畢業(yè)論文（設計）向量在立體幾何中的應用

1、<p>　　向量在立體幾何中的應用</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　作為現代數學的重要標志之一的向量已進入了中學數學教學， 為用代數方法研究幾何問題提供了強有力的工具，促進了高中幾何的代數化 . 而在高中數學體</p><p>　　系中，幾何占有很重要的地位，有些幾何問題用常規(guī)方法去解決往往比較復雜，運

2、用向量作行與數的轉化，則使過程得到大大的簡化 . 向量法應用于平面幾何中</p><p>　　時，它能將平面幾何許多問題代數化、 程序化從而得到有效的解決， 體現了數學中數與形的完美結合 . 立體幾何常常涉及到的兩大問題：證明與計算，用空間向量解決立體幾何中的這些問題， 其獨到之處， 在于用向量來處理空間問題， 淡化了傳統(tǒng)方法的有“形”到“形”的推理過程，使解題變得程序化 .</p><p&g

3、t;<b>　　裝</b></p><p>　　關鍵詞：向量；立體幾何；證明；計算；運用</p><p><b>　　訂</b></p><p><b>　　線</b></p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p

4、>　　As one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of

5、the geometry of algebra. And in the high school mathematics system, geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be complex, using vector for the number o

6、f rows and transformation, makes the process is greatly simplified</p><p>　　Keywords： Vector; solid geometry; proof; calculation; use</p><p>　　合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）</p><p><b&

7、gt;　　目錄</b></p><p>　　合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）</p><p>　　合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）</p><p>　　1 向量方法在研究幾何問題中的作用[ 1]</p><p>　　向量是高中數學新增加的內容， 在作用上它取代了以往復數在高中數學教材</p

8、><p>　　身份”，能融數形于一體，能與中學數學教學內容中的許多主干知識相結合，形成知識交匯點 . 向量進入高中數學教材，為用代數方法研究幾何問題提供了強有</p><p>　　力的工具，促進了高中幾何的代數化 . 而在高中數學體系中，幾何占有很重要的地位，有些幾何問題用常規(guī)方法去解決往往比較繁雜， 而運用向量作形與數的轉化，則能使過程得到大大的簡化 . 用向量法解決幾何問題有著思路清晰、過

9、程簡潔的優(yōu)點，往往會產生意想不到的神奇效果 . 著名教育家布魯納說過：“學習的最好刺激是對所學材料的興趣，簡單的重復將會引起學生大腦疲勞，學習興趣衰退 . ”這充分揭示了方法求變的重要性，如果我們能重視向量的教學，重視學生</p><p>　　在學習向量過程中產生的障礙并且提供相應的教學對策， 必然能引導學生拓展思路，減輕他們的學習負擔 .</p><p>　　向量方法在解決幾何問題時充分

10、體現了它的優(yōu)越性，平面向量就具有較強的</p><p>　　工具性作用，向量方法不僅可以用來解決不等式、三角、復數、物理、測量等某些問題，還可以簡捷明快地解決平面幾何許多常見證明（平行、垂直、共線、相</p><p>　　切、角相等）與求值（距離、角、比值等）問題. 不難看出向量法應用于平面幾</p><p>　　何中時，它能將平面幾何許多問題代數化、程序化從

11、而得到有效的解決，體現了</p><p>　　數學中數與形的完美結合.</p><p>　　向量法是將幾何問題代數化，用代數方法研究幾何問題 . 立體幾何的證明與計算常常涉及到兩大問題：</p><p>　　一是位置關系，它主要包括線線垂直、線面垂直、線線平行、線面平行；二是度量問題，它主要包括點到線、點到面的距離，線線、線面所成的角，</p>&

12、lt;p><b>　　面面所成角等 .</b></p><p>　　用空間向量解決立體幾何中的這些問題， 其獨到之處，在于用向量來處理空間問題，淡化了傳統(tǒng)方法的有“形”到“形”的推理過程，使解題變得程序化 .</p><p>　　那么解立體幾何題時就可以用向量方法， 對某些傳統(tǒng)性較大， 隨機性較強的立體幾何問題，引入向量工具之后，可提供一些通法 .</p&

13、gt;<p>　　合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）</p><p>　　向量方法解決證明問題的直接應用</p><p><b>　　平行問題 [ 2]</b></p><p><b>　　證明兩直線平行</b></p><p><b>　　OA//BD.<

14、;/b></p><p>　　證明：如上圖，以點 O為原點，以射線 OA為 z 軸，建立空間直角坐標系Oxyz ，</p><p>　　∴ BD // OA .</p><p>　　方法思路：在兩條直線上分別取不同的兩點得到兩向量，轉化為證明兩向量</p><p><b>　　平行 .</b></p&g

15、t;<p>　　合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）</p><p>　　2.1.2證明線面平行</p><p>　　例 2如上圖 , 正方形 ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直 ,P 、Q</p><p>　　分別是對角線 AC、BF 上的一點 , 且 AP = FQ, 求證 :PQ∥平面 BCE.</p>

16、;<p>　　與方向相等），則可得面內一直線與面外的線平行，從而證明線面平行.</p><p>　　2.1.3面面平行</p><p>　　1、不重合的兩平面與的法向量分別是 m 和 n ， mn//.</p><p>　　方法思路：求平面的法向量，轉化為證明兩法向量平行，則兩平面平行.</p><p>　　合肥

17、師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）</p><p>　　2、不重合的兩平面與，面的法向量為 m ，若 m//.</p><p>　　方法思路：求出其中一平面的法向量， 再證該法向量與另一面的不共線的兩向量數量積為 0（即垂直），則可得兩平面平行 .</p><p>　　2.2 垂直問題 [ 3]</p><p>　　2.2

18、.1證明兩直線垂直</p><p>　　不重合的直線 a 和直線 b 的方向向量分別為 a 和 b ，則有 a b0ab .</p><p>　　3 如圖，已知四棱錐 P-ABCD的底面為等腰梯形， AB// CD,AC BD，垂足</p><p><b>　　H，</b></p><p>　　PH 是四棱

19、錐的高， E 為 AD 中點 . 證明：</p><p><b>　　PEBC</b></p><p>　　證明：以H 為原點，HA , HB , HP分別為</p><p>　　x, y, z 軸，線段 HA 的長為單位長， 建立空間直角坐標</p><p>　　系如圖，則 A(1,0,0), B(0,1

20、,0)</p><p>　　2.2.2 證明線面垂直</p><p>　　證明：在內作任一直線 g ，分別在 l , m, n, g 上取非零向量 l ,m, n, g .</p><p>　　合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）</p><p>　　因為 m與 n 相交，所以向量 m, n 不平行 . 由向量共面的充要條件

21、知，存在唯</p><p>　　一條直線，所以 l.</p><p>　　方法思路：找直線的方向向量 （在兩直線上取兩點得一向量） 及平面的法向量，只需證明兩向量平行，則可證線面垂直 .</p><p>　　2.2.3證明面面垂直</p><p>　　1、不重合的平面與的法向量分別為 m 和 n ，則有 m n0.</p&

22、gt;<p>　　方法思路：找平面的法向量，只需證明兩向量數量積為0，則可證明兩平面</p><p><b>　　垂直 .</b></p><p>　　2、平面的法向量為 n ， e1 ,e2 是平面的一組基底（不共線的向量） ，則</p><p>　　有 n1 e12 e2.</p><p>

23、;　　例 5在正方體 ABCD-A1B1C1D1 中， E、F 分別是 BB1，CD的中點</p><p>　?。?）求證： AD⊥ D1F； (2) 證明平面 AED⊥平面 A1FD1</p><p>　　分析：涉及正方體中一些特殊的點、線、面的問題，建立空間直角坐標系來解，不僅容易找到解題方向，而且坐標也簡單，此時“垂直”問題轉化為“兩向量數量積為“ 0”的問題，當然也可用其它的證法

24、 .</p><p>　　合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）</p><p>　　所以 D1F⊥AE，</p><p>　　由（ 1）知 D1F⊥AD，</p><p>　　又 AD∩AE=A，D1F⊥平面 AED，</p><p>　　∵D1F平面 A1FD1 M</p><p&

25、gt;　　平面 AED⊥平面 A1FD1</p><p>　　方法思路：找其中以平面的法向量， 證明法向量與另一平面平行， 即法向量可以用另一平面的一組基底（不共線的向量）線性表示 .</p><p>　　2.3 處理角的問題 [ 5]</p><p>　　2.3.1求異面直線所成的角</p><p>　　a,b是兩 異面 直 線 ， A

26、, Ba, C , Db ， a ， b所 成 的 角 為， 則有</p><p>　　coscos AB,CDAB CD.</p><p><b>　　ABCD</b></p><p>　　例 6 如圖所示 , 三棱錐 A-BCD,AB 平面 BCD, BDCD, 若 AB=BC=2BD,求二</p><

27、;p>　　面角 B-AC-D 的大小 .</p><p>　　解:如圖建立空間直角坐標系O-xyz,</p><p>　　∵AB=BC=2BD,設 BD=1</p><p>　　設平面 ABC的法向量為 n1( x1 , y1 , z1 ) ,</p><p>　　則 AB. n10z10</p><p&

28、gt;　　合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）</p><p>　　方法思路：找兩異面直線的方向向量，轉化為向量的夾角問題，套公式（但要理解異面直線所成的夾角與向量的夾角相等或互補） .</p><p>　　2.3.2求線面角</p><p><b>　　xABy</b></p><p>　　合肥師范

29、學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）</p><p>　　方法思路：找直線的方向向量與平面的法向量， 轉化為向量的夾角問題， 再套公式（注意線面角與兩向量所在直線夾角互余） .</p><p>　　2.3.3求二面角</p><p>　　甲所示，那么其大小等于兩法向量n1 、n2 的夾角的補</p><p>　?、?若二面角l是

30、“銳角型”的如右圖所示，那么其</p><p><b>　　n1</b></p><p><b>　　n2</b></p><p>　　| n1 | | n2 |</p><p>　　方法二：在二面角的棱l 上確定兩個點A、 B ，過 A、 B 分</p><p>　　別

31、在平面、 內求出與 l 垂直的向量 n1 、n2 ，則二面角l</p><p><b>　　l</b></p><p>　　合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）</p><p>　　二面角的平面角為銳角，</p><p><b>　　6</b></p><p>

32、;　　∴二面角 A— A1D— Q的大小為 arccos.</p><p><b>　　6</b></p><p>　　此法在處理二面角問題時， 可能會遇到二面角的具體大小問題，如本題中若</p><p>　　意直觀判斷一下所求二面角的大小，然后根據計算取“相等角”或取“補角”.</p><p>　　合肥師范學院

33、2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）</p><p>　　向量方法解決度量問題的直接應用</p><p>　　兩點間的距離 [ 6]</p><p>　　兩點間距離重在 “轉化”，即將空間兩點間距離轉化為向量的長度問題 . 利用向 量 的 模 ， 可 以 推 導 出 空 間 兩 點 的 距 離 公 式 ， 即 空 間 兩 點</p><p>　

34、　之間的關系 . 建立以 A 點為原點的空間直角坐標</p><p><b>　　系 .</b></p><p>　　則無須證明就有如下巧解.</p><p>　　解如圖，建立以 A 為原點的空間直角坐標系，則</p><p>　　本題用向量法巧妙地把與SB 有關元素的位置關系轉化為相應向量是SB的</p

35、><p>　　數量關系，構造向量的空間距離模型，然后通過數值計算將問題加以解決.</p><p>　　3.2 點與直線距離 [ 7]</p><p>　　如圖 求得向量 AP 在向量 AB 的射影長為 d ,</p><p><b>　　解</b></p><p><b>　　2</

36、b></p><p>　　BP BDBAAPBCBAAB9</p><p>　　合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）</p><p>　　所以點 P 到直線 BD的距離</p><p><b>　　d10</b></p><p>　　3.3 點到面的距離</p

37、><p><b>　　2</b></p><p><b>　　913</b></p><p><b>　　55</b></p><p>　　任取一點 Q得 PQ, m 是平面的法向量，則有：點P 到平面的距離</p><p>　　dPQ m

38、（向量 PQ 在法向量 m 的投影的長度） .</p><p><b>　　m</b></p><p>　　方法思路：求出平面的任一法向量m（方程組可求），在平面內任取一點 Q 與</p><p>　　P 得一向量轉化為 PQ 在法向量的投影長度，套公式 .</p><p><b>　　求兩異面直線的距

39、離</b></p><p>　　a, b 是兩異面直線， A, B a,C , D b ，找一向量與兩異面直線都垂直的向</p><p>　　合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）</p><p>　　方法思路：求異面直線的距離，先找一向量與兩異面直線都垂直的向量m ，</p><p>　　然后分別在兩異面直線

40、上任取一點A, C , 則距離 d 就是 AB 在向量 m 上的投影長</p><p>　　度，距離 d AC m . m</p><p>　　3.5 求面積 [ 8]</p><p>　　由于平行四邊形 ABCD面積 S ABCD = ABAC ，所以三角形的面積是平行四邊</p><p><b>　　形的面積的一半 .&l

41、t;/b></p><p>　　AB1, 3,2AC2,0, 8</p><p>　　合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）</p><p><b>　　3.6 求體積</b></p><p>　　三個不共面向量a, b, c 的混合積的絕對值等于以a, b, c 為棱的平行六面體的</

42、p><p>　　體積，即 V6a,b, c.</p><p>　　合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）</p><p>　　四面 體的 體 積等于以 a, b,c 為 棱的 平行 六面 體體積的 六分 之一，即</p><p>　　例 6 已知空間四點的坐標A（0，0，0）， B（ 0，1，0），C（0，1，1），</p&

43、gt;<p>　　D（1，1，1）求四面體 ABCD的體積及 A 到 BCD平面的距離 .</p><p>　　解 由初等幾何知識，四面體ABCD的體積 V 等于以 AB，AC，AD為棱的平行</p><p>　　六面體的體積的 1 ,</p><p>　　4 向量方法解決證明與計算問題有關的綜合應用</p><p>　　例

44、 1 證明三角形各邊的垂直平分線共點，且這點到各頂點等距.</p><p>　　分析 設ABC 三邊 BC,CA,AB的中點分別為 D,E,F ,</p><p>　　如圖，令 AB的垂直平分線與AC的垂直平分線交于一點</p><p>　　合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）</p><p><b>　　1&l

45、t;/b></p><p>　　GF a b , BA a b 2</p><p>　　利用 GE CA0 可得</p><p><b>　　等 .</b></p><p>　　例 2 一個空間四邊形對邊平方和相等的充要條件是四邊形的對角線互相垂</p><p><b>　　直&

46、lt;/b></p><p>　　例 3 如果一個四面體 ABCD有兩對對棱互相垂直，則第三對對棱也互相垂直,</p><p>　　且三對對棱的平方和相等.</p><p>　　合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）</p><p>　　若四面體兩對對棱互相垂直，即ACBD , DABC由（ 1）（2）可得<

47、;/p><p><b>　　可得</b></p><p>　　以上結果表明，四面體三對對棱平方和相等.</p><p>　　如果沒有用上例的結果，也可以用下面的方法來證證法二 : 如果已知四面體 ABCD中兩對對棱互相垂直，即</p><p>　　AB CD0, BC AD0</p><p>　

48、　BDACBCCDABBC</p><p>　　合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）</p><p>　　的非零向量）的垂直問題進而轉化為兩向量數量積為零的問題.</p><p>　　在證明有關長度的等式時， 首先將數量轉化成向量等式， 即用向量的模表示</p><p>　　線段的長度，其次運用公式ABAB 2

49、，使問題化為有關向量數性積的等式證</p><p><b>　　明問題 .</b></p><p>　　例 4 證明以平行四邊形的兩條對角線為鄰邊的平行四邊形的面積等于原平行四邊形面積的兩倍 .</p><p>　　設平行四邊形的兩鄰邊分別是a 和 b ，兩條對角線分別是ab 和 ab</p><p><b

50、>　　證abab</b></p><p>　　ababbabb</p><p>　　0abba0</p><p>　　合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）</p><p><b>　　abab</b></p><p><b&

51、gt;　　2 ab</b></p><p>　　例 5 已知正四棱錐 ABCDA BC D ， AB1, AA2 ，點 E 為才 CC1 中點，</p><p><b>　　11111</b></p><p><b>　　點 F</b></p><p>　　為 BD1

52、的中點，求 D1 到平面 BDE的距離 .</p><p>　　解 建立如圖所示直角坐標系，則D 0,0,0 , B 1,1,0 , E 0,1,1 , D1 0,0,2</p><p>　　DE0,1,1 , DB1,1,0</p><p>　　設 D1 在平面 BDE上的射影為 G（ x, y, z ），則 DGx, y, z , D1Gx, y,

53、z2</p><p>　　合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）</p><p>　　四邊形 A1 B1C1D1為菱形</p><p>　　合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）</p><p><b>　　421</b></p><p><b>　　CH<

54、/b></p><p><b>　　7</b></p><p><b>　　CH27</b></p><p><b>　　sin CAH</b></p><p><b>　　D</b></p><p><b>　

55、　Cy</b></p><p><b>　　AC7</b></p><p><b>　　O</b></p><p>　　CAH arcsin 2 7 7</p><p><b>　　A</b></p><p><b>　　B&l

56、t;/b></p><p><b>　　x</b></p><p>　　合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）</p><p>　　設 AC 與平面 AB1D1 所成的角為</p><p>　　arcsin 2 7 7</p><p>　　命題意圖 : 熟悉立體幾何中常見問題及處理

57、方法 , 要求學生敏銳把握所給圖形特征 , 制定合理的解決問題策略 . 立體幾何主要是兩種位置關系 ( 平行、垂直 ),</p><p>　　兩個度量性質 ( 夾角、距離 ). 解決問題的方法也有兩種: 幾何方法和向量方法 . 兩</p><p>　　種方法各有優(yōu)缺點 , 前者難在“找”和“作”的技巧性, 后者難在建系和計算上 ,</p><p>　　究竟用

58、哪種方法 , 到時根據自己的情況決斷.</p><p>　　5 向量在立體幾何中應用的教學反思[ 9]</p><p>　　5.1 對比綜合法與向量法的利弊</p><p>　　有時解決問題時的技巧性過強， 而且沒有一般規(guī)律可循， 常常讓學生感覺 “高不可攀”，從而“望而卻步” .</p><p>　　合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)

59、論文（設計）</p><p>　　向量方法—以向量和向量的運算為工具，對幾何元素及其關系進行討論. 其</p><p>　　優(yōu)點是注重培養(yǎng)學生的數形結合、 轉化化歸的數學思想以及代數計算能力的同時</p><p>　　也使立體幾何問題的解決過程變得數量化、程序化，易于學生學習. 缺點是計算</p><p>　　量相對較大，對于計算能力較弱

60、的學生，很容易算錯.</p><p>　　如果學生在解決立體幾何問題時，能夠具體情況具體分析， 將綜合方法與向</p><p>　　量方法這兩種方法綜合運用，那樣將會使得立體幾何問題得到更完美的解決.</p><p>　　5.2 向量法解決立體幾何問題的步驟</p><p>　　用向量法解決立體幾何問題的方式有兩種：一是直接用向量的代數

61、式運算，二是用向量的坐標運算 . 一般來說，向量的坐標運算，思維量更少，運算技巧更低，更容易掌握，因此這也是我們常用的向量方法 . 若所給圖形不容易建立空間直角坐標系，我們也可以用向量的代數式運算來解決問題， 但其技巧性相對較高，對學生邏輯推理能力的要求也提高了 .</p><p>　　用向量坐標運算解題步驟：</p><p>　　（1）建立空間直角坐標系 . 注意盡可能用已經存在的過同一

62、個點的兩兩垂直的三線，如果沒有三線，也盡量找兩線垂直，然后作出第三線和兩線垂直，按右手系建立坐標系 . 注意所寫點的坐標要與所建立的坐標系相一致 .</p><p>　?。?）寫出需要用到的點的坐標. 注意要仔細再仔細，此步若錯，全題皆錯.</p><p>　?。?）寫出所要用到的向量坐標. 注意必須終點坐標減始點坐標.</p><p>　　（4）通過計算解

63、決具體問題. 注意公式要記對，運算要仔細.</p><p>　　5.3 向量法能解決所有立體幾何問題嗎</p><p>　　這個問題的答案顯然是“不” . 世上不可能有一種“萬能”方法能解決所有的問題 . 我們能做的就是在眾多的方法中選擇適合的方法，“擇優(yōu)錄用” .</p><p>　　我們可以把解決立體幾何問題的思考過程分三步走 . 第一步，若此題用綜合法很簡

64、單，那就不必用向量法 . 第二步，用綜合法解決有困難，而圖形又適合建立空間直角坐標系，可以通過向量的坐標運算解決問題 .</p><p>　　第三步，用綜合法解決有困難， 而圖形又不容易建立空間直角坐標系， 那也可以考慮用向量的代數式運算來解決問題 . 不過這個方法對大部分學生而言其難度不亞于綜合法 . 對于這樣的問題有待于我們進一步研究探討 .</p><p>　　總之，向量在立體幾何中

65、的應用為我們解決立體幾何問題提供了新的解題思路和方法，打破了傳統(tǒng)解法“一作、二證、三計算”的模式，突破了傳統(tǒng)解法中“添置輔助線”的難點，將立體幾何中“形”的問題轉化為“數”的問題，開創(chuàng)了解決立體幾何問題的新模式 .</p><p>　　合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）</p><p>　　參考文獻 ： [1]劉八芝 . 向量在中學數學教學中的應用[J].鎮(zhèn)江高專學報：

66、2003（ 2）： 2.</p><p>　　孫曉雄 . 向量在立體幾何中的應用 [J]. 考試周刊， 2008（ 6） :20-21.</p><p>　　李雪霞 . 空間向量在立體幾何中的應用 [J]. 高中數學教與學： 2004（ 8） :96-98.</p><p><b>　　2</b></p><

67、;p>　　陳金躍 . 數量積 aa 的魅力 [J]. 中學數學研究， 2004 （1）： 23.</p><p>　　張萍 . 淺談用向量法解立體幾何題 [J]. 中學數學研究， 2004（ 4）： 37.</p><p>　　周鐘光 . 空間距離的向量求法 [J]. 中學數學研究， 2005（ 2）： 3.</p><p>　　Prob