué)教育學(xué)報 2009(4)</p><p>　　9.謝全苗"由惑到悟"的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式的構(gòu)建與應(yīng)用[期刊論文]-數(shù)學(xué)教育學(xué)報 2009(3)</p><p>　　10.張奠宙中國數(shù)學(xué)教育在改革與反思中前進(jìn)[期刊論文]-數(shù)學(xué)通報 2008(12)</p><p>　　11.張

84、奠宙中國數(shù)學(xué)教育在改革與反思中前進(jìn)[期刊論文]-人民教育 2008(22)</p><p>　　12.郭玉峰由一本20世紀(jì)20年代的中國初中平面幾何教材引發(fā)的思考[期刊論文]-課程·教材·教法 2008(11)</p><p>　　13.平方.方程嫦娥告訴您:數(shù)學(xué)就在我們身邊——賞析2008年高考數(shù)學(xué)湖北卷應(yīng)用題有感[期刊論文]-中學(xué)數(shù)學(xué)</p><

85、p><b>　　2008(11)</b></p><p>　　14.陳傳義高中新課程教材的編寫特色及教學(xué)體會[期刊論文]-數(shù)學(xué)通報 2008(8)</p><p>　　15.王新民.王富英.王亞雄數(shù)學(xué)"四基"中"基本活動經(jīng)驗"的認(rèn)識與思考[期刊論文]-數(shù)學(xué)教育學(xué)報 2008(3)</p><p>　

86、　16.張奠宙.竺仕芬.林永偉"基本數(shù)學(xué)經(jīng)驗"的界定與分類[期刊論文]-數(shù)學(xué)通報 2008(5)</p><p>　　本文鏈接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_sxtb200705001.aspx</p><p>　　授權(quán)使用：qkxtg4(qkxtg4)，授權(quán)號：88a58804-6167-4c5e-9ae1-9e1a01