矩陣的定義

1、矩陣的定義,由 個數排成的 行 列的數表,稱為 矩陣.簡稱 矩陣.,記作,簡記為,,(m=n)主對角線,,(m=n)副對角線,例如,是一個 矩陣,,是一個 矩陣,,是一個 矩陣,,是一個 矩陣.,2024/3/26,4,同型矩陣與矩陣相等的概念,1.兩個矩陣的行數相等,列數相等時,稱為同型矩陣(Same Size).,例如,為同型矩陣.,四

2、. 矩陣的代數運算,矩陣的加法(Addition)數與矩陣相乘(Scalar Multiplication)矩陣與矩陣相乘(Matrix Multiplication)矩陣的其它運算,１、定義,矩陣的加法,設有兩個 矩陣 那末矩陣 與 的和記作 ，規(guī)定為,說明 只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算

3、.,例如,2、 矩陣加法的運算規(guī)律,1、定義,數與矩陣相乘,2、數乘矩陣的運算規(guī)律,矩陣相加與數乘矩陣合起來,統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.,（設 為 矩陣， 為數）,矩陣的加法滿足交換律，結合律.,用數k去乘矩陣A的所有元素得到的矩陣.,數乘矩陣滿足結合律，分配律.,………結合律,………分配律,1.矩陣的加、減法,2.矩陣的數乘,總結,定義 矩陣的乘法,,,,注：矩陣相乘(A?B)必須滿足: A

4、的列數等于B的行數.,例１,設,例2,,,,,,,故,解,注意　只有當第一個矩陣的列數等于第二個矩陣的行數時，兩個矩陣才能相乘.,例如,不存在.,矩陣乘法的性質：,AB有意義，而BA可能無意義；一般，AB?BA.,注：矩陣乘法不滿足交換律.,Key:不對,只有AB=BA,即A,B可交換時才成立.,定義 把矩陣 的行與列互換得到的n×m 矩陣，叫做 的轉置矩陣，記作 .

5、 (the transpose of A),矩陣的轉置( Transpose of Matrix),,,矩陣的其它運算,轉置矩陣的性質：,注意順序,例 已知,解法1,解法2,練 習,由四個數排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數表,定義,即,,,主對角線,副對角線,對角線法則,二階行列式的計算,,二、三階行列式,定義,記,（6）式稱為數表（5）所確定的三階行列式.,,

6、,,,,,對角線法則,注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三元素的乘積冠以負號．,說明1 對角線法則只適用于二階與三階行列式．,例,解,按對角線法則，有,二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的.,小結,三、n 階行列式,定義,(Determinant),說明,1、 行列式是一種特定的算式，可以展開得到一個具體的數值。它是根據求解方程個數和未知量個數相同的一次方程組的需要而定義的;,2、 一階行列式

7、 不要與絕對值記號相混淆;,,行列式和矩陣的區(qū)別和聯(lián)系,行列式是一種特定的算式，它是根據求解方程個數和未知量個數相同的一次方程組的需要而定義的.,行列式的計算,———行列式按行（列）展開,二階行列式，三階行列式的計算 ———對角線法則,n階行列式的計算,例如,,,,,,,,,,,一、余子式(cofactor)與代數余子 式(algebraic cofactor),叫做元素 的代數余子式．,

8、,例如,,,,,,,定理5.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即,二、行列式的計算 ——按行（列）展開法則,降階,降階,按第二列展開更好!,練 習,Key:(1)-33(按第二列展開); (2)8(按第二列展開).,例,解,方程左端,例4 當k為何值時, D=0?,解,所以當 k=5或 k=1時, D=0 .,行列式按行（列）展開法則是把高階行列式的計算化為低階行列式計算

9、的重要工具.,三、小結,矩陣的初等行變換的應用可化矩陣為階梯形矩陣和行簡化階梯形矩陣求矩陣的秩,矩陣的初等行變換,矩陣的初等行變換,利用矩陣的初等行變換來化簡矩陣,簡而言之就是:每行開始的零元素逐行增多,且任意兩行首非零元不能位于同一列.,,,,,,,,,不是階梯型矩陣,是階梯型矩陣,,,,,,,,,是行簡化階梯型矩陣,不是行簡化階梯型矩陣,,,階梯形矩陣:對角矩陣,數量矩陣,單位矩陣,行簡化階梯形矩陣:單位矩陣,例1,,,,,行

10、簡化階梯形,,A是非奇異矩陣,求矩陣A的階梯形和行簡化階梯形矩陣.,例2,,,,,練習,,,,,階梯形,行簡化階梯形,,,利用矩陣的初等行變換來求矩陣的秩,矩陣秩的概念,矩陣 A的秩是指將A化為階梯形矩陣B后, 其所含非 0 行的行數稱為矩陣的秩,記作秩(A) 或 r(A).,初等變換求矩陣秩的方法：,把矩陣用初等行變換化為階梯形矩陣，階梯形矩陣中非零行的行數就是矩陣的秩.,解 將矩陣作初等變換,所以 r(A)=3,例2.求矩陣A的

11、秩:,練習:,練習,,設線性方程組,一般的線性方程組,表示方法：增廣矩陣形式為（A B),,增廣矩陣,則稱此方程組為非,齊次線性方程組;,此時稱方程組為,齊次線性方程組，,其矩陣方程形式為 AX=0,,怎樣判斷一般線性方程組有沒有解; 如果有解怎樣求出它的解; 求出的解有幾種可能;,要解決:,,,高斯消元法,用高斯消元法(Gaussian elimination)解一般的線性方程組線性方程組解的判定,引例,用加減消元

12、法求解線性方程組,,解,,,,,,,,,,,用“回代”的方法求出解：,,,,于是解得,x3稱為自由未知量,由自由未知量表達方程組的解稱為一般解或通解.,自由未知量的選取不唯一,方程組的一般解表示該方程組有無窮多組解.,小結：,1．上述解方程組的方法稱為消元法．,2．始終把方程組看作一個整體變形，用到如下三種變換,（1）交換方程次序；,（2）以不等于０的數乘某個方程；,（3）一個方程加上另一個方程的k倍．,,,,,,因為在上述變換