環(huán)的定義的擴(kuò)充

1、<p><b>　　環(huán)的定義的擴(kuò)充</b></p><p>　　摘要：本文對環(huán)的定義作了幾種擴(kuò)充，的出了一些新的概念，加深了對環(huán)的認(rèn)識。</p><p>　　環(huán)是具有兩種代數(shù)運算的集合，這兩種運算滿足一定的關(guān)系：對于一種運算構(gòu)成加群，對另一種運算構(gòu)成半群，兩種運算之間滿足分配律。但現(xiàn)實世界與科學(xué)研究中會出現(xiàn)這樣的集合：具有兩種代數(shù)運算，但是兩種運算并不完全滿

2、足上述關(guān)系，為此必須對環(huán)的定義進(jìn)一步拓廣。下面給出幾個定義，至于這些概念的應(yīng)用及其性質(zhì)的探討，本文從略。</p><p>　　定義1：一個集合R叫做一個半環(huán)，假如①R對于一個叫做加法的代數(shù)運算來說是封閉的，并且滿足結(jié)合律；②R對于另一個叫做乘法的代數(shù)運算來說是封閉的，并且滿足結(jié)合律；③兩個分配律都成立——a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca，不管b、a、c是R的哪三個元。</p>&l

3、t;p>　　注：若兩種代數(shù)運算均滿足交換律，稱為加半環(huán)；若乘法滿足交換律，稱為乘法加半環(huán)。</p><p>　　定義2：一個集合R叫做一個虧環(huán)，假如①R對于一個叫做加法的代數(shù)運算來說構(gòu)成一個群；②R對于另一個叫做乘法的代數(shù)運算來說是封閉的，并且滿足結(jié)合律；③兩個分配律都成立——a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca，不管b、a、c是R的哪三個元。</p><p>　　定義

4、3：一個集合R叫做一個加環(huán)，①假如R是一個加群，即R對于一個叫做加法的代數(shù)運算構(gòu)成一個交換群；②R對于另一個叫做乘法的代數(shù)運算來說是封閉的，并且滿足結(jié)合律和交換律；③兩個分配律成立之一 ——a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca，不管b、a、c是R的哪三個元。</p><p>　　定義4：一個集合R叫做一個盈環(huán)，①假如R是一個加群，即R對于一個叫做加法的代數(shù)運算構(gòu)成一個交換群；②R對于另一個叫做乘法的

5、代數(shù)運算構(gòu)成一個群；③兩個分配律都成立——a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca，不管b、a、c是R的哪三個元。</p><p>　　定義5：一個集合R叫做一個自然環(huán)，假如①R對于一個叫做加法的代數(shù)運算構(gòu)成一個群；②R對于一個叫做乘法的代數(shù)運算構(gòu)成一個群；③兩個分配律都成立——a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca，不管b、a、c是R的哪三個元。</p><p>　

6、　定義6：一個集合R叫做一個加盈環(huán)，①假如R對于一個叫做加法的代數(shù)運算構(gòu)成一個加群；②R對于另一個叫做乘法的代數(shù)運算構(gòu)成一個加群；③兩個分配律成立之一 ——a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca，不管b、a、c是R的哪三個元。</p><p>　　定義7：一個集合R叫做一個虧加環(huán)，①假如R對于一個叫做加法的代數(shù)運算構(gòu)成一個群；②R對于另一個叫做乘法的代數(shù)運算封閉，并且滿足交換律與結(jié)合律；③兩個分配律成